Учебник
Геометрия, 8 класс

Площадь фигур, свойство аддитивности    

Площадь   -   это численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры:

1)   Единица площади:                Площадь   единичного квадрата      $1$ х $1$     равна    $1$.

2)   Cвойство аддитивности:    Площадь   фигуры    равна    количеству    покрывающих    её    равных    квадратиков ,

  • Сколько единичных квадратиков покроют фигуру, столько и есть площадь этой фигуры.
  • Даже если какие-то квадратики пришлось "порезать" и пересобрать в другом порядке.
  • Если фигура состоит из кусков с уже известными площадями 17 и 25, то площадь этой фигуры = 17 + 25 = 32.

          

Площадь фигуры   величина положительная , её   численное значение    обладает    следующими    свойствами:

  • равные фигуры имеют равные площади   ;
  • площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей    ;
  • площадь квадрата, построенного на единичном отрезке, равна единице.
  • Измеряется площадь в квадратных единицах    ($см^2$   , $м^2$ ), как сумма элементарных квадратиков со стороной $1$ .
  • Свойство аддитивности позволяет   вычислять   площадь    не только по формуле суммы, но и по формуле разности.
  • Можно достроить искомую фигуру до прямоугольника,   найти   площади   всех   получившихся    дополнительных   фигур   и   площадь самого прямоугольника.
  • Площадь искомой фигуры   равна   Площадь   прямоугольника    минус   Сумма площадей всех лишних фигур.

     

Формулы площадей фигур    

Площадь прямоугольника равна произведению ширины на высоту, т.е. произведению его сторон.:

  • ширина   показывает сколько квадратиков в каждой строке,   а    высота    -    сколько таких строк помещается.
  • Перемножение количества строк   на количество квадратиков в каждой полосе   -   это   и есть произведение сторон прямоугольника.
  • Осмыслите: для целых значений сторон нужно подсчитать покрытие всего прямоугольника единичными квадратиками.
  • Осмысление даже при дробных значениях сторон     ......      через умножение и деление ... т.е. "много одинаковых" ...

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Площадь прямоугольника      $S_{ABCD}=a\cdot b$   .
                    Площадь   равна произведению сторон   (столько квадратиков покрывают прямоугольник) .       

_____________________________________________________________________________________

        

Иллюстрации понятия площади:

  • площадь зеленного квадрата     $S_{ABCD}=4$     потому, что содержит   $4$   квадрата   $1х1$ ;
  • площадь сиреневого прямоугольника    $S_{ABCD}=36$    потому, что состоит из   $36$   квадратиков;
  • ....       или   рассуждаем   через   произведение   ширины на высоту   $S=a\cdot b$   $\Rightarrow$    $9 х 4 =36$ ;
  • площадь зеленой фигуры   $38$ ,   потому как содержит ровно   $38$   квадратов   $1х1$    или достраиваем её до прямоугольника   и :
  • ....       $S_{DCBALKHGFE}=S_{DENM}-S_{MCBA}-S_{LKHGFN}=6\cdot10-2\cdot4-\left(2\cdot5+2\cdot2\right)= 38$ (разность кусков)   ;
  • площадь   синей фигуры как Разность между   целым и кусочками = $6\cdot10-2\cdot5-1\cdot2= 48$
  • ....       если посчитать   единичные квадратики - их в фигуре ровно   $48$ ;

  • площадь   сиреневого $\bigtriangleup ABC$    равна половине $S_{ANBC}$   ,   потому что этот прямоугольник состоит из двух равных    $\bigtriangleup ABC$      и    $\bigtriangleup ANB$ ,
  • значит    $S_{AMBC}=S_{ABC}+S_{AMB}=2\cdot S_{ABC}$    и тогда     $S_{ABC}=\frac{S_{AMBC}}{2} =\frac{4\cdot7}{2}$         ;
  • из таких же соображений аддитивности    $S_{ABC}=S_{ANBC}-S_{ANB}-S_{CBM}=4\cdot9-\frac{4\cdot9}{2}-\frac{4\cdot3}{2}$ ;
  • $S_{ABC}=14$   еще и потому , что   $\bigtriangleup ABC$    можно "покрыть"   ровно    $14$-ью    квадратиками,
  • хотя для этого и пришлось некоторые   порезать на кусочки и составить из них мозаику.
  • синий треугольник можно выложить "как пазл" из   $12$-ти   квадратиков $1х1$ , предварительно порезав на нужные кусочки.

Главное свойство:         Сумма площадей кусков фигуры        равна       площади целой фигуры.

                  

Задача 1.    Найти площади изображенных на рисунках фигур. Использовать свойства "складывания площадей", "вычитания площадей", "формулу площади треугольника", "равные фигуры - равные площади", "половина фигуры - половина площади".

               

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Площадь квадрата равна   квадрату его стороны.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Площадь   прямоугольного треугольника      $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$      -    "половина произведения катетов" ,
                    "половина площади обрамляющего прямоугольника"

_____________________________________________________________________________________

   

_____________________________________________________________________________________

Теорема Пифагора    Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов    $c^2=a^2+b^2$

_____________________________________________________________________________________

  • Теорема Пифагора доказывается через осмысление площадей частей и целого, с помощью сконструированной фигуры .....
  • Сконструируем прямоугольник так: В углах расставим прямоугольные треугольники так, чтоб они составляли один большой прямоугольник.
  • Сторона большого прямоугольника состоит из отрезков - катетов прямоугольного треугольника, т.е. равен сумме катетов.
  • А внутри прямоугольника "будет сидеть" квадрат со стороной, равной гипотенузе прямоугольного треугольника.
  • Площадь внутреннего квадрата равна площадь большого прямоугольника минус четырежды площадь прямоугольного треугольника.
  • С другой стороны, Площадь внутреннего квадрата равна квадрату гипотенузы. По формуле площади квадрата.
  • Значит, эти числа равны:     $\left(a+b\right)^2-4\cdot\frac{ab}{2}=c^2$.    Отсюда и получается    Теорема Пифагора.
  • Через понятие площади так же можно вывести   Формулы сокращенного умножения .

      

Задача 2.    Трапеция имеет основания 10 и 6, высоту 5. Какой наибольший прямоугольник со стороной 6 можно вписать внутри трапеции. Чему равна его площадь. Какой наименьший прямоугольник со стороной 10 будет обрамлять трапецию снаружи. Какова его площадь. Укажи два числа, между которыми заключена площадь самой трапеции.

  • Наибольший прямоугольник со стороной 6 будет опираться на меньшее основание и "продолжаться" до большого основания.
  • Наименьший прямоугольник со стороной 10 будет опираться на большее основание и содержат в себе всю трапецию.
  • Площади этих прямоугольников можно расчитать по формуле "ширина на высоту".
  • Свойство площадей: если одна фигура полностью содержится внутри бругой, то ее площадь меньше.
  • Визуально сравним площади трапеции и полученных прямоугольников. Что больше, что меньше?

Задача 3.      В треугольнике     $ABC$     $\angle BAC$ -   прямой,      $AB$   и   $AC$   равны соответственно   $1$    и    $3$ . Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $7:1$, считая от точки $A$.   Что больше: длина $AC$ или длина $BK$ ?

  • Решение:    Чтобы найти $BK$, которая является гипотенузой в треугольнике $ABK$, нужно знать длину катета $AK$ .
  • Найдем отрезок как долю стороны:           $AK=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}\cdot 3=2,625$   .
  • Теперь для треугольника   $ABK$   составим теорему Пифагора   $BK^2=AB^2+AK^2$
  • Выразим отрезок из равенства:       $BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{1+\frac{441}{64}}=\sqrt{\frac{505}{64}}$ .
  • Осталось сравнить числа $\sqrt{\frac{505}{64}}$    и    $3$.
  • Представим последнее как   $3=\sqrt{9}=\sqrt{\frac{9\cdot64}{64}}=\sqrt{\frac{576}{64}}$ .              Ответ:     $AC>AB$

теорема пифагора        теорема пифагора

Задача 4.      В прямоугольнике     $ABCD$     длины   отрезков   $AB$ и   $BD$ равны соответственно   $2$   и    $\sqrt{7}$. Точка $M$   делит   $CD$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$. $K$ – середина $AD$.   Что больше: длина $BK$ или длина $AM$ ?

  • Решение:          Определим сначала $BK$   ,   для этого найдем $AK$:
  • $AB^2+AD^2=BD^2$     ,     $AD^2= BD^2- AB^2$     ,     $AD=\sqrt{ BD^2- AB^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}$       ,     $AK=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$
  • Теперь переходим к $\bigtriangleup ABK$, где   $BK$ – гипотенуза     $BK^2=AB^2+AK^2$     $\Rightarrow$   $BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$ .
  • Найдем теперь   $AM$:     $MD=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}$           ,          $AM=\sqrt{AD^2+MD^2}=\sqrt{3+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$ .
  • Осталось сравнить дроби    $\frac{19}{4}$   и    $\frac{43}{9}$.    Приведение к общему знаменателю:    $\frac{19}{4}=\frac{171}{36}$       и       $\frac{43}{9}=\frac{172}{36}$.
  • Таким образом, длина   $AM$    больше длины     $BK$.                                Ответ:     $AM>BK$

Еще о площадях фигур    

Две фигуры называются равновеликими, если у них одинаковые, равные площади.

Способ   получения   или   доказательства    формулы    площади   той   или   иной   фигуры    состоит   в    "разрезании" этой   фигуры   на    кусочки   и    "пересобирании"   этих   кусочков   так,   чтобы   получилась   фигура   с    уже    известной площадью.    Если    эти   кусочки   не   перекраиваются,   то    из    свойства    аддитивности:   фигура   до    разрезания   и фигура    после   "собирания"    будут    равновеликими.

Например,   от   трапеции   можно   отрезать   2   треугольника   и приставить   так,   что   получится    прямоугольник.    От   параллелограмма   можно   отрезать треугольник и   приставить   в   другом   месте   и   опять же   получится   известный   прямоугольник или же   параллелограмм   диагональю   разделится   на   2   треугольника.

Любой   треугольник   высотой   "режется"   на   два   прямоугольных   треугольника.   Прямоугольные    треугольники   (одинаковые), в свою очередь, получаются   путем   разрезания прямоугольника   по диагонали.    Каждый   раз   площадь   осмысливается через   площади   либо кусочков,   либо той фигуры, "собранной"   этих   кусочков ,   т.е.   путем   активного   использования
свойства аддитивности    площади.

В итоге,   получается    единный    взгляд    на   понятие    площадь    фигуры,   как    "переcбор"    составляющих   кусочков:

Площадь "прямой" фигуры   равна    произведению   "усредненной ширины" на высоту    или      $S=a\cdot h$.

Площадь "остроконечной" фигуры   равна половине произведения "средней ширины"   на   высоту:   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$

  • "Прямые фигуры" - прямоугольник, параллелограмм, квадрат, ромб, четырехкгольник, трапеция
  • "Остроконечные фигуры":   пробa треугольник, сектор, круг, трапеция(гибрид)    

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 51:     Площадь прямоугольника АВСD равна 80 см2, К, М, N, Р – середины его сторон. Найдите площадь четырёхугольника КМNР.

Задача 52:     Один катет прямоугольного треугольника в 3 раза больше другого. Площадь треугольника равна 24 см2. Найдите больший катет этого треугольника.

Задача 53:     Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Один из острых углов в 2 раза меньше другого. Найдите катет, лежащий против большего из острых углов.

Задача 54:    Площадь прямоугольного земельного участка равна 20 га. Длина этого участка равна 500 м. Найдите ширину этого участка.

Задача 55:     Найдите периметр и площадь ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см

Задача 56:     Диагонали ромба равны 24 см и 36 см. Найдите площадь ромба.

Задача 57:    Стороны треугольника 7, 24 и 25. Определите его вид и вычислите площадь треугольника.

Задача 58:    Одна из диагоналей ромба равна 48, а его сторона равна 25. Найдите площадь ромба.

Задача 59:     Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 41, а его основание равно 18. Найдите площадь треугольника.

Задача 60:     Основание равнобедренного треугольника равно 48 см. Высота, проведённая к основанию равна 10 см. Найдите боковую сторону треугольника и высоту к ней.

Задача 61:   

Задача 62: