Учебник
Алгебра, 9 класс

Квадратное уравнение. Дискриминант

Каноническое квадратное уравнение

Что такое обычное квадратное уравнение?
Это уравнение, в котором обязательно есть икс в квадрате. Видов квадратных уравнений много. Но самый «главный» ...

стандартный или канонический вид :       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$      или     $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Числа    $a$ ,    $b$ ,     $c$      при неизвестном называются    коэффициентами уравнения .   У каждого свое название:

  • $a$     называют квадратным      (т.к. он при $x^2$)           или первым   коэффициентом ;
  • $b$     называют линейным           (т.к. он при $x$ )           или вторым    коэффициентом ;
  • $c$     называют свободным членом уравнения           (т.к. он свободен от неизвестного)
  • Важно правильно определять коэффициенты, ведь они участвуют в формулах решения квадратного уравнения!
  • Особое внимание на знаки: в       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$     написаны одни "плюсы", а в вашем уравнении могут быть и "минусы" !

   Определяем коэффициенты так:    

$0,2x^2+7x+13=0$      коэффициенты :         $a=0,2$     $b=7$         $c=13$

$3x^2-5x+10=0$          коэффициенты :         $a=3$      $b=-5$   минус!      $c=10$

$x^2-\frac{1}{3}x-5=0$           коэффициенты :         $a=1$;      $b=-\frac{1}{3}$           $c=-5$     минус!

$16x^2-25=0$                коэффициенты :         $a=16$       $b=0$         $c=-25$    минус!

$-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$            коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$      $b=-\frac{2}{3}$   минус!        $c=0$

Внимание:       если дано нестандартное уравнение, чтобы не ошибиться в определении коэффициентов,
                           сначала перепишите его в стандартном виде :

$7-15x+22x^2=0$

$49-36x^2=0$

$\Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow $

$22x^2-15x+7=0$

$-36x^2+49=0$

$\Rightarrow $

$\Rightarrow $

$a=22$    ;      $b=-15$   ;     $c=7$

$a=-36$    ;     $b=0$     ;      $c=49$



Формула решения канонического квадратного уравнения. Дискриминант

Канонический вид квадратного уравнения          $ax^2+bx+c=0$      ,              $a$, $b$, $c$ - коэффициенты уравнения.

Формула, составленная из трех коэффициентов уравнения              $D=b^2-4ac$         называется    Дискриминант .

Дискриминант помогает ответить на вопрос    "Есть ли у данного уравнения корни, сколько их ?"     и решить его.

Если:
1)    $D > 0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет два корня .
2)    $D=0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет    один корень .
3)    $D < 0$ -    нет, при отрицательном дискриминанте        нет корней     и решать уравнение не стоит!

            Формулы нахождения корней канонического квадратного уравнения:         

Если      $D>0$    ,    два корня
1)        "+"      корень         $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;
2)        "-"      корень        $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .
Если      $D=0$ ,      один корень
$x=\frac{-b+0}{2\cdot a}=-\frac{b}{2a}$

Пример 1        $x^2-3x-4=0$

  • Определяем коэффициенты уравнения:    $a=1$   ,   $b=-3$    ,   $c=-4$
  • Найдем Дискриминант    и выясним есть ли   корни у этого уравнения.
  • Внимание!       Чтобы не ошибиться при подстановке отрицательного коэффициента в формулу, лучше заключить его в скобки:
  • $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$
  • Т.к.    $D=25 > 0$ ,     значит уравнение имеет два корня ,
  • найдем корни по формулам :       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$      и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$
  •    Ответ:             $x=4$   ;     $x=-1$

   Замечание:       Не всегда при извлечении корня из Дискриминанта получается целое число. В этом случае, решением уравнения будет дробное выражение с радикалом. Посмотрите внимательно, можно ли упростить полученное выражение ? Ответ должен быть всегда в сокращенном виде.

Пример 2:         $7x^2-2x-7=0$

  • Определяем коэффициенты уравнения:    $a=7$   ,   $b=-2$    ,   $c=-7$
  • $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$           Т.к.    $D=200 > 0$ , значит уравнение имеет два корня :
  • Внимание!     Окончательный ответ нужно давать всегда в сокращенном виде.
  • 1) $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$        в таком виде корень оставлять нельзя, т.к. дробь еще можно сократить:
  • из-под корня можно вынести множитель 10, после возможно сокращение: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$;
  • 2)   $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$                             Ответ:             $x=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ ;     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$

Интерактивная Доска:

Упражнения:

Послесловие

Если скорость Ваших исполнений низкая, часто допускаете ошибки, пройдите Тест-упражнение несколько раз,

для этого откройте Тест-Упражнение через "Решать заново":
Наведите курсор на это упражнение и выберите этот пункт меню .
Тест-Упражнение откроется с новыми аналогичными примерами и вы получите "новое" задание.

Решение Уравнений Методом Разложения на Множители

    

Уравнение      -     это равенство двух выражений с неизвестной переменной.

Решить уравнение     -    значит найти те числа,   которые вместо иксов   уравнивают    два выражения .

  • Как находить решения уравнения? Посмотреть: какие числа надо поставить вместо иксов, чтоб после вычислений оба сравнялись.
  • Подумать: нет ли еще каких-то чисел, которые могут уравнять обе части уравнения? Надо находить все такие!
  • Если напрямую не удается найти такие числа, то как можно "переделать" уравнение в такой вид, чтоб можно было "угадать" решения.
  • Такие способы "переделок" называются эквивалентными преобразованиями. Цепочка эквивалентных называется   шагами решения.
  • Эквивалентным шагом является перенос слагаемого из одной части в другую с заменой знака на противоположный.
  • Также эквивалентен перенос множителя из одной в другую "как деление".   Число, которое уравнивало" - также будет уравнивать!
  • Еще: замена одного выражения на другое, ему тождественно равное . Например: открытие скобки, применение формулы .

Пример 1:                  Решить уравнение              $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)=0$        

  • Произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ равно 0 лишь тогда, когда какая-либо скобка станет 0, "обнулится".
  • Как найти х - числа такие, чтоб произошло нужное обнуление?   Надо решить два простых уравнения:
  • $x+4=0$             перенесем слагаемое 4 вправо, поменяв знак        $x=-4$
  • $5-3x=0$          перенесем слагаемое        $3x=5$        перенесем множитель 3 делением           $x=\frac{5}{3}$
  • При х - числах   $x=-4$ и   $x=\frac{5}{3}$ произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ становится нулём!
  • ответ:      $x=-4$         $x=\frac{5}{3}$    

Пример 2:                  Решить уравнение              $(8-x)\cdot\left(2x+7\right)=0$        

решением уравнения являются те числовые значения   $x$, при которых обе части уравнения выравниваются.

каким может быть    $x$ ,     чтобы произведение   скобок равнялось нулю? Одна из них 0? иначе никак.

Опорный факт:    Если произведение $A\cdot B \cdot C$ =    $0$     тогда либо    $A$,    либо $B$,    либо $C$       =     $0$

Правило:    уравнение " произведение    =    $0$ "    разбивается на случаи: каждый множитель     =     $0$

Разбиение на 2 случая: приравняем содержимое каждой скобки к нулю. и, решаем каждое уравнение по отдельности.

случай 1          $8-x=0$             $\Leftrightarrow$        $x=8$

случай 2          $2x+7=0$          $\Leftrightarrow$        $2x=-7$         $\Leftrightarrow$            $x=-3.5$

ответ:      $x_1=8$         $x_2=-3.5$    

Способ    разбиения уравнения, разложения на множители:

  • шаг 1:             Обнулить правую часть уравнения, перенести все слагаемые влево.    "левая часть =   $0$".
  • шаг 2:             Разложить, вынести множители за скобки, превратить левую часть в произведение.   " = $0$".
  • шаг 3, 4 ... :             Рассмотреть случаи: для каждого составить уравнения      "множитель = $0$".
  • далее:               Решать получившиеся более мелкие уравнения.                  ответ:    собрать все полученные решения..

Решение   квадратного   уравнения   разложением,   вынесением   за   скобку

Уравнение   вида     $ax^2+bx=0$:     решается   вынесением общего множителя    $x$    за скобку.   

После   вынесения    уравнение $x\cdot\left(ax+b\right)=0$    распадается на два уравнения, 2 случаи.

Уравнение   вида     $ax^2=cx$:      решается   переносом    $cx$    влево и вынесением общего   множителя.   

После   приведения   к   виду      $ax^2-cx=0$   выносим множитель   $x$   за   скобки и решаем 2 случая.

Пример 3:                  Решить уравнение              $6x^2–2x=0$ ;

  • вынесем   общий   множитель   за   скобки:      $2x\cdot(3x – 1)=0$ ;       распад на два случая:    

  • $2x=0$     $\Rightarrow$   корень    $x=0$ ;

  • $3x–1=0$      перенесем 1 вправо, поделим на 3.    $\Rightarrow$   корень      $x=\frac{1}{3}$                  

  • ответ:   соберем все решения:         $x_1=0$ ;        $x_2=\frac{1}{3}$

Пример 4:                  Решить уравнение              $50x^2-7x=0$       

  • вынесем   общий   множитель   $x$   за   скобку, получаем      $x\cdot\left(50x-7\right)=0$.    

  • уравнение   распадается   на   два   случая. Каждый   множитель   приравниваем к   $0$.    

  • 1-й:     $x=0$ ;        2-й:   $50x-7=0$     решаем   и   получаем      $x=\frac{7}{50}$

  • ответ:          $x_1=0$             $x_2=0.14$

Пример 5:                  Решить уравнение              $4x^2=10x$

  • Через   сокращение    $x$   решать   это   уравнение   нельзя,   т.к.   потеряется   корень   $x=0$.
  • Правильное   решение   -   перенести   всё   в   одну   часть,   затем   вынести   неизвестное   за   скобку

Уравнение   вида     $(ax)^2=c^2$:      решается применением формули разности квадратОВ.   

После переноса и разложения по формуле приведится   к   виду      $(ax-c)(ax+c)=0$ . Далее решаем 2 случая.

Пример 6:                  Решить уравнение              $9x^2-16=0$        

  • Разложим      $9x^2-16$    на множители по формуле "разность квадратОВ".
  • $(3x-4)\cdot\left(3x+4\right)=0$
  • Произведение двух скобок равно нулю. Значит, два случая - каждую скобку приравняем к нулю:
  • $3x-4=0$      перенос слагаемого   $3x=4$       перенос множителя,      решение:       $x=\frac{4}{3}$
  • $3x+4=0$      перенос слагаемого   $3x=-4$      перенос множителя,     решение:       $x=-\frac{4}{3}$
  • ответ:       $x=\frac{4}{3}$         $x=-\frac{4}{3}$   

Пример 7:      Решить уравнение              $(3-x)\cdot\left(4x+6x^2\right)\cdot\left(x^2-1\right)=0$        

  • Произведение скобок равно нулю. Для каждого множителя напишем уравнение "обнуления" и решим каждое.   
  • Каждое такое уравнение "скобка = 0" пишем в отдельной строке и решаем по - шагово.   
  • Соберем ответы со всех уравнений: они появились на шагах   №2,   №6,   №10,   №14,   №16.

  • №1          $3-x=0$

  • №2                             $x=3$

  • №3          $4x+6x^2=0$

  • №4                             $2x(2x+3)=0$
  • №5                                            $2x=0$
  • №6                                                     $x=0$
  • №7                                            $2x+3=0$
  • №8                                                     $2x=-3$
  • №9                                                     $x=-\frac{3}{2}$
  • №10                                                   $x=-1,5$
  • №11         $x^2-1=0$
  • №12                             $(x-1)(x+1)=0$
  • №13                                            $x-1=0$
  • №14                                                      $x=1$
  • №15                                            $x+1=0$
  • №16                                                      $x=-1$
  • ответ:      $x=3$       $x=0$      $x=-1,5$      $x=-1$       $x=1$

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения:

ЕГЭ: Как сэкономить 30 мин на ЕГЭ и время при подготовке: Квадратные Уравнения

 

 

     Квадратное уравнение, решение через Дискриминант

 

1. Путем упрощений (скобки, группирования) уравнение приведем к  стандартному виду.

2. Стандартный, Канонический вид  $ax^2+bx+c=0$       и     $a,b,c-$коэффициенты уравнения. 

3.  Находим    Дискриминант $D=b^2-4ac$     .                     Если  $D < 0$     -      нет корней !       

 $D > 0$  -   два корня.       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;          $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .            $D=0$ -  один корень .  

 

                    

 

 

  $0,2x^2+7x+13=0$             коэффициенты :          $a=0,2$;         $b=7$        ;     $c=13$

  $3x^2-5x+10=0$                  коэффициенты :         $a=3$    ;   Внимание:  $b=-5$   минус! ;     $c=10$

   $x^2-\frac{1}{3}x-5=0$                       коэффициенты :         $a=1$     ;  Внимание:  $b=-\frac{1}{3}$   и $c=-5$  минус! ;

  $16x^2-25=0$                          коэффициенты :         $a=16$    ;        $b=0$   ;      $c=-25$     минус! 

 $-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$                          коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$    ;   $b=-\frac{2}{3}$   минус!      ; $c=0$

 

 

Пример 1:           $x^2-3x-4=0$                         $a=1$ ,   $b=-3$    ,  $c=-4$ 

     $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$.   Дискриминант $D=25 > 0$ , два корня ,

 $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$     и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$ Ответ:   $x=4$, $x=-1$

 

 Пример 2:          $7x^2-2x-7=0$                                  $a=7$ ,   $b=-2$    ,  $c=-7$

 

$D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200$.           Т.к.    $D=200 > 0$ ,  имеет два корня :     

$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$      нужно сократить: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ , второй     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$      

 

                

            

 

 

 

         Неполное Квадратное уравнение, прямое решение

 

Квадратное уравнение, в котором   $b$  или   $c$ равен $0$ или оба сразу  равны $0$  называется неполным.

Такие уравнения надо решать напрямую, без дискриминанта,  практически наизусть!

 

 

 

Пример 3:     уравнение вида  "квадрат икс = число" :    $x^2=c$

(1)    $x^2=16$        Квадрат какого числа будет равен $16$?  $x=4$ ,  $x=-4$.

(2)   $x^2=289$    нужно найти чей квадрат 289 ,   "+"  и  "-"   решения: $\pm\sqrt{289}=\pm17$ .

(3)    $x^2=\frac{64}{121}$       чей квадрат $\frac{64}{121}$   ?                  $\Rightarrow$  ответ : $x=\frac{8}{11}$ ;        $x=-\frac{8}{11}$.

 (4)    $x^2=13$         ответ : $x=\sqrt{13}$ ;  $x=-\sqrt{13}$.  Ну и что, что числа имеет  радикальные?

 (5)    $x^2=-9$           не имеет корней, т.к. квадрат числа может быть только положительным!

  

Пример 4:     Неполное    $ax^2+c=0$    решается переносом слагаемого, затем множителя.

(1)        $3x^2-75=0$  переносы:   $3x^2=75$      $x^2=\frac{75}{3}$     $x^2=25$  $x=5$,  $x=-5$ 

(2)     $100x^2-49=0$     перенесем с  $100x^2=49$     $x^2=0,49$,  $x=0,7$,  $x=-0,7$  .  

 

 Пример 5:       Без свободного  коэффициента:   Уравнение вида     $ax^2+bx=0$   

    решается  вынесением   $x$ за скобку.   Произведение = 0    распадается на случаи. 

 

 

 $50x^2-7x=0$   вынесем общий множитель "х"   за скобку    $x\cdot\left(50x-7\right)=0$

  Умножение двух равно 0  распадается  на два случая, каждый множитель = 0 :  

  1)  $x=0$         2)   $50x-7=0$       $x=\frac{7}{50}$          Ответ:       $x=0$  ;  $x=0.14$

 

Уравнение вида     $ax^2=bx$    решается переносом $bx$ влево.  (....не сокрашать!)

После приведения к виду   $ax^2-bx=0$  , решается вынесением общего множителя "х" за скобки.                                                   
                                       

 

Определение:     Решение уравнения - это  число (или числа),  выравнивающие обе части.  

 

Пример 6:  1)      $\left(x-3\right)^2=16$     Какое число в  квадрате нам дает $16$? $\Leftrightarrow$ это$4$ и $-4$,    

$x-3=4$ и  $x-3=-4$; на два случая:      $x-3=4$,  $x-3=-4$  Ответ:  $x=7$  ;  $x=-1$ 
 

 2)  $\left(x-3\right)^2=289$   .... $x-3=\sqrt{289}$    $x-3=+17$,$x-3=-17$ Ответ:  $x=20$  $x=-14$      

(3) $x^2=144$ ,   $x=12$  и $x=-12$                  (4)   $\left(x+2\right)^2=81$         $x=-11$  и   $x=7$       

(5)  $\left(x+5\right)\cdot\left(2x-9\right)=0$       $x=-5$ и $x=4.5$             (6)    $2x^2+15=0$        нет решений!              

 

 

      Разложение квадратного на множители, угадывание корней, Виета

 

Иллюстрационный пример:           $\left(x-3\right)\left(x+7\right)=0$    Какие корни?   $x=3$  и     $x=-7$ 

 

 "каждый множитель может стать нулем".      Теперь, изменим форму нашего уравнения на его канонический вид:

 Как образуются коэффициенты?      $x^2+7x-3x-3\cdot7=0$  ...   $x^2-\left(3-7\right)\cdot x+\left(-3\cdot7\right)=0$   

   $x^2+4\cdot x-21=0$        его корни те же:  $D=100$            $x_1=\frac{-4+10}{2}=3$        $x_2=\frac{-4-10}{2}=-7$ 

Как связаны сумма и произведение корней квадратного уравнения $x^2+4\cdot x-21=0$ с его коэффициентами?

сумма корней   $x_1+x_2=3+\left(-7\right)=-4$   (=$-\frac{b}{a}$) ,   произведение корней       $x_1\cdot x_2=3\cdot\left(-7\right)=-21$ (=$\frac{c}{a}$)   

 

 

Пример 7:   разложить на множители  1. $x^2-10x-39=\left(x-?\right)\left(x+?\right)$  что там?  $=\left(x-3\right)\left(x+13\right)$ !

2.  $2x^2-3x-5=\left(2x-?\right)\left(x-?\right)=\left(2x+1\right)\left(x-5\right)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-5\right)$  - можно было угадать ?=-1  ?=5

3. $-3x^2+7x+10=-3\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-\frac{10}{3}\right)$              если еще упростить, то   $=\left(x+1\right)\left(10-3x\right)$

 

 

Теорема Виета:         для  квадратного          $ax^2+bx+c=0$      уравнения  

  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$    - сумма корней равна "минус  2-ой коэффициент разделить на 1-ый"

  $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$          - произведение корней равно "свободный член разделить на 1-ый".

Теорема Виета о разложении на множители :         $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$    

 

Как разложить квадратное выражение на линейные множители :      

 1.  Угадать, что должно быть внутри скобки   $\left(ax-?\right)\left(x-?\right)$    --- перебирать множители, делители.

 2.  Найти корни через дискриминант и собрать скобки по формуле Виета.

 3.  Замечание: если целые корни, то они всяко будут делителями свободного. Их то немного!

 

   

    

 Пример 8:               $x^2+2\cdot x-63=0$        $\Leftrightarrow$

 по теореме Виета произведение корней равно  $-63$ .  какими могуть быть корни, чтоб произведение стало   $-63$ ?

  если корни "хорошие, не радикальные" числа, то они должны быть  делителями свободного члена  $-63$ .  

значит, надо искать среди    $\pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63$ . по теореме Виета сумма корней равна    $-2$   .  

очевидно, такая пара среди делителей    $7$   и    $-9$ .    Нам надо было "угадать"  пару чисел,  $x=7$      $x=-9$,

 

 

Пример 9:       Решение уравнений наизусть с помощью "Виета"

 

  1. $x^2+4\cdot x-21=0$       $\Leftrightarrow$          корни       $x=3$   и     $x=-7$  являются делителями числа  21.  

  2. $x^2+2\cdot x-63=0$       $\Leftrightarrow$          корни       $x=7$   и    $x=-9$, каждый из них  делят число 63.

  3. $x^2+10x-39=0$      $\Leftrightarrow$           корни  $x=13$  и  $x=-3$  среди делителей числа 39.

  4.  $y^2+y-12=0$  , найти корни уравнения.  все делители свободного члена  $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$.   

Надо найти два числа таких, чтобы  произведение давало $+12$,  а сумма $-1$.   Перебрать разные пары и

докопаться до двух чисел $3$ и $-4$ с нужными свойствами "Виета".    Они и есть корни!

 

По коэффициентам квадратного уравнения, не решая его,  можно узнать сумму корней и произведение корней.

Зная сумму корней и произведение корней, можно "восстановить" квадратное уравнение с этими корнями.

 

Пример 10:   1. составить квадратное уравнение с корнями    $-\frac{1}{2}$   и   $4$ .

 по обратной теореме Виета, его линейным, при $x$, коэффициентом должен быть   $-\left(-\frac{1}{2}+4\right)$ ,  

 а  свободным   членом будет     произведение  $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot4$ .    Уравнение       $x^2-\frac{7}{2}\cdot x-2=0$  .

  2.  Найти параметр  $c$  уравнения        $x^2+10x-c=0$      если известен один из корней   $x=13$ .

  по теореме Виета, сумма корней       $x_1+x_2=-10$ .  Раз один корень  $x=13$ , значит, другой  $x=-3$ .

  но, тогда произведение корней диктует    $-c=\left(13\right)\cdot\left(-3\right)$  , значит  $c=39$ .  А уравнение:   $x^2+10x-39$ .

  

            

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

Обратите внимание в формуле Дискриминанта нет умножения на 4  ! 

 

 

 

 

 

 

  

 
 

 

 

 

 

 

Помните,   упрощенные   $D=p^2-q$ ;    $x=-p+\sqrt{D}$   ;    $x=-p-\sqrt{D}$

или       $x=-p+\sqrt{p^2-q}$   ;       $x=-p-\sqrt{p^2-q}$      можно     применять     только    

для   приведенных  квадратных уравнений   с  четным  линейным коэффициентом.

  

 

Пример 11:           $x^2-8x+26=0$   $\Leftrightarrow$           

$b=2p=-8$           $p=-4$    ;        $q=26$        

$D=p^2-q=\left(-4\right)^2-26=16-26=-10 < 0$      $\Rightarrow$      корней нет!

                                           

  

Как быть, если в уравнении перед  $x^2$  стоит "-"?

Пример 12:             $-x^2+8x-3=0$      
 это уравнение не является приведенным , т.к. первый коэффициент  $=-1$     т.е. $\ne1$,

 и упрощенные формулы применять нельзя, но легко .... умножить все уравнение на "-1"

 $x^2-8x+3=0$     ф-лы :    $D=\left(-4\right)^2-3=13$,  $x=4+\sqrt{13}$ , $x=4-\sqrt{13}$
                   
             .

     

 

 

 

 

 

        Задание: