Пример 1: решить логарифмическое неравенство $\log_{12}\left(x^2-x\right) < 1$
- ОДЗ $x^2-x>0$
- $\log_{12}\left(x^2-x\right) < \log_{12}12$ $\log_{12}\left(x^2-x\right)-\log_{12}12 < 0$. При каких х - числах выполняется это неравенство?
- при тех, при которых разность логарифмов будет отрицательным! Но это тоже самое, что $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)}$ отрицательно!
- факт: при всех допустимых $x$ знак $\log_aB-\log_aC$ совпадает со знаком рационального $\frac{B-C}{a-1}$ .
- Метод Рационализации: $\log_{12}\left(x^2-x\right)-\log_{12}12 < 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)} < 0$
- Суть: неравенство "о знаке разности логарифмов" превратилось в неравенство "о знаке дроби".
- $\frac{x^2-x-12}{\left(12-1\right)} < 0$ , для удобства разложим на множители $\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{11} < 0$
- Метод интервалов: критические точки $-3$, $0$, $1$, $4$ - точки обнуления множителей и ОДЗ.
- Выберем контрольные точки на всех интервалах $-10$; $-2$; $0.5$; $2$; $10$ и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.
- для $x=0,5$ выполняется $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$. Но ОДЗ не выполняется.
- для $x = -2$ получим $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$. выполняется. И ОДЗ тоже! для $x = 2$ аналогично $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.
- При $x = 10$ $\Rightarrow$ $\frac{\left(+\right)\left(+\right)}{\left(+\right)} < 0$ не выполняется. Аналогично, $x = -10$ $\Rightarrow$ $\frac{\left(-\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$
- ответ Значит, решениями являются интервалы $-3 < x < 0$ и $1 < x < 4$.
Пусть а, В, С какие-то выражения от переменной х. Или просто числа.
Теорема: Метод рационализации неравенства с логарифмами:
- Знак выражения $\log_aB-\log_aC$ совпадает со знаком $\frac{B-C}{a-1}$ дробно- рационального. (ОДЗ).
- Неравенства $\log_aB-\log_aC > 0$ и $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} > 0$ имеют одинаковые решения. При ОДЗ.
- В неравенстве "произведение < 0" множитель в виде разности логарифмов можно заменить на рациональный аналог:
- Неравенство $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$ эквивалентно $X\cdot Y\cdot\left(\frac{B-C}{\left(a-1\right)}\right)\cdot Z < 0$
Стратегия: вместо логарифмического неравенства иногда удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей и делителей . Сравнение разности логарифмов с нулем эквивалентно Сравнению дробно-рационального с нулем!
Пример 2: Решить неравенство $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < 2$
- ОДЗ $5-x>0$
- Превратим в разность логарифмов $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < \log_{5-x}\left(5-x\right)^2$ $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right)-\log_{5-x}\left(5-x\right)^2 < 0$
- Рационализуем по формулам: $\frac{\left(\frac{1}{9}-\left(5-x\right)^2\right)}{\left(5-x-1\right)} < 0$ . Разложим в скобках на множители
- $\frac{\left(\frac{1}{3}-5+x\right)\left(\frac{1}{3}+5-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$ получим $\frac{\left(x-\frac{14}{3}\right)\left(\frac{16}{3}-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$
- Метод интервалов: критические точки $4 < \frac{14}{3} < 5 < \frac{16}{3}$ - обнуления каждого множителя и ОДЗ
- Контрольные точки $0$; $4,5$; $4,9$; $5,1$; $10$ и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.
- Проверим, например $x = 4,9$. Получим знаки множителей $\frac{\left(+\right)\left(+\right)}{\left(-\right)} < 0$ - выполняется. ОДЗ тоже выполняется.
- $x= 0$ выполняется. $x = 4,5$ выполняется. $x = 4,9$ выполняется. $x= 5,1$ не выполняется. $x= 10$ не выполняется.
- Все проверки привели к решениям, интервалам: ответ $x < 4$ $4 < x < \frac{14}{3}$ $\frac{14}{3} < x < 5$
- Напоминание: "Сокрашенное умножение": разложение разности квадратов $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
- "Виета": разложение на множители квадратного $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ . По корням.
- "Вынос за скобки": $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$ $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$
Пример 3: Решить неравенство $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)\ge\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)$
- ОДЗ $3-x>0$ $2x+6>0$
- Превратим в разность логарифмов $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)-\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)\ge0$
- Рационализуем по формулам: $\frac{\left(3-x\right)-\left(2x+6\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$ , упростим $\frac{-3\left(x+1\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$
- Метод интервалов: критические точки $-3 < -1 < 3$ - обнуления каждого множителя и ОДЗ
- Контрольные точки $-10$; $-2$; $0$; $10$ и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.
- Здесь неравенство нестрогое, поэтому надо проверить "концы" интервалов: точка $x=-1$ удовлетворяет.
- В ответы наберем те интервалы, в которых контрольные точки удовлетворяют ответ $-1\le x<3$
Пример 4: Решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > -1$
- ОДЗ $x>0$ $4-x>0$ используем $-1=\log_{\frac{1}{3}}3$
- $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > \log_{\frac{1}{3}}3$ Нужна разность 2-х log: $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right)-\log_{\frac{1}{3}}3 > 0$
- Объединим последные логарифмы в один: $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}3\left(4-x\right) > 0$
- Рационализуем $\frac{\left(x-3\left(4-x\right)\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$ , упростим: $\frac{\left(4x-12\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$
- Критические точки в порядке возрастания: $0 < 3 < 4$, ответ $0 < x < 3$
Пример 5: Решить неравенство $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le1$
- ОДЗ $\left(x-1\right)^2>0$ $x^2>0$ $x^2\ne1$ используем $1=\log_{x^2}\left(x^2\right)$
- метод рационализации наиболее эффективен в уравнениях где в основании логарифма выражение от неизвестного.
- Превратим в разность логарифмов $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le\log_{x^2}\left(x^2\right)$ $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2-\log_{x^2}\left(x^2\right)\le0$
- Рационализуем $\frac{\left(x-1\right)^2-x^2}{\left(x^2-1\right)}\le0$ $\frac{-\left(2x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\le0$
- Критические точки в порядке возрастания: $-1 < 0 < 1/2 < 1$, Подберем контрольные точки, проверим неравенство и ОДЗ:
- нестрогое, поэтому уточним "концы", ответ $-1 < x < 0$ $0 < x\le\frac{1}{2}$ $x > 1$
Пример 6: Решить неравенство $\log_{0,2}^2x\ge 6+\log_5x$
- ОДЗ $x>0$ используем преобразование $\log_5x=\log_{0,2}x$
- "подведем" к замене, основание 5 переделаем на основание 0,2: $\log_{0,2}^2x\ge 6-\log_{0,2}x$
- замена $y=\log_{0,2}x$ неравенство подстановки $y^2\ge 6-y$
- $y^2+y-6\ge 0$ корни квадратного выражения $y_1=2$ $y_2=-3$
- Разложим квадратное на множители, Виета, $\left(y-2\right)\left(y+3\right)\ge 0$
- И, не решая неравенство, именно здесь сделаем "возврат" к старому неизвестному
- $\left(\log_{0,2}x-2\right)\left(\log_{0,2}x+3\right)\ge 0$ нам нужны разности логарифмов, ... переделаем
- $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x+\log_{0,2}0,2^3\right)\ge 0$ сумму надо превратить в разность
- $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^{-3}\right)\ge 0$ Умножение разностей логарифмов "сравнить" с нулем
- Знак умножения должно быть положительным. Но знак каждой скобки-разности такой же как и их "рационального" аналога. Значит ...
- Метод Рационализации: $\frac{x-0,04}{0,2-1}\cdot \frac{x-125}{0,2-1}\ge 0$ $\Leftrightarrow$ $\left(x-0,04\right)\left(x-125\right)\ge 0$
- Метод интервалов: критические точки $0,04$ и $125$ - точки обнуления Еще от ОДЗ точка $0$
- Выберем контрольные точки на всех интервалах разбиения $0<0,04<125$ проверим неравенство и ОДЗ, знаки внутри скобок.
- Проверка контрольных точек $-1$, $\frac{1}{125}$, $5$, $625$ покажет какие интервалы годятся ответ $x\in \left(0;0,04\right]$ $x\in \left[125;+\infty \right)$
Процедура: "Метод рационализации логарифмического неравенства".
- шаг 1: Превращаем неравенство к виду "разность логарифмов сравнить с 0":
- . $\log_aB-\log_aC < 0$
- Шаг 2: Разность логарифмов заменим на его рациональный аналог
- . вместо $\log_aB-\log_aC$ исследуем знаки рационального $\frac{B-C}{\left(a-1\right)}$
- Шаг 3: Ищем решения "рационализированного" неравенства методом интервалов
- . $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$
- Шаг 4: Если понадобиться, разложим каждый множитель на простые множители. В контрольных точках анализируем знаки каждого простого множителя, делителя и проверяем: удовлетворяется ли рационализированное неравенство и ОДЗ.
- Дополнение: Если неравентство превратилось в вид (с дополнительными $X$, $Y$, $Z$ ... множителями)
- $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$ то решаем "рационализированный" $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$
Замечание: В неравенствах выше важно то, что произведение сравнивается с нулем. Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.
Пример 7: Решить неравенство $3\log^2_{\frac{1}{3}}x+5\log_{\frac{1}{3}}x-2 > 0$
- ОДЗ $x>0$
- замена $y=\log_{\frac{1}{3}}x$ $3y^2+5y-2 > 0$ находим корни: $y_1=\frac{5+\sqrt{49}}{6}=2$ $y_2=-\frac{1}{3}$
- Разложим на множители, Виета, $3\cdot\left(y-2\right)\cdot\left(y+\frac{1}{3}\right) > 0$ и тут же "возврат" $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-2\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{3}\right) > 0$
- Организуем разности log и рационализируем каждый множитель: $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{9}\right)\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{3}\right)\right) > 0$
- Получим "рациональный аналог" $3\cdot\frac{\left(x-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(x-\sqrt[3]{3}\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$
- Расставим критические точки, в том числе от ОДЗ: .... подумаем - что за число $\sqrt[3]{3}$ ?
- Интервали разбиения ... анализ рационального неравенства на контрольных точках и выполняется ли ОДЗ...
- Например, контрольная точка $x=0,5$. Знак всего выражения будет отрицательным. Значит неравенство не удовлетворяется.
- Интервал до 0 не годится, т.к. не проходит ОДЗ. ответ $0 < x < \frac{1}{9}$ , $x > \sqrt[3]{3}$
Интерактивные Упражнения: