Стандартное обозначение прямоугольного треугольника $\bigtriangleup ABC$ :
катеты $a = BC$
$b = AC$
высота $h=CH$
прямой $\angle C$ = $90^o$
острый $\angle A$ = $\angle BAC$
острый $\angle B$ = $\angle ABC$
Тригонометрия углов в прямоугольном треугольнике
Определение. тригонометрическими функциями углов прямоугольного треугольника называются числа:
синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, $\sin\alpha=\frac{a}{c}$
косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$
тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему, $\tg\alpha=\frac{a}{b}$
котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему, $\ctg\alpha=\frac{b}{a}$
Замечание: Отношения сторон не зависят от длин катетов и гипотенузы, они зависят только от углов. Угол здесь очень важен. Не важно какие стороны в треугольнике длинные или короткие , важно их отношение - оно всегда одно и то же.
_____________________________________________________________________________________
Теорема Пифагора Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов $AB^2=AC^2+BC^2$.
_____________________________________________________________________________________
Формулы, соотношений в прямоугольном треугольнике, определения тригонометрических функций острых углов:
Заие. $\sin A=\frac{BC}{AB}$ $\cos A=\frac{AC}{AB}$ $\tg A=\frac{BC}{AC}$ $\ctg A=\frac{AC}{BC}$
Заие. $\sin B=\frac{AC}{AB}$ $\cos B=\frac{BC}{AB}$ $HC=AC\cdot\sin A$ $\frac{HC}{BC}=\frac{AC}{AB}$ $\angle ACH=\angle B$
Заче. $S=\frac{a\cdot b}{2}$ $S=\frac{AB\cdot CH}{2}$ $HC=BC\cdot\sin B$ $\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}$ $\angle BCH=\angle A$
Замечание: Катеты можно выразить через гипотенузу и синус (или косинус) острого угла и наоборот.
- Если в прямоугольном треугольнике известны две величины : две стороны или сторона и тригонометрия угла ...
- ... все остальное можно вычислить - найти - расчитать по формулам.
Тождества: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ; $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ; $\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .
Формула приведения тупых углов $90 < \alpha < 180$ к смежным острым $180-\alpha$ .
$\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(180-\alpha\right)$ $\cos\left(\alpha\right)=-\cos\left(180-\alpha\right)$ ,
$\tg\left(\alpha\right)=-\tg\left(180-\alpha\right)$ $\ctg\left(\alpha\right)=-\ctg\left(180-\alpha\right)$
- синус тупого угла такой же как у своего смежного
- косинус, тангенс, котангенс тупого как минус своего смежного.
Пример 1: Найти значение $sinx$, если $x$ - острый угол, а $cosx = 0,8$.
- Решение: Ищем формулу, где имеются синус и косинус , подойдет основное тождество $\sin^2x+\cos^2x=1$ .
- Подставляем в него известную величину, а именно, $0,8$ вместо косинуса $\Rightarrow$ $\sin^2\alpha+\left(0,8\right)^2=1$ .
- Находим квадрат синуса $\sin^2x=1-\left(0,8\right)^2=1-0,64=0,36$ $\Rightarrow$ $\sin x=\sqrt{0,36}=0,6$
- Ответ: $sinx=0,6$
Замечание: Cинус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные.
Задача 2: В прямоугольном треугольнике известны площадь $S=120m^2$ и синус угла $\frac{5}{13}$ .
Задача 2: Найти высоту, опущенную на гипотенузу.
- Решение: Пусть треугольник АВС с прямым углом $C=90^o$, катетами $a$ и $b$ ; $\sin A=\frac{5}{13}$ ,
- Выразим катеты через гипотенузу и угол $A$ : $a=c\cdot\sin A$ $b=c\cdot\cos A$. Подставим в формулу площади через
- катеты $S=\frac{ab}{2}=\frac{c^2\cdot\sin A\cdot\cos A}{2}$. Отсюда выразим гипотенузу $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$.
- Вычислим косинус угла $A$ при известном для него синусе $A$ : $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\frac{25}{13}}=\frac{12}{13}$
- Найдем гипотенузу $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$ , $c^2=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}}=4\cdot13^2\cdot m^2$ , $c=26m$
- Другая формула той же площади $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$ позволит выразить высоту через площадь и гипотенузу, на которую эта
- высота опущена: $h=\frac{2\cdot S}{c}=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{26\cdot m}=\frac{120}{13}m$ . Ответ: $h=\frac{120}{13}m$ .
Формулы и свойства прямоугольного треугольника
Рассуждения о прямоугольном треугольнике:
Если к прямоугольному треугольнику приложить точно такой же, можно получить прямоугольник. Как бы два треугольника превратили в "половинки" прямоугольника , гипотенуза стала диагональю.
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Середина гипотенузы находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин прямоугольного треугольника , т.к. эта точка есть точка пересечения диагоналей прямоугольника, получаемого достроением прямоугольного треугольника до "обрамляющего" прямоугольника.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, "режет" треугольник на ему же подобные копии, потому что у всех трех треугольников углы в точности одинаковые .
_____________________________________________________________________________________
Теорема Площадь прямоугольного треугольника $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$ . Площадь = катет * катет : 2 .
_____________________________________________________________________________________
Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.
_____________________________________________________________________________________
Факты:
- 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту .
- 2. "О сумме острых углов": в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
- 3. "О $30^o$": в прямоугольном с углом $30^o$ катет напротив этого угла равен половине гипотенузы. Если к такому треугольнику
про приложить точно такой же получится равностронный с углами $60^o$ и катет напротив $30^o$ окажется ровно половиной
про стороны равностороннего ,а значит это катет $a=\frac{c}{2}$ ; другой катет легко получить по теореме Пифагора : $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ . - 4. "О $45^o$": прямоугольный $\bigtriangleup$ с острым углом в $45^o$ является равнобедренным ; его гипотенуза $c=\sqrt{2}$ * катет.
- 5. "О равнобедренном прямоугольном треугольнике": углы при основании равны и их сумма равна $90^o$ $\Rightarrow$
про оба угла по $45^o$; катеты равны и по т. Пифагора $a^2+a^2=c^2$ $\Rightarrow$ оба катета $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}c$ и $c=\sqrt{2}a$ . - 6. "О высоте в прямоугольном": $h$ проведенная из угла $90^o$ делит исходный треугольник на два ему подобных.
про Ведь высота поделила треугольник на два прямоугольных треугольника , причем с одинаковыми острыми углами ,
про потому что , если одни из острых углов треугольников совпадают, а их сумма двух $90^o$ , то и другие совпадут $\Rightarrow$
про все эти треугольники подобные между собой и исходному. - 7. "Еще о высоте " : высота равна среднегеометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу:
про $CH=h=\sqrt{AH\cdot BH}$ , $h\cdot c=a\cdot b$ . - 8. "О медиане, проведенной к гипотенузе" : она равна половине гипотенузы $CM=\frac{AB}{2}$ , а так же радиусу
про описанной окружности $CM=R$. Точка $M$ на гипотенузе равноудалена от всех трех вершин.
Интерактивные Упражнения: