Углы при двух параллельных и секущей

Учебник
Геометрия, 7 класс
IMG_0454.JPG

Учитель

Темур Кварацхелия
Углы при двух параллельных и секущей

Пересечение двух параллельных прямых одной секущей

Параллельными      называются пара прямых, которые при продолжении не пересекаются.

  • Когда      две паралелльные прямые      $a$    и   $b$     пересекаются секущей    $c$ , то образуется много разнообразных углов.
  • Некоторые    пары углов имеют свои имена - названия:

пара     накрест лежащие углы   :   ∠3   и   ∠5,         ∠4   и    ∠6;
пара     односторонние углы   :       ∠4    и   ∠5,         ∠3   и   ∠6;
пара     соответственные углы :      ∠1   и   ∠5,         ∠4   и   ∠8,      ∠2   и   ∠6,      ∠3   и   ∠7.

Свойства углов, образованных при пересечении секущей с двумя параллельными:     

  • накрест лежащие углы равны:                          ∠ 3 = ∠5,         ∠ 4 = ∠6.
  • соответственные углы равны:                          ∠ 1 = ∠ 5,      ∠ 4 = ∠ 8,       ∠ 2 = ∠ 6,      ∠ 3 = ∠ 7.
  • сумма односторонних углов равна 180 градусов:       ∠ 3 + ∠ 6 = 180 $^o$,       ∠ 4 + ∠ 5 = 180 $^o$.

        

Теорема    Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ;
ТеоремаТеорема    *       соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема    *      вертикальные равны        ∠3 = ∠1,        ∠8 = ∠6 .

Свойства параллельных прямых, признаки параллельности:

Св-во 2-х перпендикулярных:    Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.

Св-во односторонных углов:    Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются:   3 + 6 < 180 ;     4 + 5 > 180 .

Св-во ассоциативности    Если одна прямая параллельна   второй, а вторая параллельна   третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.

Задача 1:   На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.

  • Решение:        АС ║ МК параллельны, АК - секущая, $\Rightarrow$   ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $\Rightarrow$   ∠КАВ = 40°.
  • ∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК       $\Rightarrow$    углы у основания   ∠КАВ = ∠АКВ значит,   $\Rightarrow$   ∠АКВ = 40°.
  • Значит, углы   ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность,      ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
  • АС ║ МК параллельны, АК - секущая, $\Rightarrow$   ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $\Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.

                 

Задача 2:   На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°,   ∠АВК = 150°,   ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.

  • Решение:     Углы ∠ВАМ и ∠АВК - односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
  • Сумма односторонных 180°? ... по теореме "о параллельных", прямые   АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
  • Теперь:    АМ ║ ВК,      СР - секущая. Односторонные углы равные,   ∠ВКС = ∠АМК.       Значит,   ∠АМК = 110°.
  • Наконец, углы    ∠АМК и ∠АМР - смежные. Значит,   ∠АМК + ∠АМР = 180°.     $\Rightarrow$       ∠АМР = 180° - ∠АМК = 70°.
  • Ответ:    ∠АМР = 70°.            Замечание: "надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним".

Задача 3:   На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.

  • Решение:     Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим:   ∠САВ = 3∠РМК
  • Как связаны искомые углы по рисунку?        ∠САВ и ∠МАВ - смежные, значит ∠МАВ = 180° - ∠САВ.
  • Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
  • Из двух равенств получаем   ∠РМК = 180° - ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим:   ∠РМК = 180° - 3∠РМК
  • ∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°.               Ответ:         45°,     135°

     

Задача 4:   На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти углы четырехугольника АВСD.

  • Трапеция АВСD:     Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
  • Решение:     Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° - ∠МВС = 115°.
  • Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° - ∠ВСК = 100°.
  • АМ секущая к АD ║ ВС    $\Rightarrow$   ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные    ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
  • Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС    $\Rightarrow$   ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные    ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
  • Ответ:    Углы трапеции   ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115°      ∠ВСD = 100°       ∠АDС= 80°

Задача 4, продолжение, "углы в трапеции":         Пусть углы любые:     ∠МВС = х,    ∠ВСК = у.

  • Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим:    ∠А = х     ∠В = 180° - х    ∠С = 180° - у      ∠D = у
  • Видно: ∠А + ∠В = 180°    ∠С + ∠D = 180°.          Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° .     Односторонные!
  • Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°.            Сумма всех углов трапеции равна 360°. .      Как у четырехугольника?

Задача 5:     Известны два угла треугольника. Через вершину третьего угла проведена прямая, параллельная стороне. Найти углы между этой прямой и сторонами треугольника.

  • Дано:     ∠ВАC = 80°       ∠ACB = 30°   MK ║ AС.       Найти:    ∠МВА = ?   ∠КВС = ?    ∠АВС = ?
  • Есть параллельные   MK ║ AС   и секущая   АВ.   Тогда, накрест лежащие     ∠МВА = ∠ВАC = 80°
  • При тех же параллельных и секущей ВС также накрест лежащие равны:     ∠КВС = ∠ACB = 30°
  • Развернутый угол ∠МВК = 180° состоит из трех частей,   аддитивность углов:       ∠МВК = ∠МВА + ∠АВС + ∠КВС
  • Значит,   180° = 80° + ∠АВС + 30°   ∠АВС = 180° - 80° - 30° = 70° - третий угол треугольника.
  • Теорема:    ∠МВА + ∠АВС + ∠КВС = 180°     $\Rightarrow$        ∠АВС + ∠АВС + ∠ВСА = 180° - сумма углов треугольника.

Задача 5, продолжение, "с параметрами":    Углы треугольника заданны параметрически   2u, 3v, 5w. Выразить углы   ∠МВА,   ∠КВС и   ∠АВС через параметры   u, v. Выразить параметр w через другие u, v.

  • Углы ∠МВА   и   ∠КВС можно выразить через свойство накрест-лежащих при параллельных    MK ║ AС.
  • Три угла ∠МВА,   ∠КВС и   ∠АВС складываются в развернутй угол   180°. Получим равенство с параметрами   u, v, w. Выразим w

Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:

  • В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы.         Что секущая?
  • В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. - внутренные односторонные.     Что секущая?
  • В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. - внутренные односторонные. Что секущая?
  • Еще о углах:          Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
  • Сумма углов треугольника 180 градусов .          Достроить параллельную, увидеть секущую!

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 1:   Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.

                           

Задача 2:    На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.

Задача 3:   По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.

                      

Задача 4:    Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?

Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2   

                       

Задача 6:   Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?

Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.   

                   

Задача 8:    В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?

Задача 9:    Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.

                     

Задача 10:     На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.

Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.

                      

Задача 12:    ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?

Задача 13:   На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.   

                              

Задача 14:   На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?

Задача 15:   Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?

                                  

Задача 16:   Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?

Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?   

Задача 18:   Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.

Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.

Задача 20:    "углы в параллелограмме и трапеции":

  1. один из углов параллелограмма 40. найти остальные

  2. найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80.      (100, 160)

  3. найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)

  4. Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма

  5. Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы

  6. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40