Уравнением называется равенство двух частей, содержащее неизвестную букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, которое выравнивает обе части , называют корнем или решением уравнения.
- Иногда говорят "решение уравнения" - имея в виду процесс, шаги для нахождения корня уравнения. "Решать - работать".
- Без знака = нет уравнения! Без неизвестной буквы нет уравнения!
- Слева от знака = находится выражение - "левая часть уравнения". Справа? угадай как оно называется.
- Все, что надо сделать с уравнением - найти его корень. Т.е. то что его уравняет - сравняет - превратит в верное = !
Уравнение вида $ax=b$ , где $a$ и $b$ - числа, $x$ - переменная , называют линейным уравнением .
- линейное уравнение $ax=b$ $\Rightarrow$ kорень этого уравнения $x=\frac{b}{a}$.
Что значит решить уравнение?
Это значит найти число, которое при подстановке вместо буквы уравняет обе части, т.е. превратит уравнение в верное числовое равенство.
Пример 1 решить простейшее линейное уравнение $2x=10$
- Чему же равен $x$ ? Какое число на месте $x$ уравняет обе части уравнения?
- $\frac{2x}{2}=\frac{10}{2}$ поделим обе части на $2$; чтобы x остался без коэффициента:
- $x=5$ после сокращения дробей в обеих частях, получаем чему равен $x$.
- Проверка: подставим найденное число $5$ в уравнение, т.е напишем его вместо неизвестного $x$ : $2\cdot5=10$ $10=10$
- Найденное число выравнивает левую и правую части, значит является корнем уравнения. Ответ: $x=5$
Пример 2 решить линейное уравнение $12x+5=-7x+9$
- $12x+5-5=-7x+9-5$ хотим избавиться в левой части от числа $-5$ : добавим такое же к обеим частям;
- $12x=-7x+9-5$ в левой части число исчезло, а в правой оно появилось, но с противоположным знаком
- так мы провели операцию переноса числа из одной части в другую ;
- $12x=-7x+4$ немного укоротим наше уравнение : произведем вычисление в правой части ;
- $12x+7x=-7x+4+7x$ планируем избавиться от неизвестного в правой части: добавим по $7x$ к обеим частям;
- $12x+7x=4$ справа $-7x$ исчезло, но "появилось" слева со знаком "+ ": это и есть перенос из одной части в другую;
- $x\cdot\left(12+7\right)=4$ в левой части вынесем общий множитель $x$ за скобки ;
- $19x=4$ вычислим значение скобки;
- $\frac{19x}{19}=\frac{4}{19}$ чтобы избавиться от коэффициента при $x$ разделим обе части на $19$ ;
- $x=\frac{4}{19}$ сократим дробь слева, так найдем чему равно неизвестное уравнения. Ответ: $x=\frac{4}{19}$ .
Aлгоритм решения линейного уравнения: шаг за шагом от исходного уравнения ....
-
переходим к равносильному (с тем же корнем), доходим до конечного вида "неизвестное = число";
-
корни уравнения не меняются, если перенести любое слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком.
-
корни уравнения не меняются, если обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Замечание: Если вы успешно освоили операцию переноса слагаемых и формулу корня простейшего линейного $x=\frac{b}{a}$, можно писать решение короче. Например, тот же пример 2 можно решить всего в три шага:
Пример 2, краткое решение: уравнение $12x+5=-7x+9$
- $12x+7x=9-5$ 1) соберем неизвестные в одной стороне, числа - в другой;
- $19x=4$ 2) приведем подобные слагаемые в обеих частях;
- $x=\frac{4}{19}$ 3) избавимся от коэффициента при x и найдем корень уравнения. Ответ: $x=\frac{4}{19}$
Пример 3 линейное уравнение со скобками $7\left(x-3\right)=2x-5\left(x-4\right)-1$
- $7x-36=2x-5x+20-1$ раскроем скобки;
- $7x-2x+5x=36+20-1$ перенесем все неизвестные в левую часть, а числа - в правую;
- $10x=55$ приведем подобные члены по обеим частям;
- $x=\frac{55}{10}$ разделим обе стороны на $10$ , чтобы освободить $x$ от коэффициента - это действие еще называется "перенос множителя" ;
- Ответ: $x=5,5$
переносить можно и слагаемые, и коэффициенты-множители
слагаемые неизвестные и числа переносятся на другую сторону с противоположным знаком;
множители переносятся на другую сторону делением, делители переносятся умножением.
Интерактивная Доска:
Упражнения: