- Производная функции показывает скорость изменения функции в точке, тангенс угла наклона.
- Производная числа (т.е. функция = числу) равна нулю. Число - постоянная функция никак не изменяется!
Приближенное и точное определение производной функции
Приближенным значением производной функции в точке $x_{0}$ со сдвигом 0,01 называется значение
$f'\left(x_0\right)\approx \frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{\left(x_0+0,01\right)-\left(x_0\right)}$ $f'\left(a\right)\approx \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$ Точное: $f'\left(a\right)=\lim \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{\left(a+h\right)-\left(a\right)}$ при $\lim h=0$
- Производная в точке - это отношение: (приращение самой функции) / (малое приращение аргумента в этой точке).
- Физический смысл - производная функции показывает скорость изменения функции: роста или убывания функции.
- Геометрический смысл - производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к ее графику.
Пример 1: По графику функции найти производную - наклон касательной в указанной точке.
- Смотрим на касательную в точке х = 3. Для нахождения тангенса наклона надо "увидеть" прямоугольный треугольник с катетами вдоль х- и у- осей и с гипотенузой вдоль касательной.
- Считаем по клеткам: f'(3) = - 1 : 3 1 клетка по у - оси вниз (-), 3 клетки по х - оси вправо (+) .
- На 2-м рисунке: g'(5) = 2 : 2 2 клетки по у - оси вверх (+), 2 клетки по х - оси вправо (+) .
Уравнение касательной к графику функции $y=f\left(x\right)$ в точке $x=x_0$ : $y=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)$ - касательная, прямая
Уравнение касательной функции $y=f\left(x\right)$ в точке $x=x_0$ : $y=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)$
- Прямая $y=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)$ в точке $x=x_0$ касается графика функции $y=f\left(x\right)$.
- Функция $y=f\left(x\right)$ и её касательная $y=ax+b$ в точке касания $x=x_0$ имеют одинаковые значения, наклон, производные.
- Наклон касательной = производное функции $a=f'\left(x_0\right)$ определяет как "течет" график: растет, убывает?
- $a>0$ : наклон касательной положительный - касательная слева-направо - чем правее $x$, тем выше поднимается прямая.
- $a>0$ $\Rightarrow$ $f'\left(x_0 \pm \delta \right)>0$ - производная положительна - функция около $\left(x_0-\delta;x_0+\delta\right)$ растет - график поднимается вверх.
- Наклон отрицательный - касательная справа-налево - производная отрицательна - функция убывает - график "течет" вниз.
Пример 2: Найти уравнение касательной для $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ в точке $x_0=0.5$ .
- $f'\left(x\right)=\left(x^3-3x+2\right)'=3x^2-3$ находим производную от нашей функции
- $f\left(0,5\right)=0,5^3-3\cdot 0,5+2=0,625$ находим значение функции в этой точке
- $f'\left(0,5\right)=3\cdot 0,5^2-3=-2,25$ находим значение производной функции в этой точке
- $x_0=0.5$ $y=f\left(0,5\right)+f'\left(0,5\right)\cdot \left(x-0,5\right)$ формула для уравнения касательной
- $x_0=0.5$ $y=0,625-2,25\cdot \left(x-0,5\right)$ уравнение касательной в точке .
- при $x=0.5$ значение $y=0,625$, наклон $y'=-2,25$. совпадение $y$ и $f\left(x\right)$ в этой точке.
Пример 3: Прямая $y=3x+4$ является касательной к графику функции $y=-2x^2-bx-4$.
Найти $b$, если известно, что точка касания имеет отрицательную абсциссу.
- $-2x^2-bx-4=3x+4$ равенство значений функции и касательной в точке касания.
- $\left(-2x^2-bx-4\right)'=\left(3x+4\right)'\ $ равенство значений производной функции и производной касательной.
- $\left(-2x^2-bx-4\right)'=-4x-b$ найдем производное нашей функции: штрих по х.
- $-4x-b=3$ $-2x^2-bx-4=3x+4$ получим систему уравнений из 2-х неизвестных
- $b=-4x-3$ $-2x^2+\left(4x+3\right)x-4=3x+4$ выразим неизвестное и подставим во 2-ое уравнение.
- $2x^2=8$ $x=-2$ Решим уравнение и выбираем отрицательный корень.
- $x=-2$ $b=5$ При выбранной абсциссе получим значение параметра.
Теорема о касании: Если графики двух функций $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ касаются друг друга, то в точке касания $x_0$:
$f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$ $f'\left(x_0\right)=g'\left(x_0\right)$ , значения функций и также значения производных совпадают.Пример 4: Прямая $y=1-5x$ параллельна некой касательной к графику функции $y=4x^3-8x$. Найдите координаты точек касания таких касательных.
- Какой наклон у функции $y=1-5x$ ? Какая производная? Конечно, $-5$.
- Параллельная ему наша касательная к функции $y=4x^3-8x$ должна иметь такой же наклон $-5$.
- $\left(4x^3-8x\right)'=12x^2-8$ найдем производное нашей функции: штрих по х.
- В каких точках $x$ значение производной равен $-5$? Составим уравнение и найдем такие $x$ !
- Условие для касательной: $12x^2-8=-5$ $12x^2=3$ $x^2=\frac{1}{4}$ , корни: $x=0,5$ $x=-0,5$
- При $x=0,5$ значение нашей функции $y=4(0.5)^3-8(0.5)=4(0.125)-4=-3.5$ . Значит, точка касания $(0,5;-3,5)$.
- При $x=-0,5$ значение нашей функции $y=4(-0.5)^3-8(-0.5)=-4(0.125)+4=3.5$ . Значит, точка касания $(-0,5;+3,5)$.
Упражнения: