Приведение подобных одночленов. Группирование многочленов

Учебник
Алгебра, 7 класс

Одночлены в точности с   одинаковой   буквенной   частью   называются   подобными: .

У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые.      "2 мешка, 5 мешков".

В выражении $12x+x^2y^3-6x^3y-3x^2y^3$ второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную   часть     $x^2y^3$. Подобные!

Подобные   одночлены:      1)   $3x$   и   $2x$;           2)   $5xy^3z$   и   $-3xzy^3$;         3)   $7ab^3$   и   $ab^3$.    3)   $-4x^2$   и   $6x^2$.

Вывод:     такие одночлены   можно складывать   и   вычитать: " - 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х".

Подобные складываются меж собой.    А неподобные     нет!     Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. " Персики с персиками, груши с грушами".

Неподобные одночлены:    1)   $3x$   и   $2x^3$;         2)   $5xy^3z$   и   $-3x^2zy^3$;         3)   $7a^3b^3$   и   $ab^3$     -    буквенные   части   отличаются степенями   переменной или буквами.

Сложение,   вычитание   подобных   одночленов.

Правило   сложения   подобных   одночленов:         при сложении подобных ... необходимо   сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков,   а   буквенную   часть   дописать как   у   исходных   слагаемых.

Пример 1:       Выполнить сложение одночленов

1)        $3ab^3+5ab^3=8ab^3$;

2)        $5x^3y^2+9x^3y^2=14x^3y^2$;          

3)     $\frac{1}{2}ab^2+\frac{1}{2}ab^2=ab^2$      т.к.     $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Правило   вычитания   подобных   одночленов:

буквенную   часть   оставляем   без   изменений,   коэффициенты   надо   вычесть в   "правильном"   порядке.

Правило   группирования   подобных   одночленов:    - переставляем подобные рядом с друг другом.

Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб "похожие оказались вместе".

Группируем по схожести:    все персики рядом;    все груши рядом с друг другом;    все   $x^2$ рядом;     все "голые" числа рядом.

Пример 2:         Выполнить вычитание одночленов

1)   $5x^3y^3z^2-9x^3y^3z^2=\left(5-9\right)x^3y^3z^2=-4x^3y^3z^2$;

2)   $2ab^2c-7ab^2c=\left(2-7\right)ab^2c=-5ab^2c$;

3)   $19yz^5-13yz^5=\left(19-13\right)yz^5=6yz^5$;                                    

4)   $4xyz^3+3xyz^3-2xyz^3=\left(4+3-2\right)xyz^3=5xyz^3$

Пример 3:         Упростить выражение           $5xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)$

Первый   одночлен   записан   в   стандартном   виде,   второй   и   третий   нет!   значит,   выполняем   приведение.

Приведем к стандартному    виду   2-ой   одночлен:      $3y\cdot0,5xy=3\cdot0,5\cdot x\cdot y^{1+1}=1,5xy^2$ .

приведем к стандартному виду 3-ий   одночлен:     $7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=7\cdot2\cdot\left(-0,5\right)\cdot x\cdot y^{1+1}=-7xy^2$

перепишем    исходное     выражение   с   учетом выполненных преобразований,   получим:

$5xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=5xy^2-1,5xy^2-7xy^2$      мы   видим одинаковые   буквенные   части.

Значит,   они   подобны и   мы   имеем   право   их складывать   и   вычитать. С учетом коэффициентов.

Выполним   необходимые   действия:   $5xy^2-1,5xy^2-7xy^2=(5-1.5-7)xy^2=-3,5xy^2$

Пример 4:         Выполнить сложение        $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b$

cгруппируем подобные   одночлены:     $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b=a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3$,

выполним   сложение   подобных:     $a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3=4a^3b+5ab^3$,    "персики отдельно, груши отдельно":

Взгляд:    $a^3b$    назовем персиками,   $ab^3$ - грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.

Пример 5:         Среди    одночленов      $5x^2y$;       $9x^2y$;      $15xy^2$;      $x^2y$           найти   подобные, сложить   их.

Очевидно,   что в точности одинаковую   буквенную   часть    имеют   первый,   второй   и   последний   одночлены.

выполним их сложение:     $5x^2y+9x^2y+x^2y=\left(5+9+1\right)x^2y=15x^2y$;         фактически - складываем коэффициенты!

Пример 6:         Упростить выражение      $\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a$

установим, подобные   ли   одночлены;    приведем   их   к   стандартному    виду:     $\frac{1}{3}ab^2a=\frac{1}{3}a^{1+1}b^2=\frac{1}{3}a^2b^2$;

$\frac{1}{2}abba=\frac{1}{2}a^{1+1}b^{1+1}=\frac{1}{2}a^2b^2$;      $\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{6}a^{1+1}b^2=\frac{1}{6}a^2b^2$;     теперь,   перепишем   заданное   выражение:

$\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2$;      чтоб   сложить   дроби,   надо   привести   их   к   общему

знаменателю и только потом складывать.      $\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)a^2b^2=\frac{2+3+1}{6}a^2b^2=a^2b^2$;           

похоже на сложение дробей:      $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}=x$        , если     $a^2b^2$    вообразить как одну букву   $x$. Или, "персик".

Пример 7:         Упростить выражение             $\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx$

$\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx=\frac{1}{2}x^2yz-\frac{1}{5}x^2yz-\frac{1}{10}x^2yz=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)x^2yz=\frac{5-2-1}{10}x^2yz=\frac{2}{10}x^2yz=\frac{1}{5}x^2yz$

в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!

Группирование   многочленов,   приведение   подобных

Многочлен    -   это    алгебраическая   сумма     одночленов.       "алгебраическая ... означает и "+" и "-".

Группирование:    подобные   слагаемые   в   выражениии   можно   переставлять   местами   и   объединять   в   группы.

Пример 8:                  Группировать,   привести   подобные                 $-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14$

переставим    слагаемые, подобные рядом:     квадраты   с   квадратами,   линейные   с   линейными,   числа   с   числами:

$-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=$    затем   для   наглядности     заключим их   в   скобки

$\left(13x^2-5x^2\right)+\left(5x-19x\right)+\left(14-10\right)=8x^2-14x-4$,           мы провели   операцию   приведения   подобных.

Пример 9:                  Группировать,   привести   подобные                  $-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13$

$-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=\left(10x^2-6x^2\right)-\left(15x+12x\right)-\left(7+13\right)$

Внимание на знаки!     если   перед   скобкой   поставить   минус,   внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!

Приведение   подобных     -   это   их сложение / вычитание.   Чтобы   сложить / вычесть   подобные   надо сложить / вычесть   их

коэффициенты и   результат   умножить   на   общую   буквенную   часть.   Суть   приведения   подобных   - упрощение     выражения.

Пример 10:                  Группировать,   привести   подобные         $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$

в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом:      $=8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=$

$=\left(8y^2-2y^2\right)+\left(5y-6y\right)+\left(4-7\right)=6y^2-y-3$    объединим   их   в   группы,   для   наглядности   заключим   стоящие

рядом   в   скобки;   после   можно приводить   подобные,    т.е   складывать/вычитать:   квадраты   отдельно,   линейные

отдельно,   числа отдельно.   итак,   исходное выражение      $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$      стало равным      $6y^2-y-3$

оно   упростилось:   стало   короче   и   проще,   но   по   сути   не   изменилось,   стало   тождественным   исходному.   

Интерактивная Доска:

Упражнения, примеры