Учебник
Геометрия, 8 класс

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • "Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное - узнать его в движении, при изменениях"
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей - ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали - новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали - ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если "зряче видим" центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас "в кармане".

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O - пересечения диагоналей.      O - центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ - ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $\angle A=\angle C$ ,   $\angle B=\angle D$ . Прилежащие       $\angle A+\angle B=180^o$   ,    $\angle A+\angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=\frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=\frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $\bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов - делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Квадрат - одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата    равны между собой и делятся пополам.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $\angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $\bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $\Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $\bigtriangleup BCD$ у вершины   $\angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      "Односторонние углы":     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30'$   ,   $67^o30'$

           

  • Полезные напоминания: "В равностороннем треугольнике все углы равны    60    градусов.
  • Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник - стороны равны, углы тоже.
  • В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения: