Учебник
Геометрия, 9 класс

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • "Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее - узнать его в движении, при изменениях"
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей - ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали - новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали - ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если "зряче видим" центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас "в кармане".

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O - пересечения диагоналей.      O - центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ - ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $\angle A=\angle C$ ,   $\angle B=\angle D$ . Прилежащие       $\angle A+\angle B=180^o$   ,    $\angle A+\angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=\frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=\frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов - делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторанами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos D$     ,      большая -   $BD^2=a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot\cos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4\cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=AD\cdot CH$ , $S=a\cdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2\cdot\sin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=\frac{AC\cdot BD}{2}$ .      - половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если ... суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=p\cdot r$,     $p=2\cdot a$       $S=2\cdot a \cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали - суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $\angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $\bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $\Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $\bigtriangleup BCD$ у вершине   $\angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      "Односторонние углы":     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30'$   ,   $67^o30'$

           

Задача 3:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $\bigtriangleup BED \sim \bigtriangleup AOD=\bigtriangleup AOB=\bigtriangleup COB=\bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $\alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $\alpha$   в   $\bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $\Rightarrow$     $\sin\alpha=\frac{BE}{BD}=\frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $\bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=\frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ .   Тогда косинус:   $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}=\pm\frac{5}{13}$
  • Угол   $\alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $\cos\alpha = \frac{5}{13}$
  • Тогда:   $\frac{DO}{DC}=\frac{6,5}{DC}=\cos\alpha=\frac{5}{13}$             $\Rightarrow$        $DC=\frac{6,5\cdot13}{5}=\frac{13\cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9\cdot12=202,8$

Задача 4:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ - пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ - параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ - квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $\Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • "Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное - узнать его в движении, при изменениях"
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей - ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали - новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали - ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если "зряче видим" центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас "в кармане".

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O - пересечения диагоналей.      O - центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ - ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $\angle A=\angle C$ ,   $\angle B=\angle D$ . Прилежащие       $\angle A+\angle B=180^o$   ,    $\angle A+\angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=\frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=\frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов - делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Квадрат - одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата    равны между собой и делятся пополам.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $\angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $\bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $\Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $\bigtriangleup BCD$ у вершины   $\angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      "Односторонние углы":     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30'$   ,   $67^o30'$

           

  • Полезные напоминания: "В равностороннем треугольнике все углы равны    60    градусов.
  • Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник - стороны равны, углы тоже.
  • В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения: