Формулы площадей через синус угла

Учебник
Геометрия, 10 класс
IMG_0454.JPG

Учитель

Темур Кварацхелия
Формулы площадей через синус угла

Основные свойства площадей фигур:

  1. Равные фигуры имеют равные площади.     Две фигуры состоящие   из одинаковых кусков - равновеликие.
  2. Аддитивность:   Площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей    ;
  3. Площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину ... произведение сторон.

Задача 1:        В параллелограмме известны стороны    $7$,   $10$     и синус угла между ними   $\frac{1}{2}$.   Найти площадь параллелограмма.

  • Решение:       Опустим высоты $BH$ и $CK$   на основание $AD$ . Они помогут "увидеть" площадь.
  • Что есть синус $\angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup ABH$?    Отношение катета $BH$ к гипотенузе $AB$.     
  • Формула синуса     позволит выразить высоту $BH$ через сторону $AB$ и синус $\frac{1}{2}$. Высота   $CK$ такая же.
  • Параллелограмм $ABCD$ состоит из кусков:    $\bigtriangleup ABH$ и $4$-угольник $HBCD$.   Площадь - сумма площадей кусков.
  • Прямоугольник $HBCK$ состоит из кусков $HBCD$ и $\bigtriangleup DCK$. Площадь также "сумма кусков".
  • Треугольники $\bigtriangleup ABH$ и   $\bigtriangleup DCK$ одинаковые. Значит, параллелограмм и прямоугольник равновеликие.
  • Площадь Параллелограмма $ABCD$ так же, как прямоугольника $HBCD$ равна высота на основание.
  • $S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCD}=S_{HBCD}+S_{DCK}=S_{HBCK}=BH\cdot HK=AB\cdot\sin \angle BAD\cdot AD=7\cdot\frac{1}{2}\cdot10$

                      

Теорема "о площади параллелограмма и треугольника через синус угла":

  1. Площадь параллелограмма     равна   произведению   сторон   на синус угла параллелограмма:
  2. Формулы                  $S=a\cdot b\cdot\sin \angle BAD$                    $S_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot\sin D$
  3. Площадь треугольника     равна     половине произведения   сторон треугольника   на   синус угла между ними.
  4. Формулы                   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin \angle C$                    $S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin \angle CBA$

Площадь треугольника также легко получить через площадь параллелограмма, равновеликого с двумя треугольниками, приставленными друг к другу по диагонали. Тогда площадь одного треугольника будет равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и с той же высотой.

Задача 2:        Диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения на отрезки $3$,   $5$ и $6$,   $7$ . Синус угла между диагоналями $0,2$.     Найти площади треугольников и всего четырехугольника.

  • Дано:   $BO=3$     $OD=5$    $CO=6$    $AO=7$ ... угол между   $\sin\angle AOB=0,2$.     Найти:    $S_{ABCD}=?$.
  • Решение:       Диагонали делят четырехугольник на 4 треугольника.    Площадь = сумме 4-х площадей.
  • Аддитивность:         $S_{ABCD}=S_{\bigtriangleup AOB}+S_{\bigtriangleup BOC}+S_{\bigtriangleup COD}+S_{\bigtriangleup AOD}$.        
  • Площадь одного из них по формуле:    $S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}\cdot 7 \cdot 3\cdot 0,2=2,1$
  • Каковы синусы остальных углов? Свойство: Синусы смежных углов равны:   $\sin\angle BOC=\sin\angle COD=\sin\angle AOD=0,2$
  • Тогда, площади других треугольников   $\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 6\cdot 0,2=1,8$         $\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5\cdot 0,2=3$              $\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 7\cdot 0,2=3,5$   
  • Площадь четырехугольника равна сумме этих площадей    Ответ:     $S_{ABCD}=2,1+1,8+3+3,5=10,4$

Теоретически, по-другому:      Распишем получение площади   $S_{ABCD}$   в буквах, без числовых значений:

  • $\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB+\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OC\cdot \sin \angle AOB+\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot \sin \angle AOB+\frac{1}{2}\cdot OD\cdot OA\cdot \sin \angle AOB$
  • Вынос за скобки множителей   $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \sin \angle AOB\cdot \left(OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot OA\right)$
  • $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \sin \angle AOB\cdot \left(OB\cdot\left(OA+OC\right)+OD\cdot\left(OA+OC\right)\right)=\frac{1}{2}\cdot \sin \angle AOB\cdot AC \cdot (OB+OD)$
  • Получаем   $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD\cdot \sin \angle AOB$    $\Rightarrow$   $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot (7+6) \cdot (3+5)\cdot 0,2=13\cdot 0,8=10,4$

             

Задача 3:        В треугольнике известны стороны     $AB=10$ ,      $BC=12$ и угол $\angle ABC=30$ . Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 3 : 5, а точка   $K$ делит сторону $BC$ в отношении 2 : 3. Найти площади и отношение площадей треугольников   $ABK$ и   $MBC$.

  • Дано:   $AB=10$,     $BC=12$,     $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$,       $\frac{BK}{KC}=\frac{2}{3}$,     $\angle ABC=30$.           Найти:          $\frac{S_{\bigtriangleup ABK}}{S_{\bigtriangleup MBC}}=?$
  • Точка делит отрезок в известном соотношении. Находим части как систему уравнений   $\frac{x}{y}=?$      $x+y=?$
  • $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$,     аддитивность        $AM+MB=AB=10$       $\Rightarrow$    $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{3+5}$ $\Rightarrow$    $AM=\frac{15}{4}$,   $MB=\frac{25}{4}$
  • $\frac{BK}{KC}=\frac{2}{3}$,     $BK+KC=12$    из свойств пропорций    $BK=\frac{24}{5}$,     $KC=\frac{36}{5}$
  • Найдем площадь через синус     $S_{\bigtriangleup ABK}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot BK \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot \frac{24}{5} \cdot \sin 30= 24 \cdot 0,5=12$
  • В треугольнике $MBC$ тот же угол,    $S_{\bigtriangleup MBC}=\frac{1}{2}\cdot MB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2}\cdot \frac{25}{4} \cdot 12 \cdot 0,5=\frac{75}{4}$         
  • отношение площадей треугольников     $\frac{S_{\bigtriangleup ABK}}{S_{\bigtriangleup MBC}}=\frac{12}{\frac{75}{4}}=\frac{16}{25}$                Ответ:         $\frac{16}{25}$

Замечание, продолжение:   Можно ли найти отношение площадей при неизвестных значениях сторон и угла?

  • Зная лишь как делят точки $M$ и   $K$ стороны треугольника, на какие пропорции ?!
  • Дано только   $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$,       $\frac{BK}{KC}=\frac{2}{3}$.    Выразим отрезки через стороны    $AB$ и     $BC$.
  • Выразим площади    $S_{\bigtriangleup ABK}$ ,   $S_{\bigtriangleup MBC}$ также через стороны $AB$ и     $BC$ и угол $\angle ABC$.
  • Составим отношение площадей, выразим через стороны и угол. Что получится? Что можно сделать, ?

Теорема "о площади четырехугольника через диагонали и синус угла":

  1. Площадь четырехугольника     равна   половине произведения   диагоналей   на синус угла между ними:
  2. Формулы                  $S=\frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2 \cdot\sin \angle \alpha$                    $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD\cdot \sin \angle AOB$
  3. Площадь   ромба     равна     половине произведения   диагоналей.         ... диагонали перпендикулярны!
  4. Формулы             $S=\frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD$            $\angle AOB=90$          $\sin \angle AOB=1$

Формулы площади треугольника:   

$S=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}$                             $S=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{b\cdot c\cdot\sin A}{2}$                             $S=\frac{c\cdot h_c}{2}=\frac{c\cdot a\cdot\sin B}{2}$.

$\sin A=\frac{h_b}{c}=\frac{h_c}{b}$                            $\sin B=\frac{h_a}{c}=\frac{h_c}{a}$                         $\sin C=\frac{h_b}{a}=\frac{h_a}{b}$.      

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C$              $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B$                 $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A$ .

            

Задача 4:     В прямоугольнике диагонали $10$ и угол между ними $30$. Найти площадь.

  • Дано:    $ABCD$    - прямоугольник ,    $AC=10$   ,    $\angle AOB=30$   Найти:            $S_{ABCD}$ .
  • Решение:       В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются по середине    $AO=OB=5$     
  • $\bigtriangleup AOB$     и     $\bigtriangleup COD$     равные    $\Rightarrow$     $S_1=S_3$        ;
  • $\bigtriangleup BOC$     и     $\bigtriangleup AOD$     равные    $\Rightarrow$     $S_2=S_4$      .
  • Смежные, $\angle BOC=180-\angle AOB=150$. Найдем отношение     $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}AO\cdot OB\cdot\sin30}{\frac{1}{2}BO\cdot OC\cdot\sin150}$
  • $\sin30=\sin\left(180-30\right)=\sin150$.       тогда      $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot\sin150}{\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot\sin150}=1$     Значит,      $S_1=S_2$
  • Аналогично:       $\frac{S_3}{S_4}=\frac{\frac{1}{2}DO\cdot OC\cdot\sin30}{\frac{1}{2}AO\cdot OD\cdot\sin150} =1$       $\Rightarrow$      $S_3=S_4$,     площади равные.
  • Диагонали рассекают прямоугольник на   четыре равновеликих: треугольника         $S_1=S_2=S_3=S_4$ .
  • ... тогда, по свойству аддитивности площадей          $S_1=S_2=S_3=S_4=\frac{1}{4}S_{ABCD}$ .
  • $S_{AOB}=S_1=\frac{1}{2}AO\cdot OB\cdot \sin 30=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{4}$        $\Rightarrow$        $S_{ABCD}=4\cdot\frac{25}{4}$
  • Найдя площадь АОВ, нашли площадь прямоугольника умножением на 4.   Ответ:        $S_{ABCD}=25$

         

Задача 5:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Дано:    ромб $ABCD$ , $BD=13$,    высота $EB=12$   ,   Найти:            $S_{ABCD}$ .
  • Решение:        прямоугольный $\bigtriangleup BED$,    подобен тем, на которые ромб делится диагоналями:        
  • $\bigtriangleup BED \sim \bigtriangleup AOD=\bigtriangleup AOB=\bigtriangleup COB=\bigtriangleup COD$    . Одинаковый "состав" углов. Все прямоугольные,
  • Прямоугольный    $\bigtriangleup BED$,   по Пифагору выразим катет       $DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=5$
  • Диагонали в ромбе делятся пополам:       $BO=OD=\frac{BD}{2}=6,5$             $AO=\frac{AC}{2}$              $AC=2\cdot AO$
  • Для нахождения площади ромба нам нужно найти вторую диагональ.
  • $\bigtriangleup BED \sim \bigtriangleup AOD$         $\Rightarrow$         $\frac{AO}{BE}=\frac{OD}{ED}$        $\Rightarrow$           $AO=\frac{OD\cdot BE}{ED}=\frac{6,5\cdot 12}{5}=15,6$         $AC=2\cdot AO=31,2$
  • Ответ: Площадь ромба через диагонали:     $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=0,5\cdot 31,2\cdot13=202,8$

     

Задача 6.       Площадь равнобедренного треугольника равна $100$   , а угол при вершине   $30^o$    1) Найти его боковые стороны .     2)   Найти тригонометрию $15^o$   

  • Решение:       1)   Известны площадь и угол,   значит используем   формулу   площади через синус   $30^o$ .     
  • Пусть боковая   сторона $a$   ,    $S=\frac{1}{2}a\cdot a\cdot\sin30$        ,     тогда    $100=\frac{1}{2}a^2\cdot\sin30$     $\Leftrightarrow$     $100=\frac{1}{2}a^2\cdot\frac{1}{2}$     $\Rightarrow$      
  • $a=\sqrt{400}=20$                     Ответ:       $a=20$
  • 2)    По теореме косинусов найдем основание     $c=\sqrt{a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{2-\sqrt{3}}$
  • Из вершины равнобедренного угла проведем биссектрису к   основанию.   По свойству равнобедренности
  • она будет и высотой    $h$   (треугольник поделится на 2 прямоугольных с углами 15 градусов) и медианой,
  • а значит основание   поделится пополам ,    как и угол 30 у вершины   поделится   по   15 градусов.
  • По прямоугольнему треугольнику   (половинка):      $\sin15=\frac{0,5\cdot c}{a}=\frac{0,5\cdot a\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}{a}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
  • Площадь через основание    $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$,     найдем высоту      $h=\frac{2\cdot S}{c}=\frac{2\cdot0,5\cdot a^2\cdot\sin30}{a\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{a}{2\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}$
  • В прямоугольном треугольнике стороны $h$,   $\frac{c}{2}$,   $a$.   Тогда     $\cos15=\frac{h}{a}=\frac{\frac{a}{2\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}}{a}=\frac{1}{2\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Интерактивные Упражнения