Таблица производных. Правила и Техника Дифференцирования на 5

Учебник
Алгебра, 11 класс
  • Производная функции показывает скорость изменения функции в точке, тангенс угла наклона.
  • Производная числа (т.е. функция = числу) равна нулю.   Число - постоянная функция никак не изменяется!

Таблица Производных

  1. Константа:      $\left(C\right)'=0$             $\left(-13,5\right)'=0$        $\left(\sqrt{5}\right)'=0$

  2. Степень:        $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$    основание - переменная, показатель   $n$ - число, любое

  • примеры: $\left(x\right)'=1$           $\left(x^2\right)'=2x$            $\left(x^3\right)'=3x^2$          $\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}$          $\left(x^{-2}\right)'=-2\cdot x^{-3}$
  1. Корень как степень:         $\left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$                   $\left(\sqrt[m]{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{m}}\right)'=\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1}{m}-1}$
  • примеры:   $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$        $\left(\sqrt[3]{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)'=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$
  1. тригонометрия:    $\left(\sin x\right)'=\cos x$              $\left(\cos x\right)'=-\sin x$           
  • примеры:     $\left(\tg x\right)'=\frac{1}{\cos^2x}$    
  1. экспоненциальная   $\left(e^x\right)'=e^x$          
  • примеры:     $\left(5^x\right)'=5^x\cdot \ln 5$     показательная      $\left(a^x\right)'=a^x\cdot \ln a$ , основание - число, показатель- переменная.
  1. Логарифмическая     $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$           
  • примеры:   $\left(\log _2x\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)'=\frac{1}{x\cdot \ln 2}$          $\left(\log _ax\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}$   

Правила Дифференцирования

  1. Числовой множитель выносится как коэффициент:                $\left(7,1\cdot A\left(x\right)\right)'=7,1\cdot\left(A\left(x\right)\right)'$

  2. производная суммы равна сумме производных:                      $\left(A-B+C\right)'=A'-B'+C'$

  3. правило производной от умножения:                  $\left(A\cdot B\right)'=A'\cdot B+A\cdot B'$

  4. правило производной от деления:                                $\left(\frac{A}{B}\right)'=\frac{A'\cdot B-A\cdot B'}{B^2}$

  5. производная сложной функции :          $\left(f\left(X\right)\right)'=f'\left(X\right)\cdot\left(X\right)'$

Пример 1:       Найти производную от функции   $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ .

  • решение: $f'\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)'=\left(x^3-3x+2\right)'=\left(x^3\right)'+\left(-3x\right)'+\left(2\right)'=3x^2-3\cdot1+0=3x^2-3$
  • Наша функция есть сумма 3-х слагаемых. Правило (сумма)'   $\left(x^3-3x+2\right)'=\left(x^3\right)'+\left(-3x\right)'+\left(2\right)'$
  • производная куба:   $\left(x^3\right)'=3x^2$ ,       производная   $\left(x\right)'=1$       производная числа    $\left(2\right)'=0$, константа
  • производная линейного с коэффициентом: правило выноса числа за знак производной    $\left(-3x\right)'=-3\cdot\left(x\right)'=-3\cdot1$

Пример 2:       Найти производную функции     $f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)+1$

  • $\left(f\left(x\right)\right)'=\left(\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)+1\right)'=\left(\left(x+2\right)^2\right)'\left(x-1\right)+\left(\left(x+2\right)^2\right)\left(x-1\right)'+1'=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2=3x\left(x+2\right)$
  • На первом шаге: производная суммы по правилу сложения производных от каждого слагаемого. От 1 производная 0.
  • На втором шаге: производная умножения по правилу ... производные 1-го на просто 2-ое + наоборот.
  • На третьем шаге: производная квадрата равна дважды основание квадрата.
  • $f'\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2$      - производная функции.

Пример 6:       Найти производную функцию от заданных функций:

$\left(-\frac{5x^6}{7}\right)'=-\frac{5}{7}\cdot \left(x^6\right)'=-\frac{5}{7}\cdot 6\cdot x^5=-\frac{30}{7}\cdot x^5$

$\left(\frac{4}{7\sqrt{x}}-9\right)'=\frac{4}{7}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)'-\left(9\right)'=\frac{4}{7}\cdot \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'-0=\frac{4}{7}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x^{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{2}{7x\sqrt{x}}$
$\left(2x^4-5x^2+7x-13\right)'=\left(2x^4\right)'-\left(5x^2\right)'+\left(7x\right)'-\left(13\right)'=2\cdot 4x^3-5\cdot 2x+7\cdot x^0=8x^3-10x+7$

$\left(\left(5-x^2\right)\cdot \left(\sqrt{x}+7\right)\right)'=\left(5-x^2\right)'\cdot \left(\sqrt{x}+7\right)+\left(5-x^2\right)\cdot \left(\sqrt{x}+7\right)'=-2x\cdot \left(\sqrt{x}+7\right)+\frac{5-x^2}{2\sqrt{x}}$

$\left(\frac{1-3x}{x^2-3x+2}\right)'=\frac{\left(1-3x\right)'\cdot \left(x^2-3x+2\right)-\left(1-3x\right)\cdot \left(x^2-3x+2\right)'}{\left(x^2-3x+2\right)^2}=\frac{-3\cdot \left(x^2-3x+2\right)-\left(1-3x\right)\cdot \left(2x-3\right)}{\left(x^2-3x+2\right)^2}=\frac{3x^2-2x+10}{\left(x^2-3x+2\right)^2}$

       

Интерактивная Доска:

Упражнения: