Одночлены в точности с одинаковой буквенной частью называются подобными: .
У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые. "2 мешка, 5 мешков".
В выражении 12x+x2y3−6x3y−3x2y3 второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную часть x2y3. Подобные!
Подобные одночлены: 1) 3x и 2x; 2) 5xy3z и −3xzy3; 3) 7ab3 и ab3. 3) −4x2 и 6x2.
Вывод: такие одночлены можно складывать и вычитать: " - 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х".
Подобные складываются меж собой. А неподобные нет! Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. " Персики с персиками, груши с грушами".
Неподобные одночлены: 1) 3x и 2x3; 2) 5xy3z и −3x2zy3; 3) 7a3b3 и ab3 - буквенные части отличаются степенями переменной или буквами.
Сложение, вычитание подобных одночленов.
Правило сложения подобных одночленов: при сложении подобных ... необходимо сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков, а буквенную часть дописать как у исходных слагаемых.
Пример 1: Выполнить сложение одночленов
1)
3ab3+5ab3=8ab3;
2) 5x3y2+9x3y2=14x3y2;
3) 21ab2+21ab2=ab2 т.к. 21+21=1.
Правило вычитания подобных одночленов:
буквенную часть оставляем без изменений, коэффициенты надо вычесть в "правильном" порядке.
Правило группирования подобных одночленов: - переставляем подобные рядом с друг другом.
Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб "похожие оказались вместе".
Группируем по схожести: все персики рядом; все груши рядом с друг другом; все x2 рядом; все "голые" числа рядом.
Пример 2: Выполнить вычитание одночленов
1)
5x3y3z2−9x3y3z2=(5−9)x3y3z2=−4x3y3z2;
2) 2ab2c−7ab2c=(2−7)ab2c=−5ab2c;
3) 19yz5−13yz5=(19−13)yz5=6yz5;
4) 4xyz3+3xyz3−2xyz3=(4+3−2)xyz3=5xyz3
Пример 3: Упростить выражение 5xy2−3y⋅0,5xy+7x⋅2y⋅(−0,5y)
Первый одночлен записан в стандартном виде, второй и третий нет! значит, выполняем приведение.
Приведем к стандартному виду 2-ой одночлен: 3y⋅0,5xy=3⋅0,5⋅x⋅y1+1=1,5xy2 .
приведем к стандартному виду 3-ий одночлен: 7x⋅2y⋅(−0,5y)=7⋅2⋅(−0,5)⋅x⋅y1+1=−7xy2
перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований, получим:
5xy2−3y⋅0,5xy+7x⋅2y⋅(−0,5y)=5xy2−1,5xy2−7xy2 мы видим одинаковые буквенные части.
Значит, они подобны и мы имеем право их складывать и вычитать. С учетом коэффициентов.
Выполним необходимые действия: 5xy2−1,5xy2−7xy2=(5−1.5−7)xy2=−3,5xy2
Пример 4: Выполнить сложение a3b+ab3+a3b+ab3+3ab3+2a3b
cгруппируем подобные одночлены: a3b+ab3+a3b+ab3+3ab3+2a3b=a3b+a3b+2a3b+ab3+ab3+3ab3,
выполним сложение подобных: a3b+a3b+2a3b+ab3+ab3+3ab3=4a3b+5ab3, "персики отдельно, груши отдельно":
Взгляд: a3b назовем персиками, ab3 - грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.
Пример 5: Среди одночленов 5x2y; 9x2y; 15xy2; x2y найти подобные, сложить их.
Очевидно, что в точности одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены.
выполним их сложение: 5x2y+9x2y+x2y=(5+9+1)x2y=15x2y; фактически - складываем коэффициенты!
Пример 6: Упростить выражение 31ab2a+21abba+61ab2a
установим, подобные ли одночлены; приведем их к стандартному виду: 31ab2a=31a1+1b2=31a2b2;
21abba=21a1+1b1+1=21a2b2; 61ab2a=61a1+1b2=61a2b2; теперь, перепишем заданное выражение:
31ab2a+21abba+61ab2a=31a2b2+21a2b2+61a2b2; чтоб сложить дроби, надо привести их к общему
знаменателю и только потом складывать. 31a2b2+21a2b2+61a2b2=(31+21+61)a2b2=62+3+1a2b2=a2b2;
похоже на сложение дробей: 3x+2x+6x=x , если a2b2 вообразить как одну букву x. Или, "персик".
Пример 7: Упростить выражение 21xyzx+51y(−x)zx−101xzyx
21xyzx+51y(−x)zx−101xzyx=21x2yz−51x2yz−101x2yz=(21−51−101)x2yz=105−2−1x2yz=102x2yz=51x2yz
в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!
Группирование многочленов, приведение подобных
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. "алгебраическая ... означает и "+" и "-".
Группирование: подобные слагаемые в выражениии можно переставлять местами и объединять в группы.
Пример 8: Группировать, привести подобные −10+13x2+5x−5x2−19x+14
переставим слагаемые, подобные рядом: квадраты с квадратами, линейные с линейными, числа с числами:
−10+13x2+5x−5x2−19x+14=13x2−5x2+5x−19x+14−10= затем для наглядности заключим их в скобки
(13x2−5x2)+(5x−19x)+(14−10)=8x2−14x−4, мы провели операцию приведения подобных.
Пример 9: Группировать, привести подобные −7+10x2−15x−6x2−12x−13
−7+10x2−15x−6x2−12x−13=10x2−6x2−15x−12x−7−13=(10x2−6x2)−(15x+12x)−(7+13)
Внимание на знаки! если перед скобкой поставить минус, внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!
Приведение подобных - это их сложение / вычитание. Чтобы сложить / вычесть подобные надо сложить / вычесть их
коэффициенты и
результат
умножить
на
общую
буквенную
часть.
Суть
приведения
подобных
-
упрощение выражения.
Пример 10: Группировать, привести подобные −7+8y2+5y−2y2−6y+4
в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом: =8y2−2y2+5y−6y+4−7=
=(8y2−2y2)+(5y−6y)+(4−7)=6y2−y−3 объединим их в группы, для наглядности заключим стоящие
рядом в скобки; после можно приводить подобные, т.е складывать/вычитать: квадраты отдельно, линейные
отдельно, числа отдельно. итак, исходное выражение −7+8y2+5y−2y2−6y+4 стало равным 6y2−y−3
оно упростилось: стало короче и проще, но по сути не изменилось, стало тождественным исходному.
Интерактивная Доска:
ЛИСТ: Напиши "свои" примеры на вычисления, формулы, упрощения, преобразования. Припиши = и решай их
Упражнения:
Группирование, приведение подобных
Приведите, сложите подобные одночлены
Приведите подобные члены многочлена. V(4*2): 10x−8xy−3xy ; 251xy8zx6z9+57x4y7zxyzx2z8−509x5y7z9xzxy−102x5y7z9zyx2
Введение в тему: Вычисление выражений при заданных значениях. Припиши: какие выражения тождественны?