preHistory, repeat:
- Прямоугольник – Четырехугольник, у которого все углы прямые, 90 градусов.
- Прямоугольный треугольник – Треугольник, у которого имеется прямой угол, 90 градусов.
- Гипотенуза – Сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла.
- Катеты – Стороны прямоугольного треугольника, прилежащие к прямому углу.
- Сумма острых углов равна .90 градусов.
- Медиана, опущенная на гипотенузу равна половине гипотенузы ... равнобедренные $\bigtriangleup$ - и.
XIII . §11. Углы Прямоугольного Треугольника
XIII . §16. Прямоугольный Треугольник с углом 30 градусов.
XIII . §17. Четырехугольники: Свойства Углов.
Площадь фигур, свойство аддитивности
Площадь - это численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры:
Единица площади: Площадь единичного квадрата $1$ х $1$ равна $1$.
Cвойство аддитивности: Площадь фигуры равна количеству покрывающих её равных квадратиков ...
- Площадь фигуры величина положительная , её численное значение обладает следующими свойствами:
- Сколько единичных квадратиков покроют фигуру, столько и есть площадь этой фигуры. Даже если какие-то квадратики пришлось порезать и пересобрать в другом порядке. Если фигура состоит из кусков с уже известными площадями 17 и 25, то площадь этой фигуры = 17 + 25 = 32.
- Равные фигуры имеют равные площади ;
- Площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей ;
- Площадь квадрата, построенного на единичном отрезке, равна единице. Измеряется площадь в квадратных единицах ($см^2$ , $м^2$ ), как сумма элементарных квадратиков со стороной $1$ .
- Свойство аддитивности позволяет вычислять площадь не только по формуле суммы, но и по формуле разности. Можно достроить искомую фигуру до прямоугольника, найти площади всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.
- Площадь искомой фигуры равна Площадь прямоугольника минус Сумма площадей всех лишних фигур.
Формулы площадей фигур
Площадь прямоугольника равна произведению ширины на высоту, т.е. произведению его сторон.:
- ширина показывает сколько квадратиков в каждой строке, а высота - сколько таких строк помещается.
- Перемножение количества строк на количество квадратиков в каждой полосе - это и есть произведение сторон прямоугольника.
- Осмыслите: для целых значений сторон нужно подсчитать покрытие всего прямоугольника единичными квадратиками.
- Осмысление даже при дробных значениях сторон ...... через умножение и деление ... т.е. "много одинаковых" ...
Theo: Площадь прямоугольника $S_{ABCD}=a\cdot b$ .
Площадь равна произведению сторон (столько квадратиков покрывают прямоугольник) .
Главное свойство: Сумма площадей кусков фигуры равна площади целой фигуры.
Задача 1. Найти площади изображенных на рисунках фигур. Использовать свойства "складывания площадей", "вычитания площадей", "формулу площади треугольника", "равные фигуры - равные площади", "половина фигуры - половина площади".
Формулы: квадрат, прямоугольный треугольник
Theo: Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Theo: Площадь прямоугольного треугольника $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$ - половина произведения катетов ,
(половина площади обрамляющего прямоугольника)
Theo Пифагора Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов $c^2=a^2+b^2$
Сконструируем прямоугольник: В углах расставим прямоугольные треугольники так, чтоб они составляли один большой прямоугольник.. Внутри прямоугольника сидит квадрат со стороной, равной гипотенузе прямоугольного треугольника. Площадь внутреннего квадрата равна площадь большого прямоугольника минус четырежды площадь прямоугольного треугольника. С другой стороны, Площадь внутреннего квадрата равна квадрату гипотенузы. Значит, $\left(a+b\right)^2-4\cdot\frac{ab}{2}=c^2$. Отсюда и получается Теорема Пифагора.
Задача 2. Трапеция имеет основания $10$ и $6$, высоту $5$. Какой наибольший прямоугольник со стороной 6 можно вписать внутри трапеции. Чему равна его площадь. Какой наименьший прямоугольник со стороной $10$ будет обрамлять трапецию снаружи. Какова его площадь. Укажи два числа, между которыми заключена площадь самой трапеции.
- Наибольший прямоугольник со стороной $6$ будет опираться на меньшее основание и "продолжаться" до большого основания.
- Наименьший прямоугольник со стороной $10$ будет опираться на большее основание и содержат в себе всю трапецию.
- Площади этих прямоугольников можно расчитать по формуле "ширина на высоту".
- Свойство площадей: если одна фигура полностью содержится внутри другой, то ее площадь меньше.
- Визуально сравним площади трапеции и полученных прямоугольников. Что больше, что меньше?
Задача 3. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC$ - прямой, $AB$ и $AC$ равны соответственно $1$ и $3$ . Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $7:1$, считая от точки $A$. Что больше: длина $AC$ или длина $BK$ ?
- Чтобы найти $BK$, которая является гипотенузой в треугольнике $ABK$, нужно знать длину катета $AK$ .
- Найдем отрезок как долю стороны: $AK=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}\cdot 3=2,625$ .
- Теперь для прямоугольного $\bigtriangleup ABK$ составим теорему Пифагора $BK^2=AB^2+AK^2$
- Выразим отрезок из равенства: $BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{1+\frac{441}{64}}=\sqrt{\frac{505}{64}}$ .
- Осталось сравнить числа $\sqrt{\frac{505}{64}}$ и $3$.
- Представим последнее как $3=\sqrt{9}=\sqrt{\frac{9\cdot64}{64}}=\sqrt{\frac{576}{64}}$ . Ответ: $AC>AB$
Задача 4. В прямоугольнике $ABCD$ длины отрезков $AB$ и $BD$ равны соответственно $2$ и $\sqrt{7}$. Точка $M$ делит $CD$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$. $K$ – середина $AD$. Что больше: длина $BK$ или длина $AM$ ?
- Решение: Определим сначала $BK$ , для этого найдем $AK$:
- $AB^2+AD^2=BD^2$ , $AD^2= BD^2- AB^2$ , $AD=\sqrt{ BD^2- AB^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}$ , $AK=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$
- Теперь переходим к $\bigtriangleup ABK$, где $BK$ – гипотенуза $BK^2=AB^2+AK^2$ $\Rightarrow$ $BK=\sqrt{ AB^2+AK^2}=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$ .
- Найдем теперь $AM$: $MD=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}$ , $AM=\sqrt{AD^2+MD^2}=\sqrt{3+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$ .
- Осталось сравнить дроби $\frac{19}{4}$ и $\frac{43}{9}$. Приведение к общему знаменателю: $\frac{19}{4}=\frac{171}{36}$ и $\frac{43}{9}=\frac{172}{36}$.
- Таким образом, длина $AM$ больше длины $BK$. Ответ: $AM>BK$
Решаем устно:
Упражнения (A):
Упражнения (B):
Упражнения (C):
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 51: XX Площадь прямоугольника АВСD равна 80 см2, К, М, N, Р – середины его сторон. Найдите площадь четырёхугольника КМNР.
Задача 52: XX Один катет прямоугольного треугольника в 3 раза больше другого. Площадь треугольника равна 24 см2. Найдите больший катет этого треугольника.
Задача 53: XX Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Один из острых углов в 2 раза меньше другого. Найдите катет, лежащий против большего из острых углов.
Задача 54: Площадь прямоугольного земельного участка равна 20 га. Длина этого участка равна 500 м. Найдите ширину этого участка.
Задача 55: Найдите периметр и площадь ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см
Задача 61:
Задача 62: