Учебник
Алгебра, 11 класс

                               Формулы для удвоенных углов:

                             $\sin2a=2\cdot\sin a\cdot\cos a$                         $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a$               

                             $\cos2a=1-2\cdot\sin^2a$                            $\cos2a=2\cdot\cos^2a-1$

                               Формулы решения простейших уравнений:

если        $\left|A\right|>1$      уравнения        $\sin x=A$ ,      $\cos x=A$     не имеют решений.

$\sin x=A$ ,         если $\left|A\right|\le 1$            $\Leftrightarrow$                $x=\arcsin A+2\cdot\pi\cdot n$                     $x=\pi-\arcsin$ $A+2\cdot\pi\cdot m$

$\sin x=A$ ,         если $\left|A\right|\le 1$               $\Leftrightarrow$            $x=\left(-1\right)^n\cdot\arcsin A+\pi\cdot n$                (как единная серия)

$\cos x=A$ ,         если $\left|A\right|\le 1$            $\Leftrightarrow$                $x=-\arccos A+2\cdot\pi\cdot n$                     $x=\arccos$ $A+2\cdot\pi\cdot m$

$\tg x=A$               $\Leftrightarrow$            $x=\arctg A+\pi\cdot n$                    

$\ctg x=A$              $\Leftrightarrow$          $x=\arcctg A+\pi\cdot n$

Решение методом замены, 1 функция - 1 аргумент

Метод замены:     В уравнении сделать такие преобразования, чтоб всюду была лишь одна функция, 1 угол.

назвать неизвестным    $y$      это повторяющееся выражение от      $x$    так,

чтобы после его   подстановки в уравнение присутствовало только     $y$ - его удобнее искать.

решить уравнение, найти все значения $y$. Затем, для каждого у - числа составить и решить уравнение возврата по $x$.

Пример 1:                     Решить уравнение                 $8\cdot\sin\frac{x}{2}+\cos x=7$            

  • У нас две функции, синус и косинус. И два разных аргумента:    $\frac{x}{2}$    и    $x$.     Но один угол вдвое больше.

  • По формуле: косинус удвоенного      $\cos x$   выразим через синус одинарного    $\sin\frac{x}{2}$, ...   $\cos x=1-2\cdot\sin^2\frac{x}{2}$

  • в уравнении заменим   $\cos x$ по формуле, получим:     $8\cdot\sin\frac{x}{2}+1-2\cdot\sin^2\frac{x}{2}=7$   

  • теперь у нас одна функция и один аргумент:     назовем функцию одной буквой и решим по методу замены

  • замена        $y=\sin\frac{x}{2}$          подстановка             $8y+1-2y^2=7$               

  • $y^2-4y+3=0$            $\Leftrightarrow$                  $y=1$               $y=3$         $\Leftrightarrow$        теперь,

  • два уравнения возврата:      возврат 1-го                $\sin\frac{x}{2}=1$    $\Rightarrow$       $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$         $\Rightarrow$           $x=\pi+4\pi n$    

  • возврат 2-го                $\sin\frac{x}{2}=3$                       нет решения.                                          ответ: $x=\left(4n+1\right)\cdot\pi$

Пример 2:                Решить уравнение              $\cos2x-\sqrt{3}\cdot\cos x-2=0$

  • У нас есть углы   $2x$ и   $x$. Один 2 раза больше:   $\cos2x$ заменим на выражение через    $\cos x$,
  • $2\cdot\cos^2x-1-\sqrt{3}\cdot\cos x-2=0$           .... получили 1 функция, 1 угол. Все готово!
  • определим         замену    $y=\cos x$        и    проведем       подстановку            $2y^2-\sqrt{3}y-3=0$         
  • найдем значения   $y$ , удовлетворяющие это квадратное уравнение. и пусть не пугает коэффициент с радикалом,    
  • $D=\left(\sqrt{3}\right)^2+4\cdot2\cdot3=3+24=27$      $\Leftrightarrow$           $y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$          ,          $y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{27}}{4}=\sqrt{3}$                  $\Leftrightarrow$
  • " я пока не знаю, чему может равняться      $x$,     но уже знаю, что   $y$   может быть только   $-\frac{\sqrt{3}}{2}$     или      $\sqrt{3} $."   
  • Но, новое и старое неизвестные связаны формулой   $y=\cos x$     $\Rightarrow$    мы знаем   $\cos x$   может равняться   $-\frac{\sqrt{3}}{2}$   или    $\sqrt{3}$.
  • Составим уравнения возврата:    в формуле замены   $y=\cos x$   подставим полученные числовые   $y$   - значения:
  • $\Leftrightarrow$         $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$   (возврат 1-го)                               $\cos x=\sqrt{3}$       (возврат 2-го значения)    $\Leftrightarrow$
  • решим первое:            $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$           $\Leftrightarrow$           $x_1=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$           ,           $x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m$   ;
  • второе:                           $\cos x=\sqrt{3}$             $\Rightarrow$           нет решений,   косинус не может быть больше   $1$.                      

Пример 3:             Решить уравнение            $1+\cos6x-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)\cdot\cos3x$    

  • здесь два разных аргумента. но, первый аргумент 2 раза больше второго. используем формулу удвоенных аргументов          
  • $1+\left(2\cdot\cos^23x-1\right)-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)\cdot\cos3x$              теперь, у нас 1 функция, 1 аргумент.   решаем методом замены
  • замена    $y=\cos3x$      подстановка        $2y^2-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)y$       
  • $2y^2-\left(8-\sqrt{3}\right)y-4\sqrt{3}=0$                        коэфициенты квадратного:    $a=2$        $b=\left(8-\sqrt{3}\right)$       $c=-4\sqrt{3}$
  • дискриминант           $D=\left(8-\sqrt{3}\right)^2+4\cdot2\cdot4\sqrt{3}=64-16\sqrt{3}+3+32\sqrt{3}=64+16\sqrt{3}+3=\left(8+\sqrt{3}\right)^2$
  • 1-ый корень              $y=\frac{8-\sqrt{3}+\sqrt{\left(8+\sqrt{3}\right)^2}}{4}$           упростим       $\Rightarrow$         $y=4$
  • 2-ой корень                $y=\frac{8-\sqrt{3}-8-\sqrt{3}}{4}$                      упростим         $\Rightarrow$       $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
  • возврат 1-го значения      $\Rightarrow$            $\cos3x=4$      $\Rightarrow$          нет решения                     (косинус не более 1-го)
  • возврат 2-го значения      $\Rightarrow$           $\cos3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$   $\Leftrightarrow$ $3x=\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n$     $3x=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi m$                    
  • $3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$         $3x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m$     перенесем множитель $3$,     $\Leftrightarrow$         ответ:      $x_1=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}$       $x_2=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi m}{3}$

Решение методом разложения на множители

В уравнении с правой стороны переносим все слагаемые влево. Справа = 0.

Слагаемые слева имеют общие множители? Или ... можно добиться, чтоб имелись общие множители?

Метод разложения на множители:     Выносим общий множитель и получаем уравнение вида      "произведение = нулю"

Такое уравнение решаем путем разбиения на случаи: каждый множитель приравниваем к нулю.

Пример 4:           Решить уравнение           $\sin2x=-\sqrt{2}\cos^2x$          

  • слева удвоенный угол,    формула      "синус удвоенного угла"          $\Leftrightarrow$       $2\cdot\sin x\cdot\cos x=-\sqrt{2}\cos^2x$      
  • множитель    $\cos x$      есть и у левой части, и у правой части уравнения.   перенесем правую часть влево
  • $2\cdot\sin x\cdot\cos x+\sqrt{2}\cos^2x=0$          $\Leftrightarrow$           $\cos x\cdot\left(2\cdot\sin x+\sqrt{2}\cos x\right)=0$        разобъем на случаи
  • случай 1           $2\cdot\sin x+\sqrt{2}\cos x=0$             $\Leftrightarrow$         $2\cdot\sin x=-\sqrt{2}\cos x$         перенесем множители
  • $\Leftrightarrow$    $\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$            $\Leftrightarrow$        $\tg x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$      $\Leftrightarrow$    $x=\arctg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$      $\Leftrightarrow$      $x=-\arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$
  • случай 2        $\cos x=0$    $\Leftrightarrow$       $x=\pi n$                             ответы:     $x_1=-\arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$      $x_2=\pi n$

Пример 5:              Решить уравнение           $\cos x-2\cdot\sin2x=0$        

  • применим формулу удвоенного синуса    $\cos x-4\cdot\sin x\cdot\cos x=0$      и увидим общий множитель.    

  • в первом слагаемом уже было, а во втором слагаемом появился множитель   $\cos x$ : вынос множителя, разбиение на случаи....

Пример 6:          Решить уравнение          $\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin x$

  • Слева у нас аргумент     $\frac{x}{4}$,   а справа в 4 раза больший   $x$. Но, и слева и справа "видны уши" формул с удвоенными углами:

  • Левое выражение приводит к удвоению угла. А справа можно "понизить" до пол-угла    $\frac{x}{2}$    по синусу удвоенного

  • небольшое "дергание" и учет знака "-" :    применим формулу удвоенного косинуса          $-\cos\left(2\cdot\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin x$     

  • теперь, к правой части применим формулу удвоенного синуса, спустим угол    $x$ до угла   $\frac{x}{2}$:

  • $-\cos\left(2\cdot\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\cdot \sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$       упростим, перенесем влево         $-\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}\cdot \sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0$

  • вот для чего весь сыр-бор: выносим общий множитель     $\cos\frac{x}{2}$   за скобки   $-\cos \frac{x}{2}\cdot \left(1+\sqrt{3}\cdot \sin \frac{x}{2}\right)=0$

  • Разбиение на случаи для каждого множителя:                $\cos \frac{x}{2}=0$        $\Rightarrow$       $\frac{x}{2}=\pi n$           $x=2\pi n$    

  • $1+\sqrt{3}\cdot \sin \frac{x}{2}=0$          $\Rightarrow$          $\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$         $\frac{x}{2}=-\left(-1\right)^m\cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi m$             $x=2\left(-1\right)^{m+1}\cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}+2\pi m$

Применение формул для преобразования уравнений

Пример 7:          Решить уравнение         $\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=3\cdot\sin^2x$

  • слева "почти" формула, обратная удвоенному синусу    $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha$ , $\Leftrightarrow$   $\frac{1}{2}\cdot\sin x=3\cdot\sin^2x$

  • переносим все влево, чтоб получить справа = 0; вынос общего sin множителя за скобки, разбиение на случаи ....

  1. "Дергание формул:"     Хорошее знание формул предполагает умение видеть небольшие изменения. если верно   $A=B$ ,

то верны и "передернутые" равенства:          $B=A$           $-A=-B$            $2\cdot A=2\cdot B$           $\frac{A}{2}=\frac{B}{2}$             $\frac{1}{A}=\frac{1}{B}$

  1. "Предсказание формул:"     Блестящее знание формулы предполагает узреть её там, где вроде и не пахнет, спрятана.

Пример 8:          Решить уравнение         $\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32\sin x}$

  • Умножим обе части на    $\sin x$, чтоб увидеть умножение синуса и косинуса:       $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha$

  • $\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32\sin x}\cdot \sin x$,               по формуле     $\sin x\cdot \cos x$ "свернем" в $\sin 2x$

  • $\frac{1}{2}\cdot \sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$,                                       "свернем"        $\sin 2x\cdot \cos 2x$     в      $\sin 4x$

  • $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 4x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$                                                 "свернем"        $\sin 4x\cdot \cos 4x$      в       $\sin 8x$

  • $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 8x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$                                                           "свернем"        $\sin 8x\cdot \cos 8x$      в        $\sin 16x$

  • $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 16x=\frac{1}{32}$                                                                 ... одна функция, один угол.

  • ...            $\sin 16x=\frac{1}{2}$                         $16x=\left(-1\right)^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$                       $x=\left(-1\right)^n\cdot \frac{\pi }{96}+\frac{\pi n}{16}$

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: