- Свойства Степеней через терминологию: основание - показатель - степень.
- Какое-то основание в некоем показателе дает степень. Какое основание?
- Нахождение Корней уравнений - как поиск выравнивающих чисел. Сравнения.
- Будем думать: каким должно быть основание, чтоб уравнение выравнялось.
- Эквивалентности для степенных уравнений - осмысленность равносильностей.
- Если степень должна быть такой, каким может быть основание? ... в этом действии равносильность!
Корни, решения уравнения - это такие числа, которые будучи подставленными в уравнение вместо неизвестной буквы, выравнивают левую и правую части уравнения.
Пример 1: решить уравнение $(x-7)^3=125$
- Решение: Что может быть основанием куба, чтоб его куб стал $125$? Конечно, $5$
- Значит основание приравниваем $x-7=5$ . Решим линейное: Ответ: $x=12$
Пример 2: решить уравнение $(x+11)^6=64$
- Решение: Каким должно быть основание $x+11$, чтоб 6-ая степень стала $64$? Конечно, $2$ или $-2$.
- Значит основание $x+11=-2$, $x+11=2$ . Решим линейные: Ответы: $x=-13$ $x=-9$
Пример 3: решить уравнение $(2x-1)^3=\frac{1}{27}$
- Решение: Чей куб $\frac{1}{27}$? Конечно, $\frac{1}{3}$.
- Значит основание $2x-1=\frac{1}{3}$, $2x=\frac{4}{3}$ . Ответы: $x=\frac{2}{3}$
Пример 4: решить уравнение $(6-x)^5=10000$
- Решение: Представим правую часть тоже как 5-ю степень $(6-x)^5=10^5$.
- Сравним основания $6-x=10$, получим $x=-4$ . Ответ: $x=-4$
Пример 5: решить уравнение $(3+2x)^4=625$
- Решение: Представим правую часть тоже как 4-ю степень $(3+2x)^4=5^4$.
- Тут уже может быть два варианта: числа $5$ и $-5$ в четвертой степени дадут одно и то же!
- Основаниями могут быть $3+2x=5$ и $3+2x=-5$, . Ответ: $x=1$ $x=4$
Замечание: При решении степенного уравнения $\left(ax+b\right)^n=c$
- При нечетных степенях получается одно основание . Даже если число $c$ отрицательно
- При четных степенях и отрицательном $c$ у уравнения не может быть решений.
- Если справа стоит ноль, $c=0$ , надо приравнять основание к нулю .... решить $ax+b=0$
- При четных степенях и положительном $c$ получается два варианта для основания ... со знаками + и - .
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения: