Учебник
Алгебра, 8 класс

Основное свойство дроби:      Если числитель и знаменатель алгебраической дроби поделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится алгебраическая дробь, равная прежнему: дробь не изменится.   

$\frac{A\cdot X}{X\cdot B}=\frac{A\cdot X:X}{X\cdot B:X}=\frac{A\cdot1}{1\cdot B}=\frac{A}{B}$              $X\ne0$       $B\ne0$

Сократить дробь - значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на один и тот же множитель.

Алгоритм сокращения алгебраических дробей

  1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
  2. Найти общие множители.
  3. Разделить числитель и знаменатель на общие множители.

Пример 2:     Сократить дроби    $\frac{7a}{ax}$           $\frac{6m}{-9m}$        $\frac{10ab^6c}{15a^3b^2x}$      $\frac{8\left(a-b\right)}{a-b}$

$\frac{7a}{ax}=\frac{7\cdot a}{a\cdot x}=\frac{7\cdot [a]}{[a]\cdot x}=\frac{7\cdot [1]}{[1]\cdot x}=\frac{7}{x}$                               общий множитель   $a$   

$\frac{6m}{-9m}=\frac{6\cdot [m]}{-9\cdot [m]}=\frac{2\cdot3\cdot [1]}{-3\cdot3\cdot [1]}=-\frac{2}{3}$                            общий множитель   $3m$

$\frac{10ab^6c}{15a^3b^2x}=\frac{10ab^6c:[5ab^2]}{15a^3b^2x:[5ab^2]}=\frac{2b^4c}{3a^2x}$                              общий множитель   $5ab^2$

$\frac{8\left(a-b\right)}{a-b}=\frac{8\left(a-b\right):[a-b]}{(a-b):[a-b]}=8$                                      общий множитель   $a-b$

Пример 3:     Сократить алгебраические дроби

Пример 4:     Сократить дробь    $\frac{x^2+5x}{25-x^2}$

  • Разложим числитель и знаменатель на множители: в числителе - вынос за скобки, в знаменателе - формула:
  • $\frac{x^2+5x}{25-x^2}=\frac{x\left(x+5\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}$
  • Появился общий множитель $x+5$.   Сократим и числитель и знаменатель на общий множитель. Т.е. Поделим:
  • $\frac{x^2+5x}{25-x^2}=\frac{x\left(x+5\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=\frac{x}{5-x}$

Пример 5:     Сократить дробь    $\frac{a^2+4a+4}{a^2-4}$

  • В числителе формула полного квадрата,       в знаменателе- формула разности квадратов. Разложим их:
  • $\frac{a^2+4a+4}{a^2-4}=\frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)}$
  • Вдруг, откуда - то (?) Появился общий множитель $a+2$.   Сократим и числитель и знаменатель на нее:
  • $\frac{a^2+4a+4}{a^2-4}=\frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+2}{a-2}$

Пример 6:     Сократить дробь    $\frac{x^2-6x-7}{x+1}$

  • В числителе выделим полный квадрат,   Разложим по формуле разности квадратов:
  • $\frac{x^2-6x-7}{x+1}=\frac{x^2-6x+9-9-7}{x+1}=\frac{\left(x-3\right)^2-16}{x+1}=\frac{\left(x-3-4\right)\left(x-3+4\right)}{x+1}=\frac{\left(x-7\right)\left(x+1\right)}{x+1}=x-7$
  • Вдруг, откуда - то (?) появился общий множитель $x+1$.   Сократим и числитель и знаменатель на нее:

Примеры для закрепления:

Упражнения