Учебник
Алгебра, 8 класс

Каноническое квадратное уравнение

Что такое обычное квадратное уравнение?
Это уравнение, в котором обязательно есть икс в квадрате. Видов квадратных уравнений много.
Но самый «главный»   - стандартный или канонический вид :       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$      или     $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Числа    $a$ ,    $b$ ,     $c$      при неизвестном называются    коэффициентами уравнения .   У каждого свое название:

  • $a$     называют квадратным      (т.к. он при $x^2$)           или первым   коэффициентом ;
  • $b$     называют линейным           (т.к. он при $x$ )           или вторым    коэффициентом ;
  • $c$     называют свободным членом уравнения           (т.к. он свободен от неизвестного)

Важно правильно определять коэффициенты, ведь они участвуют в формулах решения квадратного уравнения!
Особое внимание на знаки коэффициентов: в стандартном виде уравнения      $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$     написаны одни "плюсы",
а в вашем уравнении могут быть и "минусы" !

Определяем коэффициенты так:

$0,2x^2+7x+13=0$      коэффициенты :         $a=0,2$     $b=7$         $c=13$

$3x^2-5x+10=0$          коэффициенты :         $a=3$      $b=-5$   минус!      $c=10$

$x^2-\frac{1}{3}x-5=0$           коэффициенты :         $a=1$;      $b=-\frac{1}{3}$           $c=-5$     минус!

$16x^2-25=0$                коэффициенты :         $a=16$       $b=0$         $c=-25$    минус!

$-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$            коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$      $b=-\frac{2}{3}$   минус!        $c=0$

Внимание:       если дано нестандартное уравнение, чтобы не ошибиться в определении коэффициентов,
                           сначала перепишите его в стандартном виде :

$7-15x+22x^2=0$

$49-36x^2=0$

$\Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow $

$22x^2-15x+7=0$

$-36x^2+49=0$

$\Rightarrow $

$\Rightarrow $

$a=22$    ;      $b=-15$   ;     $c=7$

$a=-36$    ;     $b=0$     ;      $c=49$



Формула решения канонического квадратного уравнения. Дискриминант

Канонический вид квадратного уравнения          $ax^2+bx+c=0$      ,   а числа на местах     $a$, $b$, $c$ - коэффициенты уравнения. Формула, составленная из трех коэффициентов уравнения              $D=b^2-4ac$         называется    Дискриминант .
Дискриминант помогает ответить на вопрос    "Есть ли у данного уравнения корни ?"     и решить его.      

Если:
1)    $D > 0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет два корня .
2)    $D=0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет    один корень .
3)    $D < 0$ -    нет, при отрицательном дискриминанте        нет корней     и решать уравнение не стоит!

                       Формулы нахождения корней канонического квадратного уравнения:         

Если      $D>0$    ,    два корня
1) "+" корень    $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;
2) "-" корень    $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .
Если      $D=0$ ,      один корень
$x=\frac{-b+0}{2\cdot a}=-\frac{b}{2a}$

Пример 1        $x^2-3x-4=0$

  • Определяем коэффициенты уравнения:    $a=1$   ,   $b=-3$    ,   $c=-4$
  • Найдем Дискриминант    и выясним есть ли   корни у этого уравнения.
  • Внимание!       Чтобы не ошибиться при подстановке отрицательного коэффициента в формулу, лучше заключить его в скобки:
  • $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$
  • Т.к.    $D=25 > 0$ ,     значит уравнение имеет два корня ,
  • найдем корни по формулам :       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$      и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$
  •    Ответ:             $x=4$   ;     $x=-1$

Не всегда при извлечении корня из Дискриминанта получается целое число. В этом случае, решением уравнения будет дробное выражение с радикалом. Посмотрите внимательно, можно ли упростить полученное выражение ? Ответ должен быть всегда в сокращенном виде.

Пример 2:         $7x^2-2x-7=0$

  • Определяем коэффициенты уравнения:    $a=7$   ,   $b=-2$    ,   $c=-7$
  • $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$           Т.к.    $D=200 > 0$ , значит уравнение имеет два корня :
  • Внимание!     Окончательный ответ нужно давать всегда в сокращенном виде.
  • 1) $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$        в таком виде корень оставлять нельзя, т.к. дробь еще можно сократить:
  • из-под корня можно вынести множитель 10, после возможно сокращение: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$;
  • 2)   $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$                             Ответ:             $x=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ ;     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$

Интерактивная Доска

Упражнения:

Послесловие

Если скорость Ваших исполнений низкая, часто допускаете ошибки, пройдите Тест-упражнение несколько раз,

для этого откройте Тест-Упражнение через "Решать заново":
Наведите курсор на это упражнение и выберите этот пункт меню .
Тест-Упражнение откроется с новыми аналогичными примерами и вы получите "новое" задание.