Квадратное уравнение, решение через Дискриминант

1. Путем упрощений (скобки, группирования) уравнение приведем к  стандартному виду.

2. Стандартный, Канонический вид  $ax^2+bx+c=0$       и     $a,b,c-$коэффициенты уравнения. 

3.  Находим    Дискриминант $D=b^2-4ac$     .                     Если  $D < 0$     -      нет корней !       

 $D > 0$  -   два корня.       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;          $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .            $D=0$ -  один корень .  

  $0,2x^2+7x+13=0$             коэффициенты :          $a=0,2$;         $b=7$        ;     $c=13$

  $3x^2-5x+10=0$                  коэффициенты :         $a=3$    ;   Внимание:  $b=-5$   минус! ;     $c=10$

   $x^2-\frac{1}{3}x-5=0$                       коэффициенты :         $a=1$     ;  Внимание:  $b=-\frac{1}{3}$   и $c=-5$  минус! ;

  $16x^2-25=0$                          коэффициенты :         $a=16$    ;        $b=0$   ;      $c=-25$     минус! 

 $-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$                          коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$    ;   $b=-\frac{2}{3}$   минус!      ; $c=0$

Пример 1:           $x^2-3x-4=0$                         $a=1$ ,   $b=-3$    ,  $c=-4$ 

     $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$.   Дискриминант $D=25 > 0$ , два корня ,

 $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$     и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$ Ответ:   $x=4$, $x=-1$

 Пример 2:          $7x^2-2x-7=0$                                  $a=7$ ,   $b=-2$    ,  $c=-7$

$D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200$.           Т.к.    $D=200 > 0$ ,  имеет два корня :     

$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$      нужно сократить: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ , второй     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$      

         Неполное Квадратное уравнение, прямое решение

Квадратное уравнение, в котором   $b$  или   $c$ равен $0$ или оба сразу  равны $0$  называется неполным.

Такие уравнения надо решать напрямую, без дискриминанта,  практически наизусть!

Пример 3:     уравнение вида  "квадрат икс = число" :    $x^2=c$

(1)    $x^2=16$        Квадрат какого числа будет равен $16$?  $x=4$ ,  $x=-4$.

(2)   $x^2=289$    нужно найти чей квадрат 289 ,   "+"  и  "-"   решения: $\pm\sqrt{289}=\pm17$ .

(3)    $x^2=\frac{64}{121}$       чей квадрат $\frac{64}{121}$   ?                  $\Rightarrow$  ответ : $x=\frac{8}{11}$ ;        $x=-\frac{8}{11}$.

 (4)    $x^2=13$         ответ : $x=\sqrt{13}$ ;  $x=-\sqrt{13}$.  Ну и что, что числа имеет  радикальные?

 (5)    $x^2=-9$           не имеет корней, т.к. квадрат числа может быть только положительным!

Пример 4:     Неполное    $ax^2+c=0$    решается переносом слагаемого, затем множителя.

(1)        $3x^2-75=0$  переносы:   $3x^2=75$      $x^2=\frac{75}{3}$     $x^2=25$  $x=5$,  $x=-5$ 

(2)     $100x^2-49=0$     перенесем с  $100x^2=49$     $x^2=0,49$,  $x=0,7$,  $x=-0,7$  .  

 Пример 5:       Без свободного  коэффициента:   Уравнение вида     $ax^2+bx=0$   

    решается  вынесением   $x$ за скобку.   Произведение = 0    распадается на случаи. 

 $50x^2-7x=0$   вынесем общий множитель "х"   за скобку    $x\cdot\left(50x-7\right)=0$

  Умножение двух равно 0  распадается  на два случая, каждый множитель = 0 :  

  1)  $x=0$         2)   $50x-7=0$       $x=\frac{7}{50}$          Ответ:       $x=0$  ;  $x=0.14$

Уравнение вида     $ax^2=bx$    решается переносом $bx$ влево.  (....не сокрашать!)

После приведения к виду   $ax^2-bx=0$  , решается вынесением общего множителя "х" за скобки.                                                   
                                       

Определение:     Решение уравнения - это  число (или числа),  выравнивающие обе части.  

Пример 6:  1)      $\left(x-3\right)^2=16$     Какое число в  квадрате нам дает $16$? $\Leftrightarrow$ это$4$ и $-4$,    

$x-3=4$ и  $x-3=-4$; на два случая:      $x-3=4$,  $x-3=-4$  Ответ:  $x=7$  ;  $x=-1$ 
 

 2)  $\left(x-3\right)^2=289$   .... $x-3=\sqrt{289}$    $x-3=+17$,$x-3=-17$ Ответ:  $x=20$  $x=-14$      

(3) $x^2=144$ ,   $x=12$  и $x=-12$                  (4)   $\left(x+2\right)^2=81$         $x=-11$  и   $x=7$       

(5)  $\left(x+5\right)\cdot\left(2x-9\right)=0$       $x=-5$ и $x=4.5$             (6)    $2x^2+15=0$        нет решений!              

      Разложение квадратного на множители, угадывание корней, Виета

Иллюстрационный пример:           $\left(x-3\right)\left(x+7\right)=0$    Какие корни?   $x=3$  и     $x=-7$ 

 "каждый множитель может стать нулем".      Теперь, изменим форму нашего уравнения на его канонический вид:

 Как образуются коэффициенты?      $x^2+7x-3x-3\cdot7=0$  ...   $x^2-\left(3-7\right)\cdot x+\left(-3\cdot7\right)=0$   

   $x^2+4\cdot x-21=0$        его корни те же:  $D=100$            $x_1=\frac{-4+10}{2}=3$        $x_2=\frac{-4-10}{2}=-7$ 

Как связаны сумма и произведение корней квадратного уравнения $x^2+4\cdot x-21=0$ с его коэффициентами?

сумма корней   $x_1+x_2=3+\left(-7\right)=-4$   (=$-\frac{b}{a}$) ,   произведение корней       $x_1\cdot x_2=3\cdot\left(-7\right)=-21$ (=$\frac{c}{a}$)   

Пример 7:   разложить на множители  1. $x^2-10x-39=\left(x-?\right)\left(x+?\right)$  что там?  $=\left(x-3\right)\left(x+13\right)$ !

2.  $2x^2-3x-5=\left(2x-?\right)\left(x-?\right)=\left(2x+1\right)\left(x-5\right)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-5\right)$  - можно было угадать ?=-1  ?=5

3. $-3x^2+7x+10=-3\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-\frac{10}{3}\right)$              если еще упростить, то   $=\left(x+1\right)\left(10-3x\right)$

Теорема Виета:         для  квадратного          $ax^2+bx+c=0$      уравнения  

  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$    - сумма корней равна "минус  2-ой коэффициент разделить на 1-ый"

  $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$          - произведение корней равно "свободный член разделить на 1-ый".

Теорема Виета о разложении на множители :         $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$    

Как разложить квадратное выражение на линейные множители :      

 1.  Угадать, что должно быть внутри скобки   $\left(ax-?\right)\left(x-?\right)$    --- перебирать множители, делители.

 2.  Найти корни через дискриминант и собрать скобки по формуле Виета.

 3.  Замечание: если целые корни, то они всяко будут делителями свободного. Их то немного!

 Пример 8:               $x^2+2\cdot x-63=0$        $\Leftrightarrow$

 по теореме Виета произведение корней равно  $-63$ .  какими могуть быть корни, чтоб произведение стало   $-63$ ?

  если корни "хорошие, не радикальные" числа, то они должны быть  делителями свободного члена  $-63$ .  

значит, надо искать среди    $\pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63$ . по теореме Виета сумма корней равна    $-2$   .  

очевидно, такая пара среди делителей    $7$   и    $-9$ .    Нам надо было "угадать"  пару чисел,  $x=7$      $x=-9$,

Пример 9:       Решение уравнений наизусть с помощью "Виета"

  1. $x^2+4\cdot x-21=0$       $\Leftrightarrow$          корни       $x=3$   и     $x=-7$  являются делителями числа  21.  

  2. $x^2+2\cdot x-63=0$       $\Leftrightarrow$          корни       $x=7$   и    $x=-9$, каждый из них  делят число 63.

  3. $x^2+10x-39=0$      $\Leftrightarrow$           корни  $x=13$  и  $x=-3$  среди делителей числа 39.

  4.  $y^2+y-12=0$  , найти корни уравнения.  все делители свободного члена  $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$.   

Надо найти два числа таких, чтобы  произведение давало $+12$,  а сумма $-1$.   Перебрать разные пары и

докопаться до двух чисел $3$ и $-4$ с нужными свойствами "Виета".    Они и есть корни!

По коэффициентам квадратного уравнения, не решая его,  можно узнать сумму корней и произведение корней.

Зная сумму корней и произведение корней, можно "восстановить" квадратное уравнение с этими корнями.

Пример 10:   1. составить квадратное уравнение с корнями    $-\frac{1}{2}$   и   $4$ .

 по обратной теореме Виета, его линейным, при $x$, коэффициентом должен быть   $-\left(-\frac{1}{2}+4\right)$ ,  

 а  свободным   членом будет     произведение  $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot4$ .    Уравнение       $x^2-\frac{7}{2}\cdot x-2=0$  .

  2.  Найти параметр  $c$  уравнения        $x^2+10x-c=0$      если известен один из корней   $x=13$ .

  по теореме Виета, сумма корней       $x_1+x_2=-10$ .  Раз один корень  $x=13$ , значит, другой  $x=-3$ .

  но, тогда произведение корней диктует    $-c=\left(13\right)\cdot\left(-3\right)$  , значит  $c=39$ .  А уравнение:   $x^2+10x-39$ .

Обратите внимание в формуле Дискриминанта нет умножения на 4  ! 

Помните,   упрощенные   $D=p^2-q$ ;    $x=-p+\sqrt{D}$   ;    $x=-p-\sqrt{D}$

или       $x=-p+\sqrt{p^2-q}$   ;       $x=-p-\sqrt{p^2-q}$      можно     применять     только    

для   приведенных  квадратных уравнений   с  четным  линейным коэффициентом.

Пример 11:           $x^2-8x+26=0$   $\Leftrightarrow$           

$b=2p=-8$           $p=-4$    ;        $q=26$        

$D=p^2-q=\left(-4\right)^2-26=16-26=-10 < 0$      $\Rightarrow$      корней нет!

Как быть, если в уравнении перед  $x^2$  стоит "-"?

Пример 12:             $-x^2+8x-3=0$      
 это уравнение не является приведенным , т.к. первый коэффициент  $=-1$     т.е. $\ne1$,

 и упрощенные формулы применять нельзя, но легко .... умножить все уравнение на "-1"

 $x^2-8x+3=0$     ф-лы :    $D=\left(-4\right)^2-3=13$,  $x=4+\sqrt{13}$ , $x=4-\sqrt{13}$
                                .

        Задание: