Сравнение радикальных, степенных, логарифмических чисел

Учебник
Алгебра, 11 класс
IMG_0454.JPG

Учитель

Темур Кварацхелия
Сравнение радикальных, степенных, логарифмических чисел

Свойства числовых неравенств:

свойство транзитивности;....   добавление слагаемого к обеим частям не меняет знак неравенства; ....     это свойство позволяет выполнить операцию "перенос слагаемого"..... после   умножения неравенства на положительное число,   знак неравенства не меняется......после   умножения неравенства на отрицательное число,   знак неравенства меняется......   одноименные неравенства   можно   почленно   складывать. ....при возведении в натуральную степень знак неравенства не меняется.

Сравнение радикальных чисел:


Пример 1:                  сравнить числа              $2\sqrt{11}\ne3\sqrt{5}$

  • предположим гипотезу: первое   больше   второго. тогда, путем   цепочки   преобразований   ... возведения   в   квадрат
  • положительных ... упрощения ... получим       $2\sqrt{11} > 3\sqrt{5}$        возведем обе части в квадрат      $\left(2\sqrt{11}\right)^2 > \left(3\sqrt{5}\right)^2$       $\Leftrightarrow$
  • $4\cdot11 > 9\cdot5$      $\Leftrightarrow$         $44 > 45$    ...   неверное.   значит    допущение   неверно       $2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}$
  • Приближенные   значения   этих   чисел   слишком   близки:   Радикалы   примерно    ...     $\sqrt{11}=0,1\sqrt{1100}\approx3,3$;
  • $\sqrt{5}=0,1\sqrt{500}\approx0,1\cdot22=2,2$     Тогда     $2\sqrt{11}\approx2\cdot3,3\approx6,6$    и     $3\sqrt{5}\approx3\cdot2,2\approx6,6$ .
  • Значит,   приближенные вычисления такой   точности недостаточна!         Ответ:      $2\sqrt{11}<3\sqrt{5}$.

Правило сравнений:        подтверждение или опровержение допущения, гипотезы

  1. написать    гипотетическое    неравенство;

  2. попробовать    это     доказать    или    опровергнуть путем   эквивалентных    преобразований;

  3. если   последнее   в   цепочке преобразований    верно / ложно    $\Rightarrow$    гипотетическое   допущение верно / ложно .

Пример 2:                  сравнить числа              $\frac{z^2}{8}-\frac{8}{z-4}\ne\sqrt{z}$             при        $z\approx7$     

  • найдем приближенное значение радикального числа     $\sqrt{z}\approx\sqrt{7}\approx\sqrt{\frac{700}{100}}\approx\sqrt{\frac{729}{100}}\approx2,7$
  • вычислим приближенно первое.      $\frac{z^2}{8}-\frac{8}{z-4}\approx\frac{49}{8}-\frac{8}{3}\approx6,01-2,66\approx3,35$         $\Rightarrow$        видно,   что   первое    $>$    второго.

Пример 3:                  сравнить числа              $-\frac{9-\sqrt{12}}{4} \ne -\frac{11}{8}$         

  • допустим гипотезу       $-\frac{9-\sqrt{12}}{4} > -\frac{11}{8}$    если б это было верно, тогда      $\frac{9-\sqrt{12}}{4} < \frac{11}{8}$,     умножим на   $8$       $2\left(9-\sqrt{12}\right) < 11$,
  • раскроем скобки     $18-11 < 2\sqrt{12}$ ,       возведем в квадрат       $7^2 < \left(2\sqrt{12}\right)^2$      получим      $49 < 4\cdot12$   .     Но!   последнее
  • очевидно   ложно   ...    вывод:   наше    допущение   надо   сменить на   противоположное.    сделанная   цепочка
  • ....эквивалентных   преобразований   неравенства   "до очевидного"   привело   к   выводу     $\Rightarrow$          Ответ:           $-\frac{9-\sqrt{12}}{4} < -\frac{11}{8}$

Пример 4:                  сравнить числа              $\frac{-3-\sqrt{17}}{3} \ne 8-3\cdot\sqrt{12}$

  • сделаем допущение      $\frac{-3-\sqrt{17}}{3} < 8-3\cdot\sqrt{12}$     и     проверим   путем   эквивалентных   преобразований,
  • $3\cdot\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{3}\right) < 3\cdot\left(8-3\cdot\sqrt{12}\right)$       раскроем скобки      $-3-\sqrt{17} < 24-9\cdot\sqrt{12}$         $\Leftrightarrow$        $9\cdot\sqrt{12} < 27+\sqrt{17}$
  • обе   части   неравенства   положительные,   значит,   можем сравнить   квадраты    $\left(9\cdot\sqrt{12}\right)^2 < \left(27+\sqrt{17}\right)^2$     $\Leftrightarrow$
  • $81\cdot12 < 27^2+2\cdot27\cdot\sqrt{17}+17$       $\Leftrightarrow$       $972-729-17 < 54\sqrt{17}$       $\Leftrightarrow$       $260 < 54\sqrt{17}$       $\Leftrightarrow$     $130 < 27\sqrt{17}$      $\Leftrightarrow$
  • $16900 < 729\cdot17$        $\Leftrightarrow$       $16900 < 12393$     но   это   "Ложь",   значит   изначальное   неравенство    ровно   наоборот.

Сравнение с единицей:       Единица - нулевая степень любого основания.               $a^0 = 1$

Если       $a > 1$ ,                     а)     $a^x > 1$      $\Leftrightarrow$      $x > 0$ ,                           б)     $a^x < 1$      $\Leftrightarrow$       $x < 0$ .

Если       $0 < a < 1$ ,            а)     $a^x > 1$      $\Leftrightarrow$      $x < 0$ ,                            б)    $a^x < 1$       $\Leftrightarrow$       $x > 0$ .

Сравнение степеней:           важно каково   основание, больше   или   меньше   единицы .

если   $ a > b > 0$      и показатель   $n > 0$   - натуральное:   "возведение в степень"     $a^n > b^n$    и    $a^{-n} < b^{-n}$    при отрицательных.

если        $a > 1$ ,        то степенное неравенство      $a^p > a^q$      равносильно неравенству показателей того же смысла:    $p > q$.

если    $0 < a < 1$ ,    степенное неравенство   $a^p > a^q$     равносильно неравенству показателей противоположного смысла    $p < q$

Пример 5:                  сравнить числа              $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}\ne-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$   

  • допустим гипотезу:       $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} < -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$       проведем эквивалентные преобразования:   умножение   обеих   частей   на   $- 1$:
  • $\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > \sqrt[3]{5\sqrt{2}}$             представим корень   как   дробную степень того же основания
  • $\left(2\sqrt[3]{6}\right)^{\frac{1}{2}} > \left(5\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}$               $\Leftrightarrow$                $\left(2\cdot6^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} > \left(5\cdot2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$                    $\Leftrightarrow$                  $2^{\frac{1}{2}}\cdot6^{\frac{1}{6}} > 5^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{1}{6}}$
  • так, как в обеих частях неравенства числа большие   $1$   (корни из   $2$   больше    $1$),    то возведение обеих частей в шестую степень
  • ... не нарушает смысл неравенства         $\left(2^{\frac{1}{2}}\cdot6^{\frac{1}{6}}\right)^6 > \left(5^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{1}{6}}\right)^6$ ,        тогда          $2^3\cdot6^1 > 5^2\cdot2^1$        получаем      $48 > 50$.
  • Но это неверно,   значит,   гипотеза   не оправдалась   и   исходное    гипотетическое   неравенство выполняется    ровно   наоборот,      
  • Это значит,                Ответ:             $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$

: Пример 6:                  сравнить числа              $0,4^{-\sqrt{2}}\ne0,4^{-1,4}$       

  • гипотеза:       $0,4^{-\sqrt{2}} < 0,4^{-1,4}$        сравнение степеней при основании меньшем   $1$ ....
  • ... приводит к сравнению показателей с   противоположным   смыслом   неравенства,   т.е.      $-\sqrt{2} > -1,4$ ,
  • умножение   обеих   частей   на минус   меняет знак неравенства на противоположный      $\sqrt{2} < 1,4$.
  • возведение в квадрат обеих частей неравенства   при   том,   что   основания   больше   единицы приводит нас ...
  • ...   к ложному неравенству       $2 < 1,96$ .            Значит,   гипотеза   ложная!

Сравнение "логарифмов".       внимание к основаниям - больше или меньше единицы?   

  • Если          $p > 0$       и        $q > 0$       то:                 .....       "потенционирование - сравнение аргументов"

  • при   $a > 1$,    логарифмическое неравенство       $\log_ap > \log_aq$      равносильно неравенству аргументов того же смысла      $p > q$ .

  • логарифмическое неравенство       $\log_ap < \log_aq$      равносильно неравенству аргументов того же смысла      $p < q$.

  • при   $0 < a < 1$      неравенство       $\log_ap > \log_aq$      равносильно неравенству аргументов противоположного   смысла       $p < q$ .

  • неравенство       $\log_ap < \log_aq$     равносильно неравенству аргументов противоположного   смысла      $p > q$.

Пример 7:                  сравнить логарифмы              $\log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{1}{7}\right)\ne\log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{2}{3}\right)$

  • допустим      $\log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{1}{7}\right) < \log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{2}{3}\right)$       "вскроем логарифм":   это,   при   том,   что   основание меньше   единицы,    равносильно
  • неравенству        $\frac{1}{7} > \frac{2}{3}$ ,       умножим   обе   части   на    $+21$,   смысл неравенства   не   поменяется       ....       $21\cdot\frac{1}{7} > 21\cdot\frac{2}{3}$
  • получим      $3 > 14$.      Но   это   нонсенс!                    Ответ:     $\log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{1}{7}\right) > \log_{\frac{1}{12}}\left(\frac{2}{3}\right)$

Пример 8:                  сравнить логарифмы              $\log_{\frac{1}{2}}3\ne\log_{\frac{1}{4}}1$

  • гипотеза:      $\log_{\frac{1}{2}}3 < \log_{\frac{1}{4}}1$.      Чтоб   сравнить   логарифмы,   желательно   сделать   основания   одинаковыми.   Сведем
  • основания к   $2$ ,   используя   формулу выноса показателя из-под основания логарифма.   Получим     $-\log_23 < -2\log_21$,
  • умножение на минус   $1$   обеих частей меняет смысл неравенства на наоборт:      $\log_23 > 2\log_21$     $\Leftrightarrow$      $\log_23 > 2\cdot0$     $\Leftrightarrow$
  • $\log_23 > 0$         $\Leftrightarrow$       $3 > 2^0 $       это   верно,   и   гипотеза   верна!      Ответ:     $\log_{\frac{1}{2}}3 < \log_{\frac{1}{4}}1$

Пример 9:                  Как сравнить числа        $-\log_{0,5}3\ne10\cdot \sin3$ ?     а   логарифм   и   радикал       $\log_34\ne\sqrt[4]{2}$ ?       

  • Найдем приближенное значение логарифма    $-\log_{0,5}3=\log_23=\frac{\ln3}{\ln2}\approx\frac{1,1}{0,7}\approx1,59$
  • Приближенное значение синуса, по формуле приведения $\sin3=\sin\left(\pi-3\right)\approx\pi-3\approx3,14-3\approx0,14$     значит,          $10\cdot \sin3\approx1,4$
  • Сравним приближенные   $1,59>1,4$ . Тогда    Ответ: $-\log_{0,5}3>10\cdot \sin3$
  • $\sqrt[4]{2}\approx\sqrt[4]{1+1}\approx1+\frac{1}{4}\approx1,2$           $\log_34=\frac{\ln4}{\ln3}\approx\frac{1,5}{1,1}\approx1,4$       вывод        $\Rightarrow$       Ответ:     $\log_34 > \sqrt[4]{2}$

Формулы   для   приближенных   вычислений:      при   маленьких   числах   $x$   верны   следующие   приближенные   равенства:

$\sqrt{1+x}\approx1+\frac{x}{2}$         $\sqrt{1-x}\approx1-\frac{x}{2}$          $\sqrt[3]{1+x}\approx1+\frac{x}{3}$         $\sqrt[3]{1-x}\approx1-\frac{x}{3}$

$\sqrt[n]{1+x}\approx1+\frac{x}{n}$        $\sqrt[n]{1-x}\approx1-\frac{x}{n}$          при малых    $х$.              $\sqrt[4]{3}\approx\sqrt[4]{1+2}\approx1+\frac{2}{4}\approx1,5$

$e\approx2,71$     -   число   экспонента,       $\ln A=\log_eA$   -   натуральный,   естеcтвенный   логарифм .

$a^x=e^{x\ln a}$ - перевод   показательного.          $3^0?25=e^{0,25\ln 3}$    

$e^x\approx1+x$        $e^{-x}\approx1-x$              $a^x\approx1+x\ln a$              $a^{-x}\approx1-x\ln a$            при   малых     $x$.

$\ln\left(1+x\right)\approx x$   $\ln\left(1-x\right)\approx-x$    $\log_a\left(1+x\right)\approx\frac{x}{\ln a}$   $\log_a\left(1-x\right)\approx-\frac{x}{\ln a}$         при   малых     $x$.

$\ln2\approx\log_{2,71}\left(2\right)\approx\ln\left(2,71\cdot\frac{2}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(\frac{2}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(1-\frac{7}{27}\right)\approx1-\frac{7}{27}\approx0,7$

$\ln3\approx\log_{2,71}\left(3\right)\approx\ln\left(2,71\cdot\frac{3}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(\frac{3}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(1+\frac{1}{9}\right)\approx1+\frac{1}{9}\approx1,1$

$\ln4\approx\log_{2,71}\left(4\right)\approx\ln\left(2,71\cdot\frac{4}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(\frac{4}{2,7}\right)\approx1+\ln\left(1+\frac{13}{27}\right)\approx1+\frac{13}{27}\approx1,5$

Пример 10:                известно,   что       $\log_52=a$       $\log_23=b$       выразить   логарифм      $\log_675$      через   $a$,   $b$

  • с помощью   формул,   свойств   логарифма    "подгоним" требуемый   логарифм   к   нужным   основаниям   и   аргументам .
  • разложить   произведения,   "перевернем"   логарифмы,   уберем   степени,    доведем   до   заданных   значений   логарифмов
  • и   заменим   на   буквы    $a$     и     $b$ .        получившиеся   выражение   упростим .
  • $\log_675=\log_6\left(3\cdot5^2\right)=\log_63+2\cdot\log_65=\frac{1}{\log_36}+\frac{2}{\log_56}=\frac{1}{\log_33+\log_32}+\frac{2}{\log_52+\log_53}=\frac{1}{1+\frac{1}{a}}+\frac{2}{b+b\cdot a}=\frac{2+ab}{b\left(a+b\right)}$

Интерактивная Доска:

Упражнения: