Учебник
Алгебра, 11 класс

Пример 1:         решить логарифмическое неравенство     $\log_{12}\left(x^2-x\right) < 1$   

  • ОДЗ              $x^2-x>0$
  • $\log_{12}\left(x^2-x\right) < \log_{12}12$             $\log_{12}\left(x^2-x\right)-\log_{12}12 < 0$. При каких х - числах выполняется это неравенство?
  • при тех, при которых разность логарифмов будет отрицательным! Но это тоже самое, что $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)}$ отрицательно!
  • факт:    при всех допустимых $x$   знак   $\log_aB-\log_aC$   совпадает со знаком рационального     $\frac{B-C}{a-1}$ .
  • Метод Рационализации:             $\log_{12}\left(x^2-x\right)-\log_{12}12 < 0$        $\Leftrightarrow$      $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)} < 0$   
  • Суть:    неравенство "о знаке разности логарифмов"      превратилось    в неравенство "о знаке дроби".
  • $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)} < 0$      , для удобства разложим на множители          $\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{11} < 0$
  • Метод интервалов: критические точки     $-3$, $0$, $1$, $4$   - точки обнуления множителей и ОДЗ.
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах $-10$;   $-2$;   $0.5$;   $2$; $10$ и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.   
  • для   $x=0,5$    выполняется    $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.           Но ОДЗ не выполняется.    
  • для $x = -2$ получим $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$. выполняется. И ОДЗ тоже!    для $x = 2$ аналогично $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.
  • При $x = 10$     $\Rightarrow$     $\frac{\left(+\right)\left(+\right)}{\left(+\right)} < 0$ не выполняется. Аналогично, $x = -10$    $\Rightarrow$    $\frac{\left(-\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$
  • ответ     Значит, решениями являются интервалы   $-3 < x < 0$   и    $1 < x < 4$.

Пусть а, В, С какие-то выражения от переменной х. Или просто числа.

Теорема:    Метод рационализации неравенства с логарифмами:

  1. Знак выражения      $\log_aB-\log_aC$    совпадает со знаком     $\frac{B-C}{a-1}$ дробно- рационального. (ОДЗ).
  2. Неравенства     $\log_aB-\log_aC > 0$    и     $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} > 0$    имеют одинаковые решения. При ОДЗ.
  3. В неравенстве "произведение < 0"   множитель в виде разности логарифмов можно заменить на рациональный аналог:
  4. Неравенство           $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$         эквивалентно           $X\cdot Y\cdot\left(\frac{B-C}{\left(a-1\right)}\right)\cdot Z < 0$

Стратегия:    вместо логарифмического неравенства иногда удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей и делителей .      Сравнение разности логарифмов с нулем эквивалентно Сравнению дробно-рационального с нулем!

Пример 2:          Решить неравенство      $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < 2$   

  • ОДЗ         $5-x>0$        $5-x\ne 1$                     Критические точки ОДЗ:    $5-x=0$,    $5-x=1$     $\Rightarrow$     $x=5$,    $x=4$.          
  • Превратим в    разность логарифмов      $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < \log_{5-x}\left(5-x\right)^2$           $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right)-\log_{5-x}\left(5-x\right)^2 < 0$
  • Рационализуем по формулам:        $\frac{\left(\frac{1}{9}-\left(5-x\right)^2\right)}{\left(5-x-1\right)} < 0$         . Разложим в скобках на множители
  • $\frac{\left(\frac{1}{3}-5+x\right)\left(\frac{1}{3}+5-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$      получим        $\frac{\left(x-\frac{14}{3}\right)\left(\frac{16}{3}-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$
  • Метод интервалов: критические точки     $4 < \frac{14}{3} < 5 < \frac{16}{3}$        - обнуления каждого множителя и ОДЗ
  • Контрольные точки    $0$;      $4,5$;      $4,9$;      $5,1$;     $10$      и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.   
  • Проверим, например $x = 4,9$.     Получим знаки множителей    $\frac{\left(+\right)\left(+\right)}{\left(-\right)} < 0$ - выполняется. ОДЗ тоже выполняется.
  • $x= 0$ выполняется.       $x = 4,5$   выполняется.    $x = 4,9$   выполняется.    $x= 5,1$   не выполняется.    $x= 10$   не выполняется.
  • Все проверки привели к решениям, интервалам:      ответ        $x < 4$       $4 < x < \frac{14}{3}$        $\frac{14}{3} < x < 5$
  1. Напоминание:      "Сокрашенное умножение": разложение разности квадратов $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
  2. "Виета": разложение на множители квадратного $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ . По корням.
  3. "Вынос за скобки":    $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$               $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$

Пример 3:          Решить неравенство      $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)\ge\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)$   

  • ОДЗ           $3-x>0$              $2x+6>0$                  
  • Превратим в    разность логарифмов             $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)-\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)\ge0$
  • Рационализуем по формулам:         $\frac{\left(3-x\right)-\left(2x+6\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$     ,   упростим      $\frac{-3\left(x+1\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$
  • Метод интервалов: критические точки     $-3 < -1 < 3$        - обнуления каждого множителя и ОДЗ
  • Контрольные точки    $-10$;      $-2$;      $0$;       $10$      и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.   
  • Здесь   неравенство нестрогое,     поэтому надо проверить "концы"    интервалов:   точка   $x=-1$ удовлетворяет.
  • В ответы наберем те интервалы, в которых контрольные точки удовлетворяют     ответ         $-1\le x<3$

Пример 4:          Решить неравенство      $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > -1$   

  • ОДЗ    $x>0$             $4-x>0$                            используем     $-1=\log_{\frac{1}{3}}3$
  • $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > \log_{\frac{1}{3}}3$           Нужна разность 2-х log:        $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right)-\log_{\frac{1}{3}}3 > 0$
  • Объединим    последные логарифмы в один:     $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}3\left(4-x\right) > 0$
  • Рационализуем       $\frac{\left(x-3\left(4-x\right)\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$    , упростим:       $\frac{\left(4x-12\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$
  • Критические точки    в порядке возрастания:      $0 < 3 < 4$,          ответ        $0 < x < 3$   

Пример 5:          Решить неравенство      $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le1$   

  • ОДЗ    $\left(x-1\right)^2>0$       $x^2>0$          $x^2\ne1$                      используем    $1=\log_{x^2}\left(x^2\right)$
  • метод рационализации наиболее эффективен в уравнениях где в основании логарифма выражение от неизвестного.
  • Превратим в разность логарифмов $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le\log_{x^2}\left(x^2\right)$                $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2-\log_{x^2}\left(x^2\right)\le0$   
  • Рационализуем      $\frac{\left(x-1\right)^2-x^2}{\left(x^2-1\right)}\le0$            $\frac{-\left(2x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\le0$
  • Критические точки    в порядке возрастания:     $-1 < 0 < 1/2 < 1$,      Подберем контрольные точки, проверим неравенство и ОДЗ:      
  • нестрогое,     поэтому   уточним "концы",           ответ          $-1 < x < 0$             $0 < x\le\frac{1}{2}$          $x > 1$   

Пример 6:          Решить неравенство      $\log_{0,2}^2x\ge 6+\log_5x$   

  • ОДЗ    $x>0$                                 используем преобразование    $\log_5x=\log_{0,2}x$
  • "подведем" к замене, основание 5 переделаем на основание 0,2:                $\log_{0,2}^2x\ge 6-\log_{0,2}x$
  • замена        $y=\log_{0,2}x$         неравенство подстановки         $y^2\ge 6-y$
  • $y^2+y-6\ge 0$                  корни квадратного выражения   $y_1=2$    $y_2=-3$
  • Разложим    квадратное на множители, Виета,       $\left(y-2\right)\left(y+3\right)\ge 0$
  • И,     не решая неравенство, именно здесь сделаем "возврат"    к старому неизвестному
  • $\left(\log_{0,2}x-2\right)\left(\log_{0,2}x+3\right)\ge 0$           нам нужны разности логарифмов, ... переделаем
  • $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x+\log_{0,2}0,2^3\right)\ge 0$    сумму надо превратить в разность
  • $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^{-3}\right)\ge 0$ Умножение разностей логарифмов "сравнить" с нулем
  • Знак умножения должно быть положительным. Но знак каждой скобки-разности такой же как и их "рационального" аналога. Значит ...
  • Метод Рационализации:             $\frac{x-0,04}{0,2-1}\cdot \frac{x-125}{0,2-1}\ge 0$        $\Leftrightarrow$      $\left(x-0,04\right)\left(x-125\right)\ge 0$   
  • Метод интервалов: критические точки      $0,04$   и $125$   - точки обнуления       Еще от ОДЗ точка $0$
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах разбиения   $0<0,04<125$ проверим неравенство и ОДЗ, знаки внутри скобок.
  • Проверка контрольных точек $-1$,   $\frac{1}{125}$,     $5$,    $625$ покажет какие интервалы годятся    ответ       $x\in \left(0;0,04\right]$          $x\in \left[125;+\infty \right)$

Процедура:            "Метод рационализации логарифмического неравенства".

  • шаг 1:          Превращаем неравенство к виду   "разность логарифмов сравнить с 0":
  • .                                  $\log_aB-\log_aC < 0$
  • Шаг 2:          Разность логарифмов   заменим на его рациональный аналог
  • .           вместо        $\log_aB-\log_aC$        исследуем знаки рационального         $\frac{B-C}{\left(a-1\right)}$
  • Шаг 3:         Ищем решения "рационализированного" неравенства методом интервалов
  • .                                         $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$
  • Шаг 4:        Если понадобиться, разложим каждый множитель на простые множители. В контрольных точках анализируем знаки каждого простого множителя, делителя и проверяем: удовлетворяется ли рационализированное неравенство и ОДЗ.
  • Дополнение: Если неравентство превратилось в вид (с дополнительными $X$, $Y$, $Z$ ... множителями)
  • $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$    то   решаем "рационализированный"      $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$

Замечание:     В неравенствах выше важно то, что   произведение сравнивается с нулем.    Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем.   В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли   <сравнение>   с нулем.

Пример 7:          Решить неравенство      $3\log^2_{\frac{1}{3}}x+5\log_{\frac{1}{3}}x-2 > 0$   

  • ОДЗ    $x>0$                  
  • замена      $y=\log_{\frac{1}{3}}x$         $3y^2+5y-2 > 0$                             находим корни:    $y_1=\frac{5+\sqrt{49}}{6}=2$        $y_2=-\frac{1}{3}$
  • Разложим    на множители, Виета,         $3\cdot\left(y-2\right)\cdot\left(y+\frac{1}{3}\right) > 0$     и тут же "возврат"       $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-2\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{3}\right) > 0$   
  • Организуем разности    log и рационализируем каждый множитель:     $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{9}\right)\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{3}\right)\right) > 0$
  • Получим "рациональный аналог"            $3\cdot\frac{\left(x-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(x-\sqrt[3]{3}\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$   
  • Расставим критические точки, в том числе от ОДЗ:          ....   подумаем - что за число $\sqrt[3]{3}$ ?
  • Интервалы разбиения ...      анализ рационального неравенства на контрольных точках и выполняется ли ОДЗ...
  • Например, контрольная точка $x=0,5$.     Знак всего выражения будет отрицательным.   Значит неравенство не удовлетворяется.
  • Интервал до 0 не годится, т.к. не проходит ОДЗ.                 ответ       $0 < x < \frac{1}{9}$ ,         $x > \sqrt[3]{3}$     

Сложение логарифмов?:            "Рационализация суммы логарифмов".

  • Как?        Сложение логарифмов нужно превратить в   "разность логарифмов сравнить с 0":     по формуле    $+\log_{a}B=-\log_{a}\frac{1}{B}$
  • $\log_{0,2}x+3 \ge 0$       $\to$     $\log_{0,2}x+\log_{0,2}0,2^3 \ge 0$         $\to$       $\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^{-3}\ge 0$           $\to$      Рацио:       $\frac{x-125}{0,2-1}\ge 0$
  • $\log_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{3} > 0$         $\to$       $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{3}\right) > 0$        $\to$      Рационализация:           $\frac{x-\sqrt[3]{3}}{\frac{1}{3}-1}> 0$

Интерактивные Упражнения: