Сложение и вычитание алгебраических дробей. Общий знаменатель

Учебник
Алгебра, 8 класс

Напоминание о числовых дробях:         Сложение,       Вычитание,       Сравнение.

Правило:             Чтобы сравнить    (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

  • привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби                            

Пример 1:     Дроби: $\frac{2}{3}$   и   $\frac{3}{5}$.      Сложить, Вычесть, Сравнить.                       

  • Сложение дробей:                        $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ .
  • приведем дроби к наименьшему общему знаменателю    15.
  • Сложим    $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}+\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$
  • Вычитание дробей:                        $\frac{2}{3} - \frac{3}{5}$ .
  • $\frac{2}{3} -\frac{3}{5}= \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}-\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15}$
  • Сравнение дробей:        $\frac{2}{3}$      и       $\frac{3}{5}$.
  • первая дробь равна   $\frac{10}{15}$   , вторая      $\frac{9}{15}$ .   При одинаковых знаменателях у первой дроби числитель больше:
  • $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$               $\Rightarrow$                   $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$ .

Правило:        привести дроби к    наименьшему общему знаменателю     -   значит выполнить следующее:

  • найти        Н.О.К    их знаменателей. ...         (наименьшее число, которое делится на оба знаменателя!)
  • найти дополнительный множитель для каждой дроби по-отдельности: = ( Н.О.К ) : (его знаменатель) !
  • вычислить числитель новой дроби: =   (старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

             

Сложение, Вычитание алгебраических дробей: Одинаковые знаменатели

Правило:    Сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями равен дроби с таким же знаменателем, а в числителе надо сложить/вычесть числители исходных дробей.

  • Общая форма для такого сложения/вычитания       $\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}$                 $\frac{A}{D}-\frac{B}{D}=\frac{A-(B)}{D}$

  • Внимательно: при знаке "-" следует заключать в скобки           $\frac{A}{D}-\frac{B-C}{D}=\frac{A-\left(B-C\right)}{D}$

  • Каждый числитель со своим знаком и в скобках: $\frac{A}{D}-\frac{B}{D}+\frac{C}{D}-\frac{K}{D}=+\frac{\left(A\right)-\left(B\right)+\left(C\right)-\left(K\right)}{D}$       

  • Противоположные Знаменатели,    надо "поменять знак":         $\frac{5}{y-4}-\frac{1}{4-y}=\frac{5}{y-4}-\frac{1}{-\left(y-4\right)}=\frac{5}{y-4}+\frac{1}{y-4}=\frac{\left(5\right)+\left(1\right)}{y-4}$

Пример 2:       $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}$

  • Смотрим на знаменатели:   $3a-b$   и   $b-3a$ . Противоположные!    Нехитро меняем знак:     $b-3a=-\left(3a-b\right)$
  • Поменяем знаменатель 3-ей дроби на противоположное:             $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}$   
  • "Перебросим знак вперед":         $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}$        - теперь, все знаменатели одинаковые.
  • Складываем числители:           $\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}$       - каждый в своей скобке и со своим знаком.
  • Раскрываем аккуратно скобки и упрощаем           $=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$.             Итого:
  • $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}=\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$

Сложение, Вычитание алгебраических дробей с числовыми знаменателями

Пример 3:     Вычесть дроби.   $\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}$

  • Смотрим на знамeнатели: к какому общему знаменателю можем привести? НОК - наименьшее число, кратное 18 и 12.
  • НОК этих чисел 36. Какие дополнительные множители? К первой дроби 2, а ко второй дроби 3.
  •    $\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}=\frac{5x\cdot\left[2\right]}{36}-\frac{7y\cdot\left[3\right]}{36}=\frac{10x-21y}{36}$
  • Замечание: фактически, мы умножили числитель и знаменатель 1-ой дроби на 2; Аналогично для 2-ой дроби на 3. "основное свойство"
  • Таким образом получили в обеих дробьях одинаковые знаменатели, 36 и 36. И сложение-вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило:        1. найти       Н.О.К    их знаменателей. Это и будет общим знаменателем...   2. найти дополнительные множители для каждой дроби по-отдельности: = ( Общее ) : (его знаменатель) 3. вычислить числители "приведенных" дробей: =   (старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

Сложение, вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Основное свойство алгебраической дроби Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножать или делить на одно и то же.      Хоть на многочлен, одночлен, число не 0, или на любое выражение.

Пример 4:        Вычесть дроби   $\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}$

  • Умножим числитель и знаменатель 1-ой дроби $\frac{3}{a+b}$   на знаменатель второго $2a$: дробь не изменится.    
  • Аналогично, во второй дроби $\frac{b-2}{2a}$    на числитель первого $a+b$ : дробь останется прежным.
  • Идея: Эти дроби не изменятся, но знаменатели станут одинаковыми - как произведение прежных ... общий знаменатель.
  • При этом числители каждой дроби приобретут свои дополнительные множители .... умножается на знаменатель другой дроби
  •    $\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left[2a\right]}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left[a+b\right]}{2a\cdot\left(a+b\right)}$             Складываем по правилу ...           $\frac{3\cdot\left[2a\right]}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left[a+b\right]}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left[2a\right]-\left(b-2\right)\cdot\left[a+b\right]}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
  • Аккуратно упрощаем полученный числитель:                $\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
  • Шаги вычитания:       $\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left[2a\right]}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left[a+b\right]}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left[2a\right]-\left(b-2\right)\cdot\left[a+b\right]}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$

Правило:       для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей: для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить .   В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left[D\right]+C\cdot\left[B\right]}{B\cdot D}$                                        $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left[D\right]-(C)\cdot\left[B\right]}{B\cdot D}$

Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения.

Сложение, вычитание алгебраических дробей: Наименьший Общий Знаменатель

Пример 5:        $\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}$

  • Нам нужно найти наименьший, наилучший общий знаменатель. Для поиска такого "заглянем внутрь" каждого знаменателя.
  • Разложим знаменатели $10c^5$   и   $15c^3$   на множители:        $10c^5=2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2$ ,          $15c^3=3\cdot5\cdot c^3$
  • Преобразуем знаменатели    $\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}$ .     У каждого обнаружился множитель     $5\cdot c^3$
  • Первый состоит из множителей      $\left[2c^2\right]$    и    $5\cdot c^3$/$ .                     А второй состоит из множителей    $3$   и   $5\cdot c^3$.
  • Сконструируем наименьшее общее:     $(\left[2c^2\right]) \cdot (5\cdot c^3) \cdot (3) $         - здесь учтен общее      $5\cdot c^3$ один раз!
  • Если первую дробь, его числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель $3$, то получится нужный знаменатель.
  • Аналогично, если во второй дроби умножать на дополнительный множитель    $\left[2c^2\right]$, то и у нее будет такой же знаменатель.
  • Сложим дроби с общим знаменателем:        $\frac{3\cdot\left[3\right]+2\cdot\left[2c^2\right]}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}$ - числители умножены на свои дополнительные множители.
  • Упростим:       $\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}=\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}=\frac{3\cdot\left[3\right]+2\cdot\left[2c^2\right]}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}=\frac{9+4c^2}{30c^5}$

Правило:      Приведение к наименьшему общему знаменателю .

$\frac{A}{B\cdot M}+\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left[D\right]+C\cdot\left[B\right]}{B\cdot D\cdot M}$                                           $\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left[D\right]-C\cdot\left[B\right]}{B\cdot D\cdot M}$

  1. Разложить знаменатели каждой дроби на множители.             ($B\cdot M$    и      $D\cdot M$)
  2. Собрать все общие множители ($M$)   , в каждом знаменателе общий множитель отделить от других множителей: ($B$   и $D$)
  3. Сконструировать наименьший общий знаменатель как произведения множителей каждого ... общее:   $B\cdot D\cdot M$
  4. ... при этом общий множитель   ($M$)    учитывать лишь один раз!
  5. Дополнительными множителями для каждой дроби будет _недостающие до общего_ множители:    ($D$ и $B$)

Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками». Полезнее писать в "особых скобках".

Пример 6:    упростить      $\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}$

  • Разложим знаменатели:    $x^2-6xy+9y^2$ - по формуле квадрата разности;        $2x-6y$ - вынесем множитель $2$ за скобки.
  •    $\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}$ - знаменатели представлены множителями.
  • Используем формулу сложения с НОК:         $\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left[D\right]-C\cdot\left[B\right]}{B\cdot D\cdot M}$           Общий множитель   $M=x-3y$ ;
  • Кроме общего, у 1-го еще   $B=x-3y$, у 2-го $D=2$ ;           Наименьший знаменатель:         $B\cdot D\cdot M=\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)$
  • Реализуем:           $\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left[2\right]-\left(x+3y\right)\left[x-3y\right]}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}$
  • Упростим, в числителе используем формулу разности квадратов:                 $\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$
  • Итого:     $\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left[2\right]-\left(x+3y\right)\left[x-3y\right]}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}=\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$

Упражнения