Уравнение касательной к графику функции в данной точке

Учебник
Алгебра, 10 класс
  • Производная функции показывает   скорость изменения функции в точке, тангенс угла наклона.
  • Производная числа (т.е. функция = числу) равна нулю.   Число - постоянная функция никак не изменяется!

Приближенное и точное определение производной функции   

Приближенным значением производной функции    в точке $x_{0}$ со сдвигом 0,01 называется значение

$f'\left(x_0\right)\approx \frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{\left(x_0+0,01\right)-\left(x_0\right)}$               $f'\left(a\right)\approx \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$         Точное:        $f'\left(a\right)=\lim \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$     при $\lim h=0$

  • Производная в точке - это   отношение:    (приращение самой функции) / (малое приращение аргумента в этой точке).
  • Физический смысл - производная функции показывает скорость изменения функции: роста или убывания функции.
  • Геометрический смысл - производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к ее графику.

Пример 1:       По графику функции найти производную - наклон касательной   в указанной точке.

  • Смотрим на касательную в точке х = 3. Для нахождения тангенса наклона надо "увидеть" прямоугольный треугольник с катетами вдоль х- и у- осей и с гипотенузой вдоль касательной.    
  • Считаем по клеткам: f'(3) = - 1 : 3    1 клетка по у - оси вниз (-),    3 клетки по х - оси вправо (+) .
  • На 2-м рисунке:      g'(5) = 2 : 2        2 клетки по у - оси вверх (+),    2 клетки по х - оси вправо (+) .

Уравнение касательной     к графику функции $y=f\left(x\right)$ в точке $x=x_0$ :   $y=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)$     - касательная, прямая

  • Функция $y=f\left(x\right)$ и её касательная $y=ax+b$ в точке касания $x=x_0$ имеют одинаковые значения, наклон, производные.
  • Наклон касательной = производное функции    $a=f'\left(x_0\right)$ определяет как "течет" график: растет, убывает?
  • Наклон положительный - касательная справа-налево - производная положительна - функция растет - график функции "течет" вверх.
  • Наклон отрицательный - касательная слево-направо - производная отрицательна - функция убывает - график функции "течет" вниз, по склону.

Пример 2:       Найти уравнение касательной для   $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ в точке $x_0=0.5$ .

  • $f'\left(x\right)=\left(x^3-3x+2\right)'=3x^2-3$                          находим производную от нашей функции
  • $f\left(0,5\right)=0,5^3-3\cdot 0,5+2=0,625$                           находим значение функции в этой точке
  • $f'\left(0,5\right)=3\cdot 0,5^2-3=-2,25$                           находим значение производной функции в этой точке
  • $x_0=0.5$      $y=f\left(0,5\right)+f'\left(0,5\right)\cdot \left(x-0,5\right)$                     формула для уравнения касательной
  • $x_0=0.5$      $y=0,625-2,25\cdot \left(x-0,5\right)$                     уравнение касательной    в точке   .
  • при $x=0.5$ значение $y=0,625$, наклон $y'=-2,25$.                совпадение $y$ и   $f\left(x\right)$ в этой точке.

Пример 3:     Прямая     $y=3x+4$ является касательной к графику функции $y=-2x^2-bx-4$.

Найти $b$, если известно, что точка касания имеет отрицательную абсциссу.

  • $-2x^2-bx-4=3x+4$                  равенство значений функции и касательной в точке касания.
  • $\left(-2x^2-bx-4\right)'=\left(3x+4\right)'\ $                 равенство значений производной функции и производной касательной.
  • $\left(-2x^2-bx-4\right)'=-4x-b$             найдем производное нашей функции: штрих по х.
  • $-4x-b=3$       $-2x^2-bx-4=3x+4$                    получим систему уравнений из 2-х неизвестных
  • $b=-4x-3$      $-2x^2+\left(4x+3\right)x-4=3x+4$                 выразим неизвестное и подставим во 2-ое уравнение.
  • $2x^2=8$             $x=-2$                     Решим уравнение и выбираем отрицательный корень.
  • $x=-2$          $b=5$                   При выбранной абсциссе получим значение параметра.

Теорема о касании:     Если графики двух функций    $f\left(x\right)$ и   $g\left(x\right)$ касаются друг друга, то в точке касания $x_0$:

$f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$          $f'\left(x_0\right)=g'\left(x_0\right)$      , значения функций и также значения производных совпадают.

Пример 4:     Прямая     $y=1-5x$ параллельна некой касательной к графику функции $y=4x^3-8x$. Найдите координаты точек касания таких касательных.

  • Какой наклон у функции $y=1-5x$ ?   Какая производная? Конечно, $-5$.
  • Параллельная ему наша касательная к функции $y=4x^3-8x$   должна иметь такой же наклон   $-5$.
  • $\left(4x^3-8x\right)'=12x^2-8$             найдем производное нашей функции: штрих по х.
  • В каких точках $x$     значение производной равен $-5$?   Составим уравнение и найдем такие   $x$ !
  • Условие для касательной: $12x^2-8=-5$       $12x^2=3$     $x^2=\frac{1}{4}$   , корни:     $x=0,5$     $x=-0,5$
  • При $x=0,5$    значение нашей функции    $y=4(0.5)^3-8(0.5)=4(0.125)-4=-3.5$ . Значит, точка касания $(0,5;-3,5)$.
  • При $x=-0,5$    значение нашей функции    $y=4(-0.5)^3-8(-0.5)=-4(0.125)+4=3.5$ . Значит, точка касания $(-0,5;+3,5)$.

Упражнения: