Учебник
Алгебра, 7 класс

Уравнением     называется равенство двух частей, содержащее неизвестную букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, которое выравнивает обе части , называют корнем    или   решением уравнения.

  • Иногда говорят "решение уравнения" - имея в виду процесс, шаги для нахождения корня уравнения. "Решать - работать".
  • Без знака = нет уравнения! Без неизвестной буквы нет уравнения!
  • Слева от знака = находится выражение - "левая часть уравнения".      Справа? угадай как оно называется.
  • Все, что надо сделать с уравнением - найти его корень. Т.е. то что его уравняет - сравняет - превратит в верное = !

Уравнение вида $ax=b$ , где $a$ и $b$ - числа, $x$ - переменная , называют линейным уравнением .

  • линейное уравнение $ax=b$         $\Rightarrow$     kорень этого уравнения       $x=\frac{b}{a}$.

Что значит решить уравнение?

Это значит найти число, которое при подстановке вместо буквы уравняет обе части, т.е. превратит уравнение в верное числовое равенство.

Пример 1         решить простейшее линейное уравнение $2x=10$        

  • Чему же равен $x$ ? Какое число на месте $x$    уравняет обе части уравнения?
  • $\frac{2x}{2}=\frac{10}{2}$            поделим обе части на $2$; чтобы x остался без коэффициента:
  • $x=5$             после сокращения дробей в обеих частях, получаем чему равен $x$.
  • Проверка:     подставим найденное число   $5$ в уравнение, т.е напишем его вместо неизвестного $x$ :     $2\cdot5=10$       $10=10$
  • Найденное число выравнивает левую и правую части, значит является корнем уравнения.        Ответ:        $x=5$

Пример 2             решить линейное уравнение         $12x+5=-7x+9$       

  • $12x+5-5=-7x+9-5$                 хотим избавиться в левой части от числа   $-5$ : добавим такое же к обеим частям;    
  • $12x=-7x+9-5$                              в левой части число исчезло, а в правой оно появилось, но с противоположным знаком
  • так мы провели операцию переноса числа из одной части в другую ;
  • $12x=-7x+4$                          немного укоротим    наше уравнение : произведем вычисление в правой части ;
  • $12x+7x=-7x+4+7x$                  планируем избавиться от неизвестного в правой части: добавим по $7x$ к обеим частям;         
  • $12x+7x=4$                справа   $-7x$ исчезло, но   "появилось" слева со знаком "+ ": это и есть перенос из одной части в другую;                  
  • $x\cdot\left(12+7\right)=4$                                    в левой части вынесем общий множитель $x$   за скобки ;
  • $19x=4$                                                вычислим значение скобки;
  • $\frac{19x}{19}=\frac{4}{19}$                             чтобы избавиться от коэффициента при   $x$ разделим обе части на   $19$ ;
  • $x=\frac{4}{19}$                             сократим дробь слева, так найдем чему равно неизвестное уравнения.       Ответ:      $x=\frac{4}{19}$ .

Aлгоритм решения линейного уравнения:      шаг за шагом от исходного уравнения ....

  1. переходим к равносильному (с тем же корнем), доходим до конечного вида "неизвестное = число";

  2. корни уравнения не меняются, если перенести любое слагаемое   из одной части в другую с противоположным знаком.

  3. корни уравнения не меняются, если обе части умножить или разделить    на одно и то же отличное от нуля число.

   Замечание: Если вы успешно освоили операцию   переноса слагаемых и формулу   корня простейшего линейного       $x=\frac{b}{a}$,   можно писать решение короче. Например,   тот же пример 2 можно решить всего   в три шага:

Пример 2, краткое решение:        уравнение     $12x+5=-7x+9$     

  • $12x+7x=9-5$                     1)   соберем неизвестные в одной стороне, числа - в другой;
  • $19x=4$                                    2)   приведем подобные слагаемые в обеих частях;
  • $x=\frac{4}{19}$                          3)   избавимся от коэффициента при   x и найдем корень уравнения.    Ответ: $x=\frac{4}{19}$

Пример 3        линейное уравнение со скобками            $7\left(x-3\right)=2x-5\left(x-4\right)-1$

  • $7x-36=2x-5x+20-1$           раскроем скобки;
  • $7x-2x+5x=36+20-1$          перенесем все неизвестные в левую часть, а числа - в правую;   
  • $10x=55$                                          приведем подобные члены по обеим частям;
  • $x=\frac{55}{10}$        разделим обе стороны на   $10$ , чтобы освободить   $x$    от коэффициента - это действие еще называется "перенос множителя" ;
  •    Ответ:      $x=5,5$

переносить можно и слагаемые, и коэффициенты-множители

слагаемые неизвестные и числа переносятся на другую сторону с противоположным знаком;

множители переносятся на другую сторону делением, делители переносятся умножением.

Интерактивная Доска:

Упражнения: