Расчет прямоугольного треугольника

Стандартное обозначение   прямоугольного треугольника     $\bigtriangleup ABC$ :

Теорема Пифагора    Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов      $AB^2=AC^2+BC^2$.

Площадь    прямоугольного треугольника      $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$   .        Площадь = катет * катет : 2 .

Напротив 30 градусов    лежит катет, равный половине гипотенузы прямоугольного треугольника .

Медиана,    опущенная на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.

Высота     прямоугольного треугольника делит его на два подобных между собой и исходному треугольнику.

Высота прямоугольного треугольника равна средне-геометрическому частей гипотенузы, на которые делит гипотенузу.

Подобные прямоугольные     треугольники имеют хотя бы по одному равные острые углы.         Признак I:

Тригонометрия углов в прямоугольном треугольнике,   функции углов:    

• синусом       угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе,      $\sin\alpha=\frac{a}{c}$
• косинусом   угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе,         $\cos\alpha=\frac{b}{c}$
• тангенсом   угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему,    $\tg\alpha=\frac{a}{b}$
• котангенсом   угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему,      $\ctg\alpha=\frac{b}{a}$

Замечание:      Отношения сторон не зависят от длин катетов и гипотенузы, они зависят только от углов. Угол здесь очень важен. Не важно какие стороны в треугольнике длинные или короткие ,   важно их отношение    -    оно всегда одно и то же.

Формулы, соотношений в прямоугольном треугольнике, определения тригонометрических функций острых углов:

Заие.         $\sin A=\frac{BC}{AB}$                $\cos A=\frac{AC}{AB}$                         $\tg A=\frac{BC}{AC}$                          $\ctg A=\frac{AC}{BC}$           

Заие.         $\sin B=\frac{AC}{AB}$                $\cos B=\frac{BC}{AB}$                  $HC=AC\cdot\sin A$                $\frac{HC}{BC}=\frac{AC}{AB}$              $\angle ACH=\angle B$

Заче.         $S=\frac{a\cdot b}{2}$                         $S=\frac{AB\cdot CH}{2}$                  $HC=BC\cdot\sin B$                $\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}$              $\angle BCH=\angle A$

Замечание:     Катеты можно выразить через гипотенузу и синус (или косинус) острого угла и наоборот.

• Если в прямоугольном треугольнике известны две величины :   две стороны    или    сторона и тригонометрия угла ...
• ...    все остальное можно     вычислить - найти - расчитать   по формулам.
• Тождества:      $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$      ;        $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$        ;        $\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$    .                      
  
• Связанность:     Cинус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными   тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные.

Задача 1:    На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см изображен треугольник.

__     

Задача 2:         В треугольнике $\bigtriangleup ABC$   дана высота $BH=7$   и угол у основания $\angle BCA=60^o$, а косинус другого угла     $\cos \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$: .     Найти стороны треугольника.

• Высота поделила наш треугольник на   два прямоугольных треугольника   $ABH$,   $CBH$
• В треугольнике $ABH$ известны катет и косинус угла. Найдем все стороны. Сперва    по косинусу найдем синус, тангенс:
• $\sin \angle BAC=\sqrt{1-(\cos \angle BAC)^2}=\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2}=\sqrt{1-\frac{4\cdot 2}{9}}=\frac{1}{3}$                  теперь,    $\tg \angle BAC=\frac{\sin \angle BAC}{\cos \angle BAC}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
• Из определения синуса    $\sin BAH=\frac{BH}{AB}$   выразим гипотенузу    $AB=\frac{BH}{\sin BAH}$   , найдем   $AB=\frac{7}{\frac{1}{3}}=21$
  
• Из   $\tg \angle BAC=\frac{BH}{AH}$       $\Rightarrow$    выразим катет    $AH=\frac{BH}{\tg \angle BAC}$    $\Rightarrow$       $AH=\frac{7}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}=14\sqrt{2}$
• В прямоуголльном треугольнике $CBH$ известен катет и хороший угол     $60^o$.    Рассчитаем другой катет и гипотенузу.
• Из $\sin 60^o=\frac{BH}{BC}$ подставляя значения      $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{BC}$         получим,       $BC= \frac{7\cdot 2}{\sqrt{3}}= \frac{14\sqrt{3}}{3}$
• Из $\tg 60^o=\frac{BH}{CH}$      $\Rightarrow$      $\sqrt{3}=\frac{7}{CH}$       $\Rightarrow$       $CH= \frac{7}{\sqrt{3}}= \frac{7\sqrt{3}}{3}$
• Сторону     $AC$    найдем как сложение двух частей       $AC=AH+HC=14\sqrt{2}+\frac{7\sqrt{3}}{3}=7\cdot +\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}$

Задача 3:   В прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup ABC$   дана высота $CH=12$   прямого угла и тангенс одного из острых углов, $\tg \angle CBA=\frac{\sqrt{6}}{4}$ . Найти отрезки, на которые высота делит гипотенузу

• Высота $CH$ делить треугольник на   два прямоугольных треугольника   $ACH$,   $BCH$. С теми же углами, как у    $\bigtriangleup ABC$.
• В прямоугольном $\bigtriangleup AHC$ по катету и тангенсу найдем другой катет:   $\tg \angle BAC=\frac{CH}{AH}$        $\Rightarrow$   $AH=\frac{CH}{\tg \angle BAC}=\frac{12}{\frac{\sqrt{6}}{4}}=8\sqrt{6}$
• Тангенс другого острого   угла   $ \angle ABC$ равен котангенсу     $\angle BAC$:            $\tg \angle ABC=\ctg \angle BAC=\frac{1}{\tg \angle BAC}=\frac{4}{\sqrt{6}}$
• В прямоугольном $\bigtriangleup BHC$:         $\tg \angle HBC=\frac{CH}{BH}$         выразим катет      $\Rightarrow$   $BH=\frac{CH}{\tg \angle HBC}=\frac{12}{\frac{4}{\sqrt{6}}}=3\sqrt{6}$
• Произведение отрезков гипотенузы      $AH\cdot BH=8\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}=24\cdot 6=144$,      Квадрат высоты   $CH^2=12^2=144$.
• Теорема: Квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.       $AH\cdot BH=\frac{CH}{\tg \angle BAC}\cdot \frac{CH}{\ctg \angle BAC}=CH^2$

Задача 4:      В прямоугольном треугольнике известны    площадь $S=120m^2$    и     синус угла   $\frac{5}{13}$ .
Задача 2:      Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

• Решение:          Пусть треугольник АВС   с прямым углом $C=90^o$,   катетами $a$ и $b$ ;   $\sin A=\frac{5}{13}$ ,
  
• Выразим катеты через гипотенузу и угол $A$ :   $a=c\cdot\sin A$     $b=c\cdot\cos A$.      Подставим в формулу площади через
• катеты $S=\frac{ab}{2}=\frac{c^2\cdot\sin A\cdot\cos A}{2}$.     Отсюда выразим гипотенузу      $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$.
• Вычислим косинус угла $A$   при известном для него синусе    $A$    :          $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\frac{25}{13}}=\frac{12}{13}$
  
• Найдем гипотенузу     $c^2=\frac{2S}{\sin A\cdot\cos A}$     ,     $c^2=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}}=4\cdot13^2\cdot m^2$      ,        $c=26m$
• Другая формула той же площади       $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$    позволит выразить высоту через площадь   и    гипотенузу,   на которую эта
  
• высота опущена:           $h=\frac{2\cdot S}{c}=\frac{2\cdot120\cdot m^2}{26\cdot m}=\frac{120}{13}m$      .                Ответ:     $h=\frac{120}{13}m$ .

Формулы и свойства прямоугольного треугольника    

Рассуждения о прямоугольном треугольнике:

Если к прямоугольному треугольнику приложить точно такой же, можно получить прямоугольник. Как бы два треугольника превратили в   "половинки" прямоугольника , гипотенузой стала диагональ прямоугольника.

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Середина гипотенузы находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин прямоугольного треугольника , т.к. эта точка есть точка пересечения диагоналей прямоугольника, получаемого достроением прямоугольного треугольника до "обрамляющего" прямоугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, "режет" треугольник на ему же подобные копии, потому что у всех трех треугольников углы в точности одинаковые .

Факты:      что надо    видеть и знать    при прямоугольных треугольниках

• 1.      Площадь     прямоугольного треугольника   равна   половине произведения гипотенузы на высоту .
• 2.      "О сумме острых углов":       в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
• 3.      "О $30^o$":      в прямоугольном с углом   $30^o$   катет напротив этого угла равен половине гипотенузы. Если к такому треугольнику
  про приложить точно такой же получится равностронный   с углами   $60^o$    и   катет напротив    $30^o$ окажется ровно половиной
  про стороны равностороннего ,а значит это катет    $a=\frac{c}{2}$    ;   другой катет легко получить по теореме Пифагора :   $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ .
• 4.      "О $45^o$":     прямоугольный    $\bigtriangleup$    с острым углом   в   $45^o$   является равнобедренным   ; его гипотенуза       $c=\sqrt{2}$ * катет.
• 5.      "О равнобедренном прямоугольном треугольнике":     углы при основании равны    и   их сумма равна     $90^o$      $\Rightarrow$ оба угла по    $45^o$;     катеты равны и по т. Пифагора    $a^2+a^2=c^2$    $\Rightarrow$    оба   катета      $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}c$      и      $c=\sqrt{2}a$ .
• 6.     "О высоте в прямоугольном":      $h$   проведенная из угла $90^o$ делит исходный треугольник на   два   ему подобных.
  про Ведь высота поделила треугольник на два прямоугольных треугольника ,   причем   с   одинаковыми   острыми   углами ,
  про потому что , если одни из острых углов треугольников совпадают, а   их сумма двух   $90^o$ ,   то и другие совпадут        $\Rightarrow$
  про все эти треугольники подобные между собой и исходному.
• 7.     "Еще о высоте " :     высота     равна    среднегеометрическому    отрезков,   на которые она   делит   гипотенузу:
  про    $CH=h=\sqrt{AH\cdot BH}$    ,     $h\cdot c=a\cdot b$ .
• 8.      "О медиане, проведенной к гипотенузе" :      она    равна   половине гипотенузы    $CM=\frac{AB}{2}$   , а так же   радиусу   описанной окружности   $CM=R$.     Точка $M$   на гипотенузе   равноудалена   от всех трех вершин.

              

Тригонометрия хороших углов:        30 ,   45,   60,   120,   135,   150

• Формула приведения   тупых углов          $90 < \alpha < 180$       к смежным острым        $180-\alpha$:         синус тупого   угла   такой же, как у своего смежного.                 косинус,   тангенс,    котангенс    тупого    такой же, как    минус своего смежного:
• $\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(180-\alpha\right)$                               $\cos\left(\alpha\right)=-\cos\left(180-\alpha\right)$ ,
  
• $\tg\left(\alpha\right)=-\tg\left(180-\alpha\right)$                              $\ctg\left(\alpha\right)=-\ctg\left(180-\alpha\right)$
  

Решаем устно:

Упражнения   (A):

Упражнения   (B):

еще задачи: