Учебник
Алгебра, 9 класс

Алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений

ОДЗ   -       множество   значений   неизвестного,    при которых   имеют смысл   все выражения, входящие в уравнение.

  • Уравнения        $\frac{x-2}{x+3}=0$ ,       $5y=\frac{2+4y}{3y-7}+14$   ,            $\frac{6x+5y}{11xy}=\frac{xy}{2x+12y}$        теряют смысл, если знаменатель станет нулем.
  • ОДЗ    означает     "мы   пока   не   знаем   какие   числа   могут   уравнять, но   мы точно   знаем   какие не могут:
  • перечисляем условия      ОДЗ,        чтобы не пропустить ложные числа.   Отфильтровать плохие, недопустимые числа."

Пример 1                  Решить уравнение              $\frac{3-2x}{x+2}=\frac{30}{5-x}$

  • ОДЗ          $x+2\ne0$        $5-x\ne0$                (суть   написания    ОДЗ   -    не   допустить ложные   решения:   решением уравнения
  • могут быть только те числа, будучи подставлеными в обе части уравнения    вместо    неизвестного   $x$,     уравняют обе части.)
  • 1-ый шаг.        дробь равна дроби.       свойство пропорции:       если       $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ,    тогда      $A\cdot D=C\cdot B$.     значит, чтобы
  • найти      $x$ ,     уравнивающий эти дроби,     достаточно найти    решения уравнения      $\left(3-2x\right)\left(5-x\right)=30\cdot\left(x+2\right)$ ,       
  • 2-ой шаг.         раскрыв скобки, перейти к решению квадратного    уравнения             $15-3x-10x+2x^2=30x+60$        
  • $\Leftrightarrow$                    $2x^2-43x-45=0$               $\Leftrightarrow$              решения уравнения :            $x_1=22,5$;            $x_2=-1$ .
  • осталось проверить     ОДЗ     условия        $\Rightarrow$        оба числа принадлежат ОДЗ,     значит    это     корни     уравнения.

Алгоритм   решения    уравнения     "дробь   =   дробь"

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{C\left(x\right)}{D\left(x\right)}$       решается   переходом   к квадратному по свойству   пропорций         $\Rightarrow$     $A\left(x\right)\cdot D\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot B\left(x\right)$ .

$1)$:           $\frac{x^2-3x}{7-2x}=\frac{x+1}{5}$               $\Rightarrow$             $\left(x^2-3x\right)\cdot5=\left(x+1\right)\cdot\left(7-2x\right)$ .

$2)$:           $\frac{x^2-17}{5-x}=-1$              $\Rightarrow$              $x^2-17=-1\cdot\left(5-x\right)$

         

Пример 2:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=0$           

  • ОДЗ         $x^2-9\ne0$         ( знаменатель    не может быть    равен    $0$ , значит     $x$     не может быть равен     $+3$       и      $-3$    .)
  • в нашем уравнении     " дробь     =     ноль "       $\Leftrightarrow$      простое рассуждение:      вся   дробь равна нулю   значит,   числитель
  • равен нулю.    как иначе дробь обнулится?      Никак!          $x^2-5x+6=0$           $\Leftrightarrow$        $D=5^2-4\cdot1\cdot6 = 1$         получаем
  • $x_1=2$         $x_2=3$ ,       проверим    истинность решений:      $x=3$    оно   не   удовлетворяет   условию   ОДЗ ,       значит,
  • это ложный корень.                 ответ:    $x=2$

Алгоритм     решения    уравнения     "дробь   =   0" :

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0$        эквивалентно         $\Leftrightarrow$         $A\left(x\right)=0$          $B\left(x\right)\ne0$ .     числитель $= 0$,       знаменатель   $\ne0$.

Пример 3:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+12$                  

  • ОДЗ             $x-3\ne0$
  • приведем к    общему    знаменателю             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+\frac{12\left(x-3\right)}{x-3}$    , сложим    числители   справа             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2+12\left(x-3\right)}{x-3}$,
  • избавимся   от дробей   путем   домножения   обеих   частей   уравнения   на общий знаменатель         $x^2-7=2+12\left(x-3\right)$ ,
  • перенесем в левую часть и получим желаемое уравнение       $x^2-12x+27=0$       $\Leftrightarrow$          $x_1=3$ ;       $x_2=9$ .    
  • проверим: принадлежат ли    корни   ОДЗ уравнения   ( $x-3\ne0$   ) ? .    корень      $x=3$     не удовлетворяет ОДЗ   ,
  • за это его исключают из множества решений.           такие корни называют посторонними,    ложными   корнями. {: .small} ответ:    $x=9$

Алгоритм   решения   дробно-рациональных   уравнений:

  1. определить   условия   ОДЗ   уравнения.   какие   выражения   не   могут   быть   нулем?

  2. привести   все   слагаемые   в   обеих   частях   уравнения   к   общему   знаменателю.

  3. домножить   обе   части   уравнения   на   общий   знаменатель.   сократить.

  4. найт и корни,   решения   полученного   уравнения.

  5. проверить,   принадлежат ли   найденные   корни   ОДЗ.

  6. записать   в   ответе   те   из   найденных    корней,   которые   принадлежат   ОДЗ.

Пример 4:                  Решить уравнение              $\frac{2x+4}{2x-1}-3=\frac{15-6x}{2x-3}$       

ОДЗ        $2x-1\ne0$          $2x-3\ne0$
превратим числовое слагаемое в дробь       $\frac{2x+4}{2x-1}-\frac{3}{1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     и    применим     правило   сложения   алгебраических дробей
$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$       :            $\frac{2x+4-3\cdot\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     ,            упростим          $\frac{-4x+7}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$   ,      перенесем   правую   дробь
к левой   дроби         $\frac{-4x+7}{2x-1}-\frac{15-6x}{2x-3}=0$       и    выполним сложение дробей    с общим знаменателем ,    равным              
произведению    двух   множителей           $\frac{\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-3\right)}=0$           если      "дробь   =   $0$ "        тогда
"числитель     =   $0$           получим           $\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)=0$      ,    раскроем скобки
$-8x^2+12x+14x-21-30x+15+12x^2-6x=0$     ,     приведем   к стандартному виду           $4x^2-10x-6=0$
и сократим на $2$:    $\Rightarrow$       $2x^2-5x-3=0$ .               ответ:      $x_1=3$        $x_2=-\frac{1}{2}$ .        ОДЗ выполняется для обеих корней.

Алгоритм     решения     уравнения      "дробно - рациональное выражение    =      дробь":

решается   превращением   суммы   дробей   в   одну   дробь   по   правилу   сложения   дробей        $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$.

(если дробь складывается с каким-то числом     $К$    ,   его предварительно заменяют       $\frac{K}{1}$ -   дробью со знаменателем       $1$ ).

полученное "дробь = дробь"    преобразуют в    "дробь = 0" .   затем переход к уравнению    "числитель = 0".

проверка корней на соответсвие условиям   ОДЗ обязательна.

         

Интерактивная Доска

Упражнения