Приведение подобных одночленов. Группирование многочленов

Учебник
Алгебра, 7 класс

Одночлены в точности с   одинаковой   буквенной   частью   называются   подобными: .

У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые.      "2 мешка, 5 мешков".

В выражении 12x+x2y36x3y3x2y312x+x^2y^3-6x^3y-3x^2y^3 второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную   часть     x2y3x^2y^3. Подобные!

Подобные   одночлены:      1)   3x3x   и   2x2x;           2)   5xy3z5xy^3z   и   3xzy3-3xzy^3;         3)   7ab37ab^3   и   ab3ab^3.    3)   4x2-4x^2   и   6x26x^2.

Вывод:     такие одночлены   можно складывать   и   вычитать: " - 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х".

Подобные складываются меж собой.    А неподобные     нет!     Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. " Персики с персиками, груши с грушами".

Неподобные одночлены:    1)   3x3x   и   2x32x^3;         2)   5xy3z5xy^3z   и   3x2zy3-3x^2zy^3;         3)   7a3b37a^3b^3   и   ab3ab^3     -    буквенные   части   отличаются степенями   переменной или буквами.

Сложение,   вычитание   подобных   одночленов.

Правило   сложения   подобных   одночленов:         при сложении подобных ... необходимо   сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков,   а   буквенную   часть   дописать как   у   исходных   слагаемых.

Пример 1:       Выполнить сложение одночленов

1)        3ab3+5ab3=8ab33ab^3+5ab^3=8ab^3;

2)        5x3y2+9x3y2=14x3y25x^3y^2+9x^3y^2=14x^3y^2;          

3)     12ab2+12ab2=ab2\frac{1}{2}ab^2+\frac{1}{2}ab^2=ab^2      т.к.     12+12=1\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.

Правило   вычитания   подобных   одночленов:

буквенную   часть   оставляем   без   изменений,   коэффициенты   надо   вычесть в   "правильном"   порядке.

Правило   группирования   подобных   одночленов:    - переставляем подобные рядом с друг другом.

Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб "похожие оказались вместе".

Группируем по схожести:    все персики рядом;    все груши рядом с друг другом;    все   x2x^2 рядом;     все "голые" числа рядом.

Пример 2:         Выполнить вычитание одночленов

1)   5x3y3z29x3y3z2=(59)x3y3z2=4x3y3z25x^3y^3z^2-9x^3y^3z^2=\left(5-9\right)x^3y^3z^2=-4x^3y^3z^2;

2)   2ab2c7ab2c=(27)ab2c=5ab2c2ab^2c-7ab^2c=\left(2-7\right)ab^2c=-5ab^2c;

3)   19yz513yz5=(1913)yz5=6yz519yz^5-13yz^5=\left(19-13\right)yz^5=6yz^5;                                    

4)   4xyz3+3xyz32xyz3=(4+32)xyz3=5xyz34xyz^3+3xyz^3-2xyz^3=\left(4+3-2\right)xyz^3=5xyz^3

Пример 3:         Упростить выражение           5xy23y0,5xy+7x2y(0,5y)5xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)

Первый   одночлен   записан   в   стандартном   виде,   второй   и   третий   нет!   значит,   выполняем   приведение.

Приведем к стандартному    виду   2-ой   одночлен:      3y0,5xy=30,5xy1+1=1,5xy23y\cdot0,5xy=3\cdot0,5\cdot x\cdot y^{1+1}=1,5xy^2 .

приведем к стандартному виду 3-ий   одночлен:     7x2y(0,5y)=72(0,5)xy1+1=7xy27x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=7\cdot2\cdot\left(-0,5\right)\cdot x\cdot y^{1+1}=-7xy^2

перепишем    исходное     выражение   с   учетом выполненных преобразований,   получим:

5xy23y0,5xy+7x2y(0,5y)=5xy21,5xy27xy25xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=5xy^2-1,5xy^2-7xy^2      мы   видим одинаковые   буквенные   части.

Значит,   они   подобны и   мы   имеем   право   их складывать   и   вычитать. С учетом коэффициентов.

Выполним   необходимые   действия:   5xy21,5xy27xy2=(51.57)xy2=3,5xy25xy^2-1,5xy^2-7xy^2=(5-1.5-7)xy^2=-3,5xy^2

Пример 4:         Выполнить сложение        a3b+ab3+a3b+ab3+3ab3+2a3ba^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b

cгруппируем подобные   одночлены:     a3b+ab3+a3b+ab3+3ab3+2a3b=a3b+a3b+2a3b+ab3+ab3+3ab3a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b=a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3,

выполним   сложение   подобных:     a3b+a3b+2a3b+ab3+ab3+3ab3=4a3b+5ab3a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3=4a^3b+5ab^3,    "персики отдельно, груши отдельно":

Взгляд:    a3ba^3b    назовем персиками,   ab3ab^3 - грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.

Пример 5:         Среди    одночленов      5x2y5x^2y;       9x2y9x^2y;      15xy215xy^2;      x2yx^2y           найти   подобные, сложить   их.

Очевидно,   что в точности одинаковую   буквенную   часть    имеют   первый,   второй   и   последний   одночлены.

выполним их сложение:     5x2y+9x2y+x2y=(5+9+1)x2y=15x2y5x^2y+9x^2y+x^2y=\left(5+9+1\right)x^2y=15x^2y;         фактически - складываем коэффициенты!

Пример 6:         Упростить выражение      13ab2a+12abba+16ab2a\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a

установим, подобные   ли   одночлены;    приведем   их   к   стандартному    виду:     13ab2a=13a1+1b2=13a2b2\frac{1}{3}ab^2a=\frac{1}{3}a^{1+1}b^2=\frac{1}{3}a^2b^2;

12abba=12a1+1b1+1=12a2b2\frac{1}{2}abba=\frac{1}{2}a^{1+1}b^{1+1}=\frac{1}{2}a^2b^2;      16ab2a=16a1+1b2=16a2b2\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{6}a^{1+1}b^2=\frac{1}{6}a^2b^2;     теперь,   перепишем   заданное   выражение:

13ab2a+12abba+16ab2a=13a2b2+12a2b2+16a2b2\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2;      чтоб   сложить   дроби,   надо   привести   их   к   общему

знаменателю и только потом складывать.      13a2b2+12a2b2+16a2b2=(13+12+16)a2b2=2+3+16a2b2=a2b2\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)a^2b^2=\frac{2+3+1}{6}a^2b^2=a^2b^2;           

похоже на сложение дробей:      x3+x2+x6=x\frac{x}{3}+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}=x        , если     a2b2a^2b^2    вообразить как одну букву   xx. Или, "персик".

Пример 7:         Упростить выражение             12xyzx+15y(x)zx110xzyx\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx

12xyzx+15y(x)zx110xzyx=12x2yz15x2yz110x2yz=(1215110)x2yz=52110x2yz=210x2yz=15x2yz\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx=\frac{1}{2}x^2yz-\frac{1}{5}x^2yz-\frac{1}{10}x^2yz=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)x^2yz=\frac{5-2-1}{10}x^2yz=\frac{2}{10}x^2yz=\frac{1}{5}x^2yz

в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!

Группирование   многочленов,   приведение   подобных

Многочлен    -   это    алгебраическая   сумма     одночленов.       "алгебраическая ... означает и "+" и "-".

Группирование:    подобные   слагаемые   в   выражениии   можно   переставлять   местами   и   объединять   в   группы.

Пример 8:                  Группировать,   привести   подобные                 10+13x2+5x5x219x+14-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14

переставим    слагаемые, подобные рядом:     квадраты   с   квадратами,   линейные   с   линейными,   числа   с   числами:

10+13x2+5x5x219x+14=13x25x2+5x19x+1410=-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=    затем   для   наглядности     заключим их   в   скобки

(13x25x2)+(5x19x)+(1410)=8x214x4\left(13x^2-5x^2\right)+\left(5x-19x\right)+\left(14-10\right)=8x^2-14x-4,           мы провели   операцию   приведения   подобных.

Пример 9:                  Группировать,   привести   подобные                  7+10x215x6x212x13-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13

7+10x215x6x212x13=10x26x215x12x713=(10x26x2)(15x+12x)(7+13)-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=\left(10x^2-6x^2\right)-\left(15x+12x\right)-\left(7+13\right)

Внимание на знаки!     если   перед   скобкой   поставить   минус,   внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!

Приведение   подобных     -   это   их сложение / вычитание.   Чтобы   сложить / вычесть   подобные   надо сложить / вычесть   их

коэффициенты и   результат   умножить   на   общую   буквенную   часть.   Суть   приведения   подобных   - упрощение     выражения.

Пример 10:                  Группировать,   привести   подобные         7+8y2+5y2y26y+4-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4

в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом:      =8y22y2+5y6y+47==8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=

=(8y22y2)+(5y6y)+(47)=6y2y3=\left(8y^2-2y^2\right)+\left(5y-6y\right)+\left(4-7\right)=6y^2-y-3    объединим   их   в   группы,   для   наглядности   заключим   стоящие

рядом   в   скобки;   после   можно приводить   подобные,    т.е   складывать/вычитать:   квадраты   отдельно,   линейные

отдельно,   числа отдельно.   итак,   исходное выражение      7+8y2+5y2y26y+4-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4      стало равным      6y2y36y^2-y-3

оно   упростилось:   стало   короче   и   проще,   но   по   сути   не   изменилось,   стало   тождественным   исходному.   

Интерактивная Доска:

ЛИСТ: Напиши "свои" примеры на вычисления, формулы, упрощения, преобразования. Припиши = и решай их

Упражнения:

Группирование, приведение подобных

Приведите, сложите подобные одночлены

Приведите подобные члены многочлена. V(4*2): 10x8xy3xy10x-8xy-3xy ; 125xy8zx6z9+75x4y7zxyzx2z8950x5y7z9xzxy210x5y7z9zyx2\frac{1}{25}xy^8zx^6z^9+\frac{7}{5}x^4y^7zxyzx^2z^8-\frac{9}{50}x^5y^7z^9xzxy-\frac{2}{10}x^5y^7z^9zyx^2

Введение в тему: Вычисление выражений при заданных значениях. Припиши: какие выражения тождественны?