Учебник
Алгебра, 9 класс

Функция      $y=\frac{k}{x}$ .     Гипербола.   Свойства.

Пример 1:          Построить   график   для   функции    $y=\frac{1}{x}$,      $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

  • Вычислим   значения   функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
  • $x=1$           $f\left(1\right)=1$                $x=\frac{1}{2}$           $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$               $x=-1$           $f\left(-1\right)=-1$                $x=-\frac{1}{2}$           $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$
  • $x=2$           $f\left(2\right)=\frac{1}{2}$                $x=\frac{1}{4}$           $f\left(\frac{1}{4}\right)=4$              $x=-2$           $f\left(-2\right)=-\frac{1}{2}$                $x=-\frac{1}{4}$           $f\left(-\frac{1}{4}\right)=-4$
  • $x=4$           $f\left(4\right)=\frac{1}{4}$                $x=\frac{1}{8}$           $f\left(1\right)=8$               $x=-4$           $f\left(-4\right)=-\frac{1}{4}$                $x=-\frac{1}{8}$           $f\left(-\frac{1}{8}\right)=-8$        .
  • В   системе   координат   укажем   точки   $(1;1)$,   $(2;1/2)$,   $(4;1/4)$,   $(1/2;2)$,   $(1/4;4)$,   $(1/8;8)$,    $(-1;-1)$,   $(-2;-1/2)$,
  • Еще точки:   $(-4;-1/4)$,   $(-1/2;-2)$,     $(-1/4;-4)$,   $(-1/8;-8)$ . По всем   точкам   построим   кривые   -   график   функции   $y=\frac{1}{x}$
  • Функция $y=\frac{1}{x}$ не вычисляется при   $x=0$, О.Д.З. $x\ne0$ .       График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$. Ветви "прижаты" к ней.
  • Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.   Функция $y=\frac{1}{x}$ ни при каких   $x$ не принимает значение    $y=0$

Графиком функции       $y=\frac{k}{x}$       $k\ne0$      является   гипербола ,   ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

  • если коэффициент   $k > 0$ ,    в   I   и    III   координатных четвертях.   Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • если   $k < 0$ ,    то   во   II    и   IV   координатных четвертях. Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • Асимптоты:         Вертикальная   асимптота,   линия   $x=0$,               Горизонтальная   асимптота,   линия    $y=0$               

                        

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при    $k > 0$        ( ветви   гиперболы   расположены   в   первом   и   третьем   координатных   углах) .

  • Свойство 1:     Область   Определения   Функции - вся   числовая   прямая , кроме    $x=0$.
  • Свойство 2:     $y > 0$   при   $x > 0$;      $y < 0$   при    $x < 0$.
  • Свойство 3:     Функция   убывает   на    промежутках      $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$    
  • Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху.
  • Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений   $у$   функций   нет.   
  • Свойство 6:     Функция   непрерывна   на    $( - ∞ ; 0 )$    и    $( 0 ; + ∞)$.
  • Свойство 7:     Область   значений   функции   -    $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$.    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при      $k < 0$        (ветви гиперболы расположены   во   втором   и   четвертом   координатных   углах).

  • Свойство 1:     Область   Определения   Функции   -   вся   числовая   прямая ,    кроме    $x=0$.
  • Свойство 2:     $y > 0$    при    $x < 0$ ;        $y < 0$   при    $x > 0$.
  • Свойство 3:     Функция   возврастает   на   промежутках     $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$     
  • Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху.
  • Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений    $у$    функций   нет.
  • Свойство 6:     Функция   непрерывна   на   $( - ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$
  • Свойство 7:     Область   значений   функции   -   объединение     $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$ .    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции по-проще ... используем его для построения функции при "сдвинутых" аргументов и значений.

Как   построить   график   функции    $y=k\cdot f\left(x\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • График   $y=5\cdot f\left(x\right)$:     Расстянуть вертикально вверх по оси   $OY$   5 раз все, что над $OX$ графика   $y=f\left(x\right)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=5\cdot f\left(x\right)$:     Расстянуть вертикально вниз по оси   $OY$   5 раз все, что под $OX$ графика   $y=f\left(x\right)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=\frac{1}{3}\cdot f\left(x\right)$: Сжать по вертикали, оси   $OY$   график   $y=f\left(x\right)$     3 раза.
  • Еще способ: Перемасштабирование.    Для   $y=5\cdot f\left(x\right)$ ... построить    $y=f\left(x\right)$, изменить масштаб: "1" станет "5", "-2" станет "-10", и т.д.

Как   построить   график   функции    $y=-f\left(x\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=f\left(x\right)$   надо отразить по оси $OX$, "перевернуть".

Как   построить   график   функции    $y=f\left(x+l\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • Построить график   $y=f\left(x+l\right)$,    где     $l > 0$?      Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$    вдоль оси   $OX$   на   $l$   единиц масштаба влево.
  • Построить график   $y=f\left(x-l\right)$,    где     $l < 0$?     Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$    вдоль оси   $OX$   на   $l$   единиц масштаба вправо.

Как построить график функции    $y=f\left(x\right)+m$,    если известен график функции    $y=f\left(x\right)$.

  • Построить график   $y=f\left(x\right)+m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$   вдоль оси   $OY$   на   $m$   единиц масштаба вверх;
  • Построить график   $y=f\left(x\right)-m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$   вдоль оси   $OY$   на   $m$   единиц масштаба вниз.

Как построить график функции   $y=f\left(x+l\right)+m$,   если известен график функции    $y=f\left(x\right)$.

  • График функции    $y=f\left(x+l\right)+m$   можно получить из графика    $y=f\left(x\right)$   параллельными   сдвигами по осям    $OX$ и   $OY$.

График Дробной Функции.    

Пример 2:                Построить график функции     $y=-\frac{5}{x+3}$ .

  • сначала построим график функции       $y=-\frac{5}{x}$ ... от графика $y=\frac{1}{x}$ ... отразим от   $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
  • сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси   $OX$    на   $3$   единицы влево, получится   требуемый   график.
  • это   гипербола   с   асимптотами   $x=-3$;     $y=0$.     "почему   так?"   -   как   мы   строим графики?
  • берем   несколько    $x$ - точек   и   находим   для   каждого   свои   $y$ - значения   в   соответствии      формулой функции".
  • По точкам   проводим   график. Очевидно,   если, скажем,      $x=0,52$      функция   $y=-\frac{5}{x+3}$       дает   какое-то   значение,
  • ... то,   конечно   для    $x=3,52$     другая   функция,      $y=-\frac{5}{x}$    дает   ровно   такое же   значение.
  • значит,   точки   графиков   будут различаться на   $3$   единицы    по   $x$ - координате   и   совпадать   по $y$ - координате.
  • Ровно   так   и   для   всех   точек.   "Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего?"

                             

Пример 3:                Построить график функции     $y=\frac{4}{x}-5$ .

  • Сначала   надо   построить   график   функции       $y=\frac{4}{x}$ .   Гиперболу   $y=\frac{1}{x}$ "растянем" четыре раза.
  • Сдвинуть   получившуюся   гиперболу   вдоль   оси     $OY$    на   $5$ клеточек   вниз.   Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
  • получится   требуемый   график.    Это   гипербола   с   асимптотами     $x=0$;     $y=-5$.
  • Важно знать где пересекается с нулем.   Решение, корень      $\frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $\left(0,8;0\right)$.

Вертикальная асимптота   - $x=0$,   проходит в полюсе, точке разрыва функции.   Точка обнуления знаменателя.   Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота -$y=-5$, линия, на которую   "ложится" график при значениях $х$    около   $+-\infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола - график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы "зажаты - прижаты" к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота - линия типа $y=2x+3$, к которой    "прижимаются"   ветви графика   "на" или   "около"   + - бесконечнoсти.

Пример 4:                Построить график функции     $y=\frac{x-5}{x^2-25}$

  • Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
  • Тождественное преобразование, сокращение      $\frac{x-5}{x^2-25}=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=\frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=\frac{1}{x+5}$ ?
  • Не спеши!   Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З - в исходной функции нет места $x=5$.
  • Значит: можем строить гиперболу $y=\frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=\frac{x-5}{x^2-25}$, но "без точки $x=5$".
  • Точка $x=5$ разрывает "гладкий" график гиперболы. Она называется "выколотая точка с координатами $\left(5;0,1\right)$".

Важно уметь исследовать функцию - график около точек разрыва.        + / - поблизости.    Куда тянется?

  • Исследуем около   $x=-5$.        Возьмем "близкие" точки $-5,01$ и   $-4,99$.     Вычислим приближенные значения.
  • Чуть левее ... $f\left(-5,01\right)=\frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}\approx -100$.         Чуть правее ... $f\left(-4,99\right)=\frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}\approx 100$.
  • Прямая   $x=-5$ - вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается "вниз", к     $-\infty$ . А справа поднимается вверх к     $+\infty$.
  • Около   $x=5$.    Чуть левее   $f\left(4,99\right)=\frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}\approx0,101$.   $f\left(5,01\right)=\frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}\approx0,099$.
  • Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике   выколотая точка    $\left(5;0,1\right)$.        Т.к. в ней   $y=\frac{1}{5+5}=0,1$.
  • "О нулях":   при   $x=0$    $y=0,2$ .   Но функция нигде не обнуляется, $y\ne0$. Прямая   $y=0$ - горизонтальная асимптота.

                       

Пример 5:                Построить график функции     $y=\frac{x^2-16}{x+4}$

  • О.Д.З   функции    $x\ne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим   $y=\frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
  • График нащей функции     -     прямая линия       $y=x-4$       с выколотой точкой       $\left(-4;-8\right)$      при   $x=-4$.
  • "Близко чуть левее":    $x=-4,01$   значение      $f\left(-4,01\right)=\frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$.         Ближе?    ...     Предел   $\approx-8$.
  • "О нулях".     при   $x=0$    $y=-4$ .    Обнуление функции $y=0$    при    $x=4$ - пересечение с   $x$ - осью.

График Дробно - Рациональной Функции.

Определение:     дробно-рациональной порядка    $\left(n;m\right)$     называется функция вида      $y=\frac{a\cdot x^n+5x^3-x+c}{b\cdot x^m-4x^2-7x+d}$   

Числитель - многочлен степени   $n$     , знаменатель - многочлен степени    $m$ .       Общий вид:   $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

Нули функции - корни числителя $P\left(x\right)=0$ , Асимптоты (полюсы) - корни знаменателя $Q\left(x\right)=0$.

Пример 6:                  Построить график функции        $y=\frac{x^2}{x^2-9}$.

  • Функция    $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-9}$ - четная:    $f\left(x\right)=f\left(x\right)$      $f\left(8\right)=f\left(-8\right)$   - Слева и справа от $OY$ симметрично.
  • Вычисления: $f\left(-4\right)=\frac{\left(-4\right)^2}{\left(-4\right)^2-9}=\frac{16}{7}\approx2,3$           $f\left(-10\right)=\frac{100}{91}\approx 1,1$           $f\left(-5\right)=\frac{25}{16}\approx 1,6$            $f\left(-3,5\right)=\frac{12.25}{3,25}\approx 3,8$
  • $f\left(-2\right)=f\left(2\right)=\frac{4}{-5}\approx -0,8$          $f\left(-1\right)=f\left(1\right)\approx -0,1$             $f\left(3,5\right)\approx 3,8$ $f\left(4\right)\approx 2,3$          $f\left(5\right)\approx 1,6$          $f\left(10\right)\approx 1,1$
  • Наша функция имеет нули в точке    $x=0$ , а вертикальные асимтоты - линии    $x=-3$   ,      $x=3$
  • Асимптота - прямая линия, к которой "прижимается" график функции, "подходя" к ней бесконечно близко.
  • Чему равно     $\frac{x^2}{x^2-9}$      при очень больших   $x$ ?         $x\approx\pm1000$ ? Конечно,    $y\approx1$                горизонтальная асимптота      $y=1$ .
  • Анализ графика:      1)       Обнуляется   при   $x=0$ . 2) Значение       в нуле :     $y=\frac{x^2}{x^2-9}$     в     $x=0$     равно      $y=0$.
  • 3) Поведение в разрывах:   "чуть левее"    полюса      $x\approx-3-0,01$     значение     $y > 0$   - "большое    положительное".
  • "чуть правее"    разрыва      $x\approx-3+0,01$     значение   функции    "большое отрицательное".
  • Поведение около другого разрыва:   когда    $x$     "чуть левее" ,   например      $x\approx3-0,01$   ,     то        $y < 0$     ;
  • когда    $x$      "чуть правее" ,    например       $x\approx3+0,01$     , то        $y > 0$.
  • 4) Поведение на бесконечности: при        $x\approx\pm\infty$         значение    "ложится"    около       $y\approx1$.
  • 5) Область определения функции - все точки оси     $x$ ,     кроме        $x=\pm3$
  • 6) Функция положительна      $y > 0$   на интервалах      $x < -3$    ,       $x > 3$.
  • 7) Функция отрицательна      $y < 0$   на интервалах     $-3 < x < 0$     ,       $0 < x < 3$.

пробaп                   

Графический способ решения уравнений

Пример 7:                Решить уравнение         $\frac{2}{x}=x^2+1$       графическим   способом.

  • Рассмотрим   две   функции :      $y=\frac{2}{x}$      и      $y=x^2+1$      построим   гиперболу      $y=\frac{2}{x}$      и   параболу      $y=x^2+1$      по
  • чертежу   видно,   что   графики   пересекаются   в   точке   с   координатами    $\left(1;2\right)$.   если   подставить   $x=1$    в   уравнение,
  • то   равенство   выполняется:      $\frac{2}{1}=1^2+1$     обе   функции   принимают   одно   и   то   же   значение      $2=2$.    
  • ответ:      $x=1$.      при   таком    $x$    графики   пересекаются.
  • "почему?":   при   каких    $x$ - числах   выравнываются   обе   части   уравнения?   при   тех    $x$ - числах,   при   которых   левая
  • функция   и   правая   функция   приобретают   одинаковые   значения    ...    это   то   же   самое,   что   графики   этих   функций
  • пересекаются   в   точках с   такими   $x$   -   координатами.

                     

Пример 8:                Решить уравнение                            $\frac{5}{x}=x-4$.

  • рассмотрим две функции:     $y=\frac{5}{x}$     и      $y=x-4$,     построим   их   графики:   гиперболу    $y=\frac{5}{x}$    и   прямую   $y=x-4$.
  • по   чертежу   видно,   что   гипербола   и   прямая   пересекаются   в   точках   $(-1;-5)$    и    $(5;1)$.    проверим,   подставим
  • $x=-1$     и       $x=5$    в   уравнение :      $\frac{5}{-1}=-1-4$       $\Leftrightarrow$        $-5=-5$       и              $\frac{5}{5}=5-4$     $\Leftrightarrow$     $1=1$ .      равенство
  • выполняется,   значит   данное   уравнение   имеет   два   корня   -   абциссы   точек   пересечения   графиков.
  • ответ:       $x_1=-1$;      $x_2=5$.

Пример 9:                  Найти наименьшее и наибольшее значения функции    $y=\frac{1}{x}$     на отрезках   а)    $\left[\frac{1}{3};5\right]$      и    б)   $\left[-7;-1\right]$.

  • Построим график функции   $y=\frac{1}{x}$ .
  • Выделим   часть   графика,   соответсвующую   значениям   переменной   $x$    на отрезке    $\left[\frac{1}{3};5\right]$.
  • Для   выделенной   части графика   находим:   наименьшее   значение   $y=\frac{1}{5}$     при     $x=5$ ,     наибольшее      $y=3$    при     $x=\frac{1}{3}$.
  • Выделим   часть   графика,   соответсвующую   значениям   переменной    $x$   на   отрезке    $\left[-7;-1\right]$.
  • Для   выделенной части   графика   находим:   наименьшее   значение   $y=-\frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее   $y=-1$    при    $x=-1$.     

Пример 10:                Доказать,   что   функция       $y=f\left(x\right)$ ,     где      $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$       

удовлетворяет   соотношению                   $f\left(x-5\right)-f\left(x+1\right)=1,5\cdot f\left(x-5\right)\cdot f\left(x+1\right)$.

  • Подставим   в   аргументы   функций   значения     $x-5$    и     $x+1$,    получим:    $f\left(x-5\right)=\frac{4}{x-5}$    и     $f\left(x+1\right)=\frac{4}{x+1}$ .
  • распишем   левую   часть   тождества      $f\left(x-5\right)-f\left(x+1\right)=\frac{4}{x-5}-\frac{4}{x+1}=\frac{4\left(x+1\right)-4\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{24}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}$.    аналогично,
  • с   правой   стороны   получим    $1,5\cdot f\left(x-5\right)\cdot f\left(x+1\right)=1,5\frac{4}{x-5}\cdot\frac{4}{x+1}=\frac{1,5\cdot16}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{24}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}$.       одинаковые!   ч.т.д.

Упражнения