Таблица производных. Правила и Техника Дифференцирования на 5

• Производная функции показывает скорость изменения функции в точке, тангенс угла наклона.
• Производная числа (т.е. функция = числу) равна нулю.   Число - постоянная функция никак не изменяется!

Таблица Производных

1. Константа:      $\left(C\right)'=0$             $\left(-13,5\right)'=0$        $\left(\sqrt{5}\right)'=0$

2. Степень:        $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$    основание - переменная, показатель   $n$ - число, любое

• примеры: $\left(x\right)'=1$           $\left(x^2\right)'=2x$            $\left(x^3\right)'=3x^2$          $\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}$          $\left(x^{-2}\right)'=-2\cdot x^{-3}$

3. Корень как степень:         $\left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$                   $\left(\sqrt[m]{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{m}}\right)'=\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1}{m}-1}$

• примеры:   $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$        $\left(\sqrt[3]{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)'=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$

4. тригонометрия:    $\left(\sin x\right)'=\cos x$              $\left(\cos x\right)'=-\sin x$           

• примеры:     $\left(\tg x\right)'=\frac{1}{\cos^2x}$    
  

5. экспоненциальная   $\left(e^x\right)'=e^x$          

• примеры:     $\left(5^x\right)'=5^x\cdot \ln 5$     показательная      $\left(a^x\right)'=a^x\cdot \ln a$ , основание - число, показатель- переменная.
  

6. Логарифмическая     $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$           

• примеры:   $\left(\log _2x\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)'=\frac{1}{x\cdot \ln 2}$          $\left(\log _ax\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}$   
  

Правила Дифференцирования

1. Числовой множитель выносится как коэффициент:                $\left(7,1\cdot A\left(x\right)\right)'=7,1\cdot\left(A\left(x\right)\right)'$

2. производная суммы равна сумме производных:                      $\left(A-B+C\right)'=A'-B'+C'$

3. правило производной от умножения:                  $\left(A\cdot B\right)'=A'\cdot B + A\cdot B'$

4. правило производной от деления:                                $\left(\frac{A}{B}\right)'=\frac{A'\cdot B - A\cdot B'}{B^2}$

5. производная сложной функции :          $\left(f\left(X\right)\right)'=f'\left(X\right)\cdot\left(X\right)'$

Пример 1:       Найти производную от функции   $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ .

• решение: $f'\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)'=\left(x^3-3x+2\right)'=\left(x^3\right)'+\left(-3x\right)'+\left(2\right)'=3x^2-3\cdot1+0=3x^2-3$
• Наша функция есть сумма 3-х слагаемых. Правило (сумма)'   $\left(x^3-3x+2\right)'=\left(x^3\right)'+\left(-3x\right)'+\left(2\right)'$
• производная куба:   $\left(x^3\right)'=3x^2$ ,       производная   $\left(x\right)'=1$       производная числа    $\left(2\right)'=0$, константа
• производная линейного с коэффициентом: правило выноса числа за знак производной    $\left(-3x\right)'=-3\cdot\left(x\right)'=-3\cdot1$

Пример 2:       Найти производную функции     $f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)+1$

• $\left(f\left(x\right)\right)'=\left(\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)+1\right)'=\left(\left(x+2\right)^2\right)'\left(x-1\right)+\left(\left(x+2\right)^2\right)\left(x-1\right)'+1'=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2=3x\left(x+2\right)$
• На первом шаге: производная суммы по правилу сложения производных от каждого слагаемого. От 1 производная 0.
• На втором шаге: производная умножения по правилу ... производные 1-го на просто 2-ое + наоборот.
• На третьем шаге: производная квадрата равна дважды основание квадрата.
• $f'\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2$      - производная функции.

Интерактивная Доска:

Упражнения: