Одночлен - состоит из произведения чисел, переменных и степеней.
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. "алгебраическая ... означает и "+" и "-".
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый
его одночлен представить в стандартном виде и привести подобные члены.
Степень многочлена стандартного вида - наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественного многочлена стандартного вида.
Группирование многочленов, приведение подобных
Группирование: подобные слагаемые переставляются местами и объединяються в группы по схожести.
Пример 1: Группировать, привести подобные $-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14$
переставим слагаемые так, чтоб соседями оказались: числа с числами, линейные с линейными, квадраты с квадратами:
$-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=$ $\left(13x^2-5x^2\right)+\left(5x-19x\right)+\left(14-10\right)$
Пример 2: Группировать, привести подобные $-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13$
$-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=\left(10x^2-6x^2\right)-\left(15x+12x\right)-\left(7+13\right)$
- Внимание на знаки! знак минус перед скобкой меняет знаки на противоположные у всех слагаемых внутри скобки!
- Приведение подобных - это их сложение / вычитание. Чтобы сложить / вычесть подобные надо сложить / вычесть их
- коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Суть приведения подобных - упрощение выражения.
Пример 3: Группировать, привести подобные $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$
Переставляем так, чтобы все подобные встали рядом: $=8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=$
объединим их в группы, заключим стоящие рядом в скобки; далее, приводить подобные, т.е складывать/вычитать:
$=\left(8y^2-2y^2\right)+\left(5y-6y\right)+\left(4-7\right)=6y^2-y-3$ ... упростилось: стало короче и проще. Но по сути тем же.
Приведение многочлена к стандартному виду
Алгоритм: Привести многочлен к стандартному виду значит привести к стандартному
виду все одночлены, входящие в его состав. После этого, если есть подобные одночлены –
– а это одночлены с одинаковой буквенной частью – выполнить действия с ними.
Пример 4: Привести к стандартному виду $P=3xy^3\cdot2x^3y-4x-8x+5y^2-\frac{1}{2}x^3y\cdot4x-3y^2$
чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены
$3xy^3\cdot2x^3y-4x-8x+5y^2-\frac{1}{2}x^3y\cdot4x-3y^2=6x^4y^4-4x-8x+5y^2-2x^4y-3y^2=6x^4y^4-12x+2y^2-2x^4y$
Пример 5: Привести к стандартному виду $3a\cdot 2ab^2-5a^4\cdot 3a-5a^5+2b^3+7a^2b^2-4ab\cdot 2b^2$
первое действие – приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести 1-ый, 2-ой и 6-ой; далее
приводим подобные члены, 1-ый складываем с 5-ым, 2-ой с 3-им, остальные переписываем без изменений,
так как у них нет подобных:
$3a\cdot2ab^2-5a^4\cdot3a-5a^5+2b^3+7a^2b^2-4ab\cdot2b^2=6a^2b^2-15a^5-5a^5+2b^3+7a^2b^2-8ab^{^3}=$$=13a^2b^2-20a^5+2b^3-8ab^3$
Пример 6: Привести многочлен $P=3z^3+4z^2+9z+5z-3z^3-2z^2-2z^2$ к стандартному
группируем подобные $P=3z^3+4z^2+9z+5z-3z^3-2z^2-2z^2=3z^3-3z^3+4z^2-2z^2-2z^2+9z+5z=14z$
$14z=1$ $\Rightarrow$ $z=\frac{1}{14}$ Ответ: одночлен равен единице при $z=\frac{1}{14}$ .
Упражнения, примеры: