Приближенное и точное определение производной функции
Приближенным значением производной функции в точке $x_{0}$ со сдвигом 0,01 называется значение
$f'\left(x_0\right)\approx \frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{\left(x_0+0,01\right)-\left(x_0\right)}$ $f'\left(a\right)\approx \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$ Точное: $f'\left(a\right)=\lim \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$ при $\lim h=0$
- Производная в точке - это отношение: (приращение самой функции) / (малое приращение аргумента в этой точке).
- Физический смысл - производная функции показывает скорость изменения функции: роста или убывания функции.
- Геометрический смысл - производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к ее графику.
Пример 1: Дана функция $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ . Вычислить приближенное производную $f'\left(x_0\right)$
- в точке $x_0=1,2$ со сдвигом $h=0,2$ ? $\Rightarrow$ $f'\left(1,2\right)\approx \frac{\bigtriangleup f\left(x\right)}{\bigtriangleup x}\approx \frac{f\left(1,2+0,2\right)-f\left(1,2\right)}{1,4-1,2}=\frac{1,4^3-3\cdot 1,4+2-\left(1,2^3-3\cdot 1,2+2\right)}{0,2}=1,555$
- В реальности мы получили тангенс угла наклона секущей, проходящей в точках графика $\left(1,2;f\left(1,2\right)\right)$ и $\left(1,4;f\left(1,4\right)\right)$
- в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ? $\Rightarrow$ $f'\left(0,4\right)\approx \frac{f\left(0,4+h\right)-f\left(0,4\right)}{\left(0,4+h\right)-0,4}=\frac{\left(0,4+h\right)^3-3\cdot \left(0,4+h\right)+2-\left(0,4^3-3\cdot 0,4+2\right)}{h}=\frac{\left(0,4+h\right)^3-0,4^3}{h}-\frac{3\cdot \left(0,4+h\right)-3\cdot 0,4}{h}=\frac{0,4^3+3\cdot 0,4^2\cdot h+3\cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=\left(3\cdot 0,4^2-3\right)+h\cdot \left(3\cdot 0,4+h\right)\approx 2,5201$
- точное производное $f'\left(0,4\right)=3\cdot 0,4^2-3=2,52$ при $h\sim 0$ !
- в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ? $\Rightarrow$ $f'\left(0,4\right)\approx \frac{f\left(0,4+h\right)-f\left(0,4\right)}{\left(0,4+h\right)-0,4}=\frac{\left(0,4+h\right)^3-3\cdot \left(0,4+h\right)+2-\left(0,4^3-3\cdot 0,4+2\right)}{h}=\frac{\left(0,4+h\right)^3-0,4^3}{h}-\frac{3\cdot \left(0,4+h\right)-3\cdot 0,4}{h}=\frac{0,4^3+3\cdot 0,4^2\cdot h+3\cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=\left(3\cdot 0,4^2-3\right)+h\cdot \left(3\cdot 0,4+h\right)\approx 2,5201$
- точное производное $f'\left(0,4\right)=3\cdot 0,4^2-3=2,52$ при $h\sim 0$ !
- $f'\left(-0,6\right)$ "На глаз по графику" ? $\Rightarrow$ значения $f\left(-0,6\right)\approx 3,6$ и в сдвинутой $f\left(-0,4\right)\approx 3,1$. скорость изменения, наклон $f'\left(-0,6\right)\approx \frac{f\left(-0,4\right)-f\left(-0,6\right)}{-0,4-\left(-0,6\right)}\approx \frac{3,1-3,6}{0,2}=-2,5$
- Секущая графика функции - прямая, проходящая в точках графика $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right) и \left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$.
- Наклон секущей - тангенс угла наклона секущей к х - оси, равен $\tg s=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$.
- Касательной к графику в точке х = а - предел секущих в точках $\left(a;f\left(a\right)\right) и \left(a+h;f\left(a+h\right)\right)$ при h стремящемся к нулю.
- Наклон касательной - тангенс угла $k=\frac{f\left(x+0,000001\right)-f\left(x\right)}{x+0,000001-x}$ . Точнее, "примерно равен". Точнее: при малом h !.
- ....еще точнее "в пределе равен". lim $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$. Точка (a+h; f(a+h)) сближается с точкой (a; f(a)) при малом h !.
- Производная f'(a) равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции f в точке (a, f(a)).
Пример 2: По графику функции найти производную - наклон касательной в указанной точке.
- Смотрим на касательную в точке х = 3. Для нахождения тангенса наклона надо "увидеть" прямоугольный треугольник с катетами вдоль х- и у- осей и с гипотенузой вдоль касательной.
- Считаем по клеткам: f'(3) = - 1 : 3 1 клетка по у - оси вниз (-), 3 клетки по х - оси вправо (+) .
- На 2-м рисунке: g'(5) = 2 : 2 2 клетки по у - оси вверх (+), 2 клетки по х - оси вправо (+) .
Уравнение касательной к графику функции $y=f\left(x\right)$ в точке $x=x_0$ : $y=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)$ - касательная, прямая
- Функция $y=f\left(x\right)$ и её касательная $y=ax+b$ в точке касания $x=x_0$ имеют одинаковые значения, наклон, производные.
- Наклон касательной = производное функции $a=f'\left(x_0\right)$ определяет как "течет" график: растет, убывает?
- Наклон положительный - касательная справа-налево - производная положительна - функция растет - график функции "течет" вверх.
- Наклон отрицательный - касательная слево-направо - производная отрицательна - функция убывает - график функции "течет" вниз, по склону.
Производная - как детектор поведения функции
Вопрос: Как влияет на поведение функции $f\left(x_0\right)$ около точки $x=x_0$ значение производной $f'\left(x_0\right)$ ?
- Из определения производной в точке $x=x_0$ $\Rightarrow$ $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+0,01-x_0}$
- выразим значение функции чуть правее точки $x_0$ : $f\left(x_0+0,01\right)\approx f\left(x_0\right)+0,01f'\left(x_0\right)$. Значит, функция будет иметь большее значение правее от $x_0$ , если только $f'\left(x_0\right) > 0$.
- Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее. Из $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0-0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0-0,01-x_0}$ $\Rightarrow$ $f\left(x_0-0,01\right)\approx f\left(x_0\right)-0,01\cdot f'\left(x_0\right)$ $\Leftrightarrow$ понятно почему поведение функции левее $x_0$ зависит от знака производной в точке $x_0$.
- Сформулирует ответы на вопрос о влиянии знака производной в данной точке:
- если $f'\left(x_0\right) > 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция растет (см. слева направо).
- если $f'\left(x_0\right) < 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция убывает, график идет вниз.
- если $f'\left(x_0\right)=0$ то ситуации более запутанные: при $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция "выше", чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
В случае $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$, $x=x_0$ - точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.
Пример 2: Каково взаимовлияние графика $f\left(x\right)=6\cos\frac{\pi}{9}x$ и графике ее производной $f'\left(x\right)=-\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{9}x$
- Производная от какой-то функции - это некая, связанная с ней функция, характеризующая поведение самой функции
- Рассмотрим точку $x_1=-3$ . В нем сама функция равна $f\left(-3\right)=6\cos\frac{\pi}{9}(-3)=3$ , а ее производная - $f'\left(-3\right)=-\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{9}(-3)\approx1,77$,
- График график проходит в точке $(-3;3)$. Каково поведение графика около этой точки? Растет или убывает?
- Насколько быстро растет или убывает? На все эти вопросы ответы дает производная. Производная здесь $(-3;3)$ положительна, поэтому растет!
- Около точки $x_1=-3$ функция приближенно $f\left(x\right)\approx 3+1,77\cdot(x+7)$
- Т.к. производная равна $1$, то тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику нашей функции в данной точке ($-3; 3$) равен $1$.
- Значит, касательная направлена под углом $45$ градусов, ведь $\tg45=1$.
- Значит, функция около этой точки растет "умеренно", примерно под углом 45 градусов.
Значение производной $f'\left(x_0\right)$ в какой-либо точке указывает на рост или убывание исходной функции $f\left(x\right)$ около этой точки $x_0$. Зная числовое значение производной, можно определить как ведет себя функция: стоит ли на месте, растет или убывает и как быстро изменяется. Производная от функции помогает узнать в каждой точке характер скорости изменений, поведения графика самой функции.
-
В тех точках, где функция растет - график поднимается вверх (если смотреть слева направо) - касательная к графику в этой точке наклонена вправо - - тангенс наклона положительный - производная в этой точке имеет положительное значение.
-
В тех точках, где функция убывает - график опускается вниз (если смотреть слева направо) - касательная к графику в этой точке наклонена влево - - тангенс наклона отрицательный, тупой угол - производная в этой точке имеет отрицательное значение.
-
Производная = 0 функция "остановилась", "касательная горизонтальна" точка экстремума: минимум, максимум или перегиб.
-
Вторая производная в точке x показывает скорость изменения скорости, т.е. ускорение в этой точке. Вторая производная = 0 означает "ускорение обнулилось". больше нуля - выпоукло вниз (min), меньше нуля - вверх (max).
Пример 3: Указать интервалы монотонности функции $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ . ;
- $f'\left(x\right)=\left(x^3-3x+2\right)'=3x^2-3$ находим производную от нашей функции
- $f'\left(x\right)>0$ $3x^2-3>0$ $\left(-\infty ;-1\right)\ \left(1;\infty \right)$ интервалы возрастания, неравенство больше
- $f'\left(x\right)<0$ $3x^2-3<0$ $\left(-1;1\right)$ интервалы убывания, производное минус
- $M_f$ области монотонности $ \left(-\infty ;-1\right)+\left(-1;1\right)+\left(1;\infty \right)$
Точки экстремумов функции. min-max
Из $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+0,01-x_0}$ выразим значение функции чуть правее точки $x_0$ : $f\left(x_0+0,01\right)\approx f\left(x_0\right)+0,01f'\left(x_0\right)$.
Значит, функция будет иметь большее значение правее от $x_0$ , если только $f'\left(x_0\right) > 0$.
Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее. Из $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0-0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0-0,01-x_0}$ $\Rightarrow$ $f\left(x_0-0,01\right)\approx f\left(x_0\right)-0,01\cdot f'\left(x_0\right)$ $\Leftrightarrow$ понятно почему поведение функции левее $x_0$ зависит от знака производной в точке $x_0$.
Итак:
-
если $f'\left(x_0\right) > 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция растет (см. слева направо).
-
если $f'\left(x_0\right) < 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция убывает, график идет вниз.
-
если $f'\left(x_0\right)=0$ то ситуации более запутанные: при $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция "выше", чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
В случае $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$, $x=x_0$ - точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.
Определение: Точка, в которой производная обнуляется, называется экстремумом (минимум, максимум, перегиб).
В этой точке наклон графика равен нулю, т.е. касательная к графику горизонтальна.
Точка максимума - если функция растет, "застывает" в $x_0$" , затем убывает.
Производная функции больше нуля, в $x_0$ обнуляется, затем отрицательна.
Точка минимума наоборот - если функция убывает, "застывает" в $x_0$" , затем растет.
Производная меньше нуля, равна нулю в $x_0$", затем положительна.
Нахождение точки минимума (максимума) функции $y=f\left(x\right)$:
Точка минимума - это $x$ - число, в котором производная равна нулю, а сама исходная функция от убывания переходит к возрастанию. Надо "взять" производную исходной функции и составить уравнение экстремума "производная равна нулю". Среди точек экстремума найти точку минимума.
Есть три способа:
- по поведению "рост / убывание" исходной функции ;
- либо поведение "отрицательности / положительности" производной;
- либо знак второй производной в этой точке; если 2-ая производная ("производная от производной") в точке $x_0$ положительна, то это минимум.
min: $f'\left(x_0\right)=0$ , $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$ , $f'\left(x_0-0.01\right) < 0$ , $f'\left(x_0+0.01\right) > 0$ ; $f''\left(x_0\right) > 0$.
max: $f'\left(x_0\right)=0$ , $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ , $f'\left(x_0-0.01\right) > 0$ , $f'\left(x_0+0.01\right) < 0$ ; $f''\left(x_0\right) < 0$.
Обозначения множеств, областей
$D_f$ область определения функции
$Z_f$ область знакопостоянства, интервалы положительности, отрицательности $M_f$ области монотонности функции, интервалы возрастания, убывания $X_f$ экстремумы функции, перечисление х - точек $T_f$ уравнение касательной к функции в указанной х - точке $E_f$ области значений функции, все у - значенийУпражнения: