Формулы сокращенного умножения
$a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2$ Квадрат суммы двух = квадрат 1-го + дважды 1-ое на 2-ое + квадрат 2-го.
$a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2$ Квадрат разности двух = квадрат 1-го $-$ дважды 1-ое на 2-ое + квадрат 2-го.
$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ Разность двух квадратов = произведению разности 1-го и 2-го на сумму 1-го и 2-го .
- Алгоритм применения формул: В требуемом выражении мы должны "увидеть" одну часть формулы в буквах "a" и "b": .
- Например: $x^2-6xy^2+9y^4$ можно увидеть как $\left[x\right]^2-2\cdot \left[x\right]\cdot \left[3y^2\right]+\left[3y^2\right]^2$ т.е. "конструкцию" части формулы $a^2-2ab+b^2$
- Тогда в соответствии с правой частью $\left(a-b\right)^2$ получим преобразованное $\left(\left[x\right]-\left[3y^2\right]\right)^2$
- В итоге $x^2-6xy^2+9y^4$ после применения формулы превратилось в $=(x−3y^2)^2$ .
- Заключение в квадратные скобки [A] выражений "изображает" визуальное представление конструкции формул.
- Итак: смотрим на наше выражение, "угадываем" в нем часть формулы через "a" и "b": И "преобразуем" по другой части.
Пример 1, напоминание: Представить $9x^2-12x+4$ в виде полного квадрата
- Полный квадрат - это когда нечто возведено в квадрат. Например, сумма или разность возведена в квадрат.
- Надо увидеть $9x^2-12x+4$ как $\left[?_1\right]^2-2\cdot\left[?_1\right]\cdot\left[?_2\right]+\left[?_2\right]^2$ . Вопрос: что должно стоять на местах $\left[?_1\right]$ и $\left[?_2\right]$ ...
- Смотрим, видим: $\left[?_1\right]=3\cdot x$ $\left[?_2\right]=2$ т.к. $9x^2-12x+4=\left[3x\right]^2+2\cdot\left[3x\right]\cdot\left[2\right]+\left[2\right]^2$
- Тогда, свернем по формуле "квадрат разности" $\left[3x\right]^2+2\cdot\left[3x\right]\cdot\left[2\right]+\left[2\right]^2$ на квадрат двучлена $\left(\left[3x\right]-\left[2\right]\right)^2$
- в итоге получим представление трехчлена в виде полного квадрата $9x^2-12x+4=\left(3x-2\right)^2$
- Замечание: квадратные скобки типа .... $\left[3x\right]$ ... $\left[2\right]$ написано лишь для усиления "видимости".
Замечания: для применения формул надо для своего выражения "зряче увидеть" конструкцию формулы: что в нем играет роль буквы "a" и что за буква "b" ? При этом какое выражение получится от "a" и "b" ? .... если твое выражение "смотриться как" $a^2-2ab+b^2$ то сконструируй $\left(a-b\right)^2$ из твоих "a" и "b". На этапе привыкания к формулам желательно "воображать" "a" и "b" внутри квадратных скобок ... см. ниже примеры. Или же искать как $\left[?_1\right]$ и $\left[?_2\right]$. В следующих разнообразных примерах показано как надо "искать - увидеть - применить" и получить представление в виде полного квадрата. Внимательно изучите каждый. Пригодится.
Пример 1, продолжение: Представить трехчлены в виде полного квадрата
- $x^2+14x+49$ Представим .... $x^2+14x+49=\left[x\right]^2+2\cdot \left[x\right]\cdot \left[7\right]+\left[7\right]^2=\left(\left[x\right]+\left[7\right]\right)^2=\left(x+7\right)^2$
- $16-8m+m^2$ $16-8m+m^2=\left[4\right]^2-2\cdot \left[4\right]\cdot \left[m\right]+\left[m\right]^2=\left(\left[4\right]-\left[m\right]\right)^2=\left(4-m\right)^2$
- $m^2+6m+9$ $a=m$ $b=3$ ... $m^2+6m+9=\left(m+3\right)^2$
- $16-40m+25m^2$ $a=4$ $b=5m$ ... $16-40m+25m^2=\left(4-5m\right)^2$
- $x^6-4x^3+4$ $x^6-4x^3+4=\left[x^3\right]^2-2\cdot \left[x^3\right]\cdot \left[2\right]+\left[2\right]^2=\left(\left[x^3\right]-\left[2\right]\right)^2=\left(x^3-2\right)^2$
- $x^4+2x^2+1$ $a=x^2$ $b=1$ ..... $x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2$
- $a^4b^2+6a^3b+9a^2$ $a^4b^2+6a^3b+9a^2=\left[a^2b\right]^2+2\cdot \left[a^2b\right]\cdot \left[3a\right]+\left[3a\right]^2=\left(\left[a^2b\right]+\left[3a\right]\right)^2=\left(a^2b+3a\right)^2$
- $4a^4b^2-12a^2b+9$ $\left[?_1\right]=2a^2b$ $\left[?_2\right]=3$ $4a^4b^2-12a^2b+9=\left(2a^2b-3\right)^2$
- $a^2+2ay^2+y^4$ $\left[?_1\right]=a$ $\left[?_2\right]=y^2$ $a^2+2ay^2+y^4=a^2+2ay^2+(y^2)^2=(a+y^2)^2$
- $x^6−2x^3m^2+m^4$ $\left[?_1\right]=x^3$ $\left[?_2\right]=m^2$ $x^6−2x^3m^2+m^4=(x^3)^2-2x^3m^2+(m^2)^2=(x^3−m^2)^2$
- $x^2+2xy^2+y^4$ $x^2+2xy^2+y^4=x^2+2xy^2+(y^2)^2=$ квадрат суммы $=(x+y^2)^2$
- $x^6−2x^3y^2+y^4$ $x^6−2x^3y^2+y^4=(x^3)^2-2x^3y^2+(y^2)^2=$ квадрат разности $=(x^3−y^2)^2$
Выделения полного квадрата
В рассмотренных примерах трехчлены превращались в полные квадраты, потому, что их слагаемые были такими, чтоб "конструировались" формулы суммы или разности квадратов. Первое и третье слагаемые оказывались квадратами, а второе слагаемое "удачно" равнялось удвоенному произведению первого на второе. Но далеко не у всех трехчленов имеется такая конструкция. Тогда на помощь может прийти "принудительное" выделение полного квадрата - создать требуемую конструкцию добавлением и вычитанием одного и того же.
Пример 2: Выделить полный квадрат $x^2–12x$
- Надо добавить и вычесть "нечто" $x^2-12x+?^2-?^2$ так, чтобы первые 3 слагаемые представляли собой полный квадрат
- Вопрос: что должно быть на месте $?$ , чтоб $x^2-12x+?^2$ "сворачивался" по формуле квадрата разности?
- Думаем ... смотрим ... видим $?=6$ , потому, что $x^2-12x+6^2=x^2-2\cdot x\cdot 6+6^2=(x-6)^2$
- Выделение будет таким: $x^2–12x=x^2–12x+6^2-6^2=(x-6)^2-36$ . Выделился квадрат выражения $x-6$ !
- примечание: мы фактически добавили и вычли 36 ... одно и то же ... и, значит, не изменили само выражение
Пример 3: Выделить полный квадрат $a^2+7a+2$
- Добавим и вычтем "нечто" $a^2+7a+?^2-?^2+2$ чтоб первые 3 становилось полным квадратом.
- Что должно быть на месте $?$ ... "Взглянем" немного по другому: $a^2+7a+?^2-?^2+2=a^2+2\cdot a\cdot\frac{7}{2}+?^2-?^2+2$
- "Сворачивание" по формуле квадрата суммы пройзодет, если в качестве $?$ подставим $\frac{7}{2}$.
- Итак, выделение: $a^2+7a+2=a^2+2\cdot a\cdot\frac{7}{2}+(\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2+2=(a+\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}+2=(a+\frac{7}{2})^2-\frac{41}{4}$
Пример 4: Выделить полный квадрат $x^6-x^3-2$
- Важно "увидеть" 1-ое: что претендует на "квадрат" и что на "удвоенное произведение 1-го на что"?
- В нашем случае слагаемое $x^6$ может стать "квадратом" вида $a^2$. А слагаемое $-x^3$ вида $-2\cdot a\cdot b$.
- $x^6$ есть квадрат куба, $x^3$. Значит, надо "подогнать" $-x^3=-2\cdot x^3\cdot ?=-2\cdot x^3\cdot \frac{1}{2}$.
- сделаем выделение: $x^6-x^3-2=(x^3)^2-2\cdot x^3\cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-2=(x^3-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$
- замечание 1: мы добавляем и тут же вычитаем фактически $\frac{1}{2}$. Исходное выражение не изменится.
- замечание 2: полученный хвост $-(\frac{1}{2})^2-2$ упрощаем, вычисляем. Результат хвоста $-\frac{9}{4}$
Пример 5: Выделить полный квадрат $a^4+8a^2b-3b^2$
- Выделим сперва квадрат первого $\left(a^2\right)^2+8a^2b-3b^2$ .... первым оказался $a^2$ в квадрате
- Затем, удвоенное произведение первого на то, что получится $\left(a^2\right)^2+2\cdot a^2\cdot\left(4b\right)-3b^2$ , ...... получилось $4b$
- Затем, добавим и вычтем $\left(4b\right)^2$бъ, его квадрат $\left(a^2\right)^2+2\cdot a^2\cdot\left(4b\right)+\left(4b\right)^2-\left(4b\right)^2-3b^2$ ,
- Превратим "начало" в полный квадрат, "хвост" упростим: $\left(a^2+4b\right)^2-19b^2$
Алгоритм: выделения полного квадрата из суммы: $A+B+C$
1 шаг: Ищем $a$: Надо увидеть в первом слагаемом чей-то квадрат: $A=(a)^2$. .... возможно, слагаемые придется переставить.
2 шаг: Ищем $b$: Надо сконструировать "удвоенное произведение" $B=2\cdot (a)\cdot (b)$ .... $b$ будет $B$ сокращенное на $2a$
3 шаг: Гарантируем неизменяемость: добавим и вычтем $(b)^2$: $A+B+C=(a)^2+2\cdot (a)\cdot (b)+(b)^2-(b)^2+C$
4 шаг: Выделим полный квадрат $A+B+C=(a+b)^2-(b)^2+C$ и "подчистим хвост", упростим $-(b)^2+C$
Пример 6: Вынести числовой множитель и выделить полный квадрат
- Не всегда получается "чей-то квадрат". Иногда надо вынести число за скобки и внутри скобки выделять полный квадрат:
- $2x^2+4x-7=2\cdot\left(x^2+2x\right)-7=2\cdot\left(x^2+2\cdot x\cdot1+1^2-1^2\right)-7=2\left(x+1\right)^2-9$
- $3x^2-x+4=3\cdot\left(x^2-\frac{x}{3}\right)+4=3\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{6}\right)+4=3\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{36}\right)+4=3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{47}{12}$
- $\frac{1}{2}x^2-3x+1=\frac{1}{2}\left(x^2-6x\right)+1=\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9-9\right)+1=\frac{1}{2}\left(x-3\right)^2-4,5+1=\frac{1}{2}\left(x-3\right)^2-3,5$
Разложение на множители
Пример 7: Разложить на множители методом выделения полного квадрата $x^2–10x–11$
- выделим полный квадрат $x^2–10x–11=x^2–2\cdot x\cdot 5–11=x^2–10x+5^2–5^2–11=(x^2–10x+5^2)–36=(x–5)^2–36$
- 36 является квадратом 6, значит, имеем разность квадратов ... применим формулу $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
- здесь $a=x–5$ $b=6$ , поэтому $x^2–10x–11=(x–5)^2–36=(x–5–6)(x–5+6)=(x–11)(x+1)$
- замечание: важно после выделения полного квадрата и "подчищения хвоста" увидеть формулу разности квадратов.
Пример 8: Разложить на множители $x^2-6xy+5y^2$ .
- Выделим полный квадрат $x^2-6xy+5y^2=(x^2-6xy+9y^2)–9y^2+5y^2=(x-3y)^2-4y^2$
- "Нарисовалась" разность квадратов, по формуле $x^2-6xy+5y^2=((x-3y)–2y)((x-3y)+2y)=(x-5y)(x-y)$
Пример 9: Разложить на множители $a^4+4z^4$ .
- Выделим полный квадрат $a^4+4z^4=(a^4+4a^2z^2+4z^4)–4a^2z^2=(a^2+2z^2)^2-4a^2z^2$ квадрат суммы -
- Опять же разность квадратов, $a=a^2+2z^2$ $b=2az$ по формуле $a^4+4z^4=(a^2+2z^2–2az)(a^2+2z^2+2az)$
Пример 10, повторение: Вспомнить формулы сокращенного умножения - разности квадратОВ
- $(2x+3y)^2−x^2y^2$, разложить на множители .... $(2x+3y)^2−x^2y^2=(2x+3y)^2−(xy)^2=(2x+3y+xy)(2x+3y−xy)$
- $(2a+3b)^2−a^2b^2$, разложить на множители .... $(2a+3b)^2−a^2b^2=(2a+3b)^2−(ab)^2=(2a+3b+ab)(2a+3b−ab)$
Интерактивная Классная Доска
- здесь можно писать и решать любые примеры на выделение полного квадрата, на разложения. Хоть из учебника.
Интерактивные Упражнения, Примеры