Учебник
Геометрия, 9 класс

Стандартное обозначение   прямоугольного треугольника     $\bigtriangleup ABC$ :

гипотенуза       $c = AB$
катеты               $a = BC$   
                            $b = AC$
высота              $h=CH$                
        углы:    
прямой    $\angle C$ = $90^o$
острый    $\angle A$ = $\angle BAC$
острый    $\angle B$ = $\angle ABC$

Тригонометрия углов в прямоугольном треугольнике

Определение.       В прямоугольном треугольнике тригонометрическими функциями острых углов   называются     числа:          

синусом       угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе,      $\sin\alpha=\frac{a}{c}$

косинусом   угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе,         $\cos\alpha=\frac{b}{c}$

тангенсом   угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему,    $\tg\alpha=\frac{a}{b}$

котангенсом   угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему,      $\ctg\alpha=\frac{b}{a}$

Замечание:      Отношения сторон не зависят от длин катетов и гипотенузы, они зависят только от углов. Угол здесь очень важен. Не важно какие стороны в треугольнике длинные или короткие ,   важно их отношение    -    оно всегда одно и то же.

_____________________________________________________________________________________

Теорема Пифагора    Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов      $AB^2=AC^2+BC^2$.

_____________________________________________________________________________________

Формулы, соотношений в прямоугольном треугольнике, определения тригонометрических функций острых углов:

Заие.         $\sin A=\frac{BC}{AB}$                $\cos A=\frac{AC}{AB}$                         $\tg A=\frac{BC}{AC}$                          $\ctg A=\frac{AC}{BC}$             

Заие.         $\cos B=\frac{AC}{AB}$                $\cos B=\frac{BC}{AB}$                  $HC=AC\cdot\sin A$                $\frac{HC}{BC}=\frac{AC}{AB}$              $\angle$ACH=$\angle$B

Заче.         $S=\frac{a\cdot b}{2}$                         $S=\frac{AB\cdot CH}{2}$                  $HC=BC\cdot\sin B$                $\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}$              $\angle$BCH=$\angle$A

Замечание:     Катеты можно выразить через гипотенузу и синус (или косинус) острого угла и наоборот.

  • Если в прямоугольном треугольнике известны две величины :   две стороны    или    одна сторона и тригонометрия острого угла,
  • все остальное можно     вычислить - найти - расчитать   по формулам.

Тождества:      $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$      ;        $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$        ;        $\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$    .                         

Формула приведения    тупых углов          $90 < \alpha < 180$       к смежным острым углам       $180-\alpha$ .

$\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(180-\alpha\right)$                               $\cos\left(\alpha\right)=-\cos\left(180-\alpha\right)$ ,   $\tg\left(\alpha\right)=-\tg\left(180-\alpha\right)$ ,   $\ctg\left(\alpha\right)=\ctg\left(180-\alpha\right)$
синус тупого угла   такой же                                           косинус,   тангенс,    котангенс    тупого    -     со знаком    "минус".
    как у "своего смежного" .

Пример 1:      Найти значение   $sinx$,     если $x$ - острый угол,   а      $cosx = 0,8$.

  • Решение:          Ищем формулу, где имеются синус и косинус ,   подойдет основное тождество        $\sin^2x+\cos^2x=1$       .
  • Подставляем   в   него   известную величину,   а именно,      $0,8$      вместо косинуса        $\Rightarrow$        $\sin^2\alpha+\left(0,8\right)^2=1$ .
  • Находим квадрат синуса     $\sin^2x=1-\left(0,8\right)^2=1-0,64=0,36$           $\Rightarrow$        $\sin x=\sqrt{0,36}=0,6$
  • Ответ:     $sinx=0,6$

Замечание:     Cинус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными   тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные.

Задача 2:      В прямоугольном треугольнике известны    площадь $S=120m^2$    и     синус угла   $\frac{5}{13}$ .
Задача 2:      Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

  • Решение:          Пусть треугольник АВС   с прямым углом $C=90^o$,   катетами $a$ и $b$ ;   $\sin A=\frac{5}{13}$ ,
  • Выразим катеты через гипотенузу и угол $А$:   $a=c\cdot\sin A$     $b=c\cdot\cos A$.      Подставим в формулу площади через
  • катеты $S=\frac{ab}{2}=\frac{c^2\cdot\sin A\cdot\cos A}{2}$.     Отсюда выразим гипотенузу      $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$.
  • Вычислим косинус угла $A$   при известном для него синусе    $A$    :          $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\frac{25}{13}}=\frac{12}{13}$
  • Найдем гипотенузу     $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$     ,     $c^2=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}}=4\cdot13^2\cdot m^2$      ,        $c=26m$
  • Другая формула той же площади       $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$    позволит выразить высоту через площадь   и    гипотенузу,   на которую эта
  • высота опущена:           $h=\frac{2\cdot S}{c}=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{26\cdot m}=\frac{120}{13}m$      .                Ответ:     $h=\frac{120}{13}m$ .

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

Рассуждения о прямоугольном треугольнике:

  • Если к прямоугольному треугольнику приложить точно такой же, можно получить прямоугольник. Как бы два треугольника превратили в   "половинки" прямоугольника , гипотенуза стала диагональю.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Середина гипотенузы находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин прямоугольного треугольника , т.к. эта точка есть точка пересечения диагоналей прямоугольника, получаемого достроением прямоугольного треугольника до "обрамляющего" прямоугольника.
  • Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, "режет" треугольник на ему же подобные копии, потому что у всех трех треугольников углы в точности одинаковые .

побa

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Площадь   прямоугольного треугольника     $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$   .        Площадь = катет * катет : 2 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема Пифагора.     Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника   равна    квадрату гипотенузы.

_____________________________________________________________________________________

Факты:

  • 1.     Площадь   прямоугольного треугольника   равна   половине произведения гипотенузы на высоту .
  • 2.     "О сумме острых углов":     в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
  • 3.     "О $30^o$":    в прямоугольном с углом   $30^o$   катет напротив этого угла равен половине гипотенузы. Если к такому треугольнику
    про приложить точно такой же получится равностронный   с углами   $60^o$    и   катет напротив    $30^o$ окажется ровно половиной
    про стороны равностороннего ,а значит это катет    $a=\frac{c}{2}$    ;   другой катет легко получить по теореме Пифагора :   $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ .
  • 4.      "О $45^o$":    прямоугольный    $\bigtriangleup$    с острым углом   в   $45^o$   является равнобедренным   ; его гипотенуза       $c=\sqrt{2}$ * катет.
  • 5.      "О равнобедренном прямоугольном треугольнике":    углы при основании равны    и   их сумма равна     $90^o$      $\Rightarrow$
    про оба угла по    $45^o$;     катеты равны и по т. Пифагора    $a^2+a^2=c^2$    $\Rightarrow$   оба   катета      $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}c$      и      $c=\sqrt{2}a$ .
  • 6.     "О высоте в прямоугольном":    $h$   проведенная из угла $90^o$ делит исходный треугольник на два   ему подобных.
    про Ведь высота поделила треугольник на два прямоугольных треугольника ,   причем   с   одинаковыми   острыми   углами ,
    про потому что , если одни из острых углов треугольников совпадают, а   их сумма двух   $90^o$ ,   то и другие совпадут        $\Rightarrow$
    про все эти треугольники подобные между собой и исходному.
  • 7.     "Еще о высоте " :    высота     равна    среднегеометрическому    отрезков,   на которые она   делит   гипотенузу:
    про    $CH=h=\sqrt{AH\cdot BH}$    ,     $h\cdot c=a\cdot b$ .
  • 8.      "О медиане, проведенной к гипотенузе" :    она    равна   половине гипотенузы    $CM=\frac{AB}{2}$   , а так же   радиусу
    про    описанной окружности   $CM=R$.     Точка $M$   на гипотенузе   равноудалена от всех трех вершин.

              

Интерактивные Упражнения: