Учебник
Алгебра, 7 класс

Алгебраические выражения : числа, переменные, операции

Алгебраическое выражение     состоит из чисел, букв - переменных, скобок и действий: сложения, вычитания, умножения, деления, знак дроби, возведения в степень.

Суть    "алгебраического выражения"     - задать    правило ,    по которому при заданных числовых значениях входящих букв можно    вычислить числовое значение     этого выражения.

  • Внимание: в алгебраическом выражении не может быть знака "=" или любого знака сравнения.

За алгебраическим выражением "прячется"    бесконечное количество всевозможных чисел, значений которые получаются при замене букв на конкретные числовые значения.   Мешок числовых значений.

Пример 1:        Вычислить выражения      $y^2-8y+7$    и     $\left(y-7\right)\left(y-1\right)$      при разных значениях $y$

Для вычисления значений выражения    надо подставить число вместо переменной и произвести вычисления. Полученный результат называется    значением выражения с переменной    при заданных числовых значениях этих переменных.

Алгоритм вычисления выражений:

  • в начале строки напишем при каких значениях букв собираемся вычислять   ...     $a=5$     $b=-6$
  • В форму выражения подставим вместо буквы её число ... тупо вынимаем букву и вставляем число.
  • далее производим действия: умножения и деления чисел производятся раньше сложений и вычитаний.

  • Скобку надо вычислить?      вычисляй её содержимое. Скобка - это мешок для числа.

  • При возведении в квадрат, куб нужна внимательность. Что именно возводится и что получается.

$y=3$          $y^2-8y+5=3^2-8\cdot3+7=9-24+7=-8$                     числовое значение   $-8$

$y=3$            $\left(y-7\right)\left(y-1\right)=\left(3-7\right)\left(3-1\right)=-8$

$y=-3$          $y^2-8y+5=(-3)^2-8\cdot (-3)+7=9+24+7=40$                 числовое значение   $40$

$y=-3$           $\left(y-7\right)\left(y-1\right)=\left(-3-7\right)\left(-3-1\right)=40$

$y=\frac{2}{3}$        $y^2-8y+5=\left(\frac{2}{3}\right)^2-8\cdot \left(\frac{2}{3}\right)+7=\frac{4}{9}-\frac{16}{3}+7=\frac{4-48+63}{9}=\frac{19}{9}$

$y=\frac{2}{3}$            $\left(y-7\right)\left(y-1\right)=\left(\frac{2}{3}-7\right)\left(\frac{2}{3}-1\right)=\frac{-19}{3}\cdot \frac{-1}{3}=\frac{19}{9}$

Два алгебраических выражения могут различаться по форме, но быть равными, одинаковыми по сути:

Алгебраические выражения равные        если числовые значения этих выражений совпадают при всех одних и тех же значениях букв: при вычислениях дают одинаковые результаты.

$y^2-8y+7=\left(y-7\right)\left(y-1\right)$                 $3-2b=2-2b+1$                $(3-a)^2=a^2+9-6a$

Тождественные преобразования выражений        - это цепочка нескольких выражений, связанных знаками "=".    Каждые выражения в цепочке одинаковые по значениям, но различные по форме.

$\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^2-2ab+b^2$

  • Квадрат      числа (выражения)    -     умножить это число (выражение) на само себя.           

$a^2=a\cdot a$             $(-7)^2=49$              $(3-a)^2=(3-a)\cdot (3-a)$              $(5x)^2=25\cdot x^2$

  • Куб      числа (выражения)    -     умножить это число (выражение) на само себя три раза.     

$b^3=b\cdot b\cdot b$              $(-4)^3=-64$              $(3-2b)^3=(3-2b)\cdot (3-2b)\cdot (3-2b)$

Пример 2:        Вычислить выражение      $(2a-3b)^2$      при разных значениях    $a$   и $b$

$a=-5$   $b=4$            $(2a-3b)^2=(2\cdot (-5)-3\cdot 4)^2=(-22)^2=484$

$a=\frac{3}{5}$   $b=\frac{1}{4}$            $(2a-3b)^2=(2\cdot (\frac{3}{5})-3\cdot \frac{1}{4})^2=(\frac{6}{5}-\frac{3}{4})^2=(\frac{9}{20})^2=\frac{81}{400}$

Внимание:    при подстановке вместо буквы отрицательного числа его надо заключить в скобки. Иначе могут быть ошибки ... будто бы вычитание.

Пример 3:        Вычислить кубы чисел     $5$,      $-\frac{3}{4}$,     $0,2$ .     Еще      $2\cdot x$

$5^3=5\cdot 5 \cdot 5=25\cdot 5=125$

$(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})\cdot (-\frac{3}{4})\cdot (-\frac{3}{4})=-\frac{27}{64}$

$0,2^3=0,2\cdot 0,2 \cdot 0,2=0,04\cdot 0,2=0,008$

$(2\cdot x)^3=(2\cdot x)\cdot (2\cdot x)\cdot (2\cdot x)=8\cdot x^3$

Интерактивная Доска:

Упражнения, примеры: