Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- "Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное - узнать его в движении, при изменениях"
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей - ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали - новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по другой диагонали - ромб совпадает с самим собой. Симметрия.
Замечание: Если "зряче видим" центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас "в кармане".
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O - пересечения диагоналей. O - центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ - ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $\angle A=\angle C$ , $\angle B=\angle D$ . Прилежащие $\angle A+\angle B=180^o$ , $\angle A+\angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=\frac{AC}{2}$ и $BO=OD=\frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $\bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $\bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов - делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Квадрат - одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.
Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $\angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.
- Решение: Рассмотрим $\bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $\Rightarrow$ каков данный треугольник?
- По условию, угол $\bigtriangleup BCD$ у вершины $\angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
- Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.
Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: "Односторонние углы": В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30'$ , $67^o30'$
- Полезные напоминания: "В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
- Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник - стороны равны, углы тоже.
- В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
Упражнения:
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.
Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.
Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.
Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)
Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.
Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?
Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.