Метод понижения степени
Формулы понижения: $\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}$
$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$ $\tg^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}$ $\ctg^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{1-\cos a}$
по-другому, "формула половинного угла" : справа аргумент в 2 раза больше, чем слева, слева - половина правого.
Пример 1: Упростить: $\sin^6\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos^6\left(\frac{3\pi}{4}+x\right)$
- Решение: степень 6 синуса представим как куб от квадрата $\left(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)^3+\left(\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+x\right)\right)^3$ , выражение
- готово для формул понижения степени . удвоив аргументы $\left(\frac{1-\cos \left(2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos \left(2\left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\right)}{2}\right)^3$ ,
- упростим аргументы, выделим ПИ - добавки $\left(\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)}{2}\right)^3$ , применим
- формулы приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=\sin a$ , $\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin a$ получим $\left(\frac{1-\sin\left(2x\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\sin\left(2x\right)}{2}\right)^3$ .
- вот и понизилась степень : вместо шестой получился куб. для получившейся суммы кубов применим
- формулы куба суммы/разности $\left(a\pm b\right)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ , получим громоздкое выражение
- $\frac{1-3\cdot\sin2x+3\cdot\sin^22x-\sin^32x}{8}+\frac{1+3\cdot\sin2x+3\cdot\sin^22x+\sin^32x}{8}$ , упростим его $\frac{1+3\cdot\sin^22x}{4}$ , опять применим
- понижение квадрата синуса $\frac{1+3\cdot\frac{1-\cos4x}{2}}{4}$ . окончательный Ответ: $\frac{5-3\cdot\cos4x}{8}$ . Учетверение аргумента.
Пример 2: Решить уравнение $\cos^23x+\cos^24x+\cos^25x+\cos^26x=2$
- Решение: в уравнении несколько функций в квадратах. уберем квадраты за счет удвоения угла по формулам понижения:
- $\frac{1+\cos6x}{2}+\frac{1+\cos8x}{2}+\frac{1+\cos10x}{2}+\frac{1+\cos12x}{2}=2$ $\Leftrightarrow$ теперь, квадратов нет. упростим, преобразуем
- $\cos6x+\cos8x+\cos10x+\cos12x=0$ $\Leftrightarrow$ такое уравнение мы умеем решать .......
- разложим на множители, используя формулы превращения суммы в произведение. но пока переставим в более удобном порядке
- $\cos6x+\cos12x+\cos8x+\cos10x=0$ $\Leftrightarrow$ $2\cdot\cos\frac{6x+12x}{2}\cdot\cos\frac{6x-12x}{2}+2\cdot\cos\frac{8x+10x}{2}\cdot\cos\frac{8x-10x}{2}=0$
- учтем формулу приведения $\cos\left(-\alpha\right)=\cos\alpha$ $\Leftrightarrow$ $2\cdot\cos9x\cdot\cos3x+2\cdot\cos9x\cdot\cos x=0$ , вынос за скобки
- $2\cdot\cos9x\cdot\left(\cos3x+\cos x\right)=0$ $\Leftrightarrow$ еще раз превращение в произведение $2\cdot\cos9x\cdot\cos2x\cdot\cos x=0$
- " произведение = $0$ " $\Rightarrow$ разбиваем на 3 уравнения $\Leftrightarrow$ $\cos9x=0$ $\cos2x=0$ $\cos x=0$
- далее, решение простейших. Ответы: $x_1=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi\cdot n}{9}$ $x_2=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\cdot m}{2}$ $x_3=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot k$
Пример 3: Решить уравнение $\sin^6t+\cos^6t=\frac{5}{6}\cdot\left(\sin^4t+\cos^4t\right)$
- Решение: понизим высокие степени путем представления 6-ой степени как куб квадрата, формула $A^{2n}=\left(A^2\right)^n$ ,
- $\left(\sin^2t\right)^3+\left(\cos^2t\right)^3=\frac{5}{6}\cdot\left(\left(\sin^2t\right)^2+\left(\cos^2t\right)^2\right)$ теперь, к квадратам применим формулы
- понижения степени $\Leftrightarrow$ $\left(\frac{1-\cos2t}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)^3=\frac{5}{6}\cdot\left(\left(\frac{1-\cos2t}{2}\right)^2-\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)^2\right)$ итоговые степени
- уменьшились, но аргументы удвоились $\Leftrightarrow$ упростим $\frac{\left(1-\cos2t\right)^3}{8}+\frac{\left(1+\cos2t\right)^3}{8}=\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{\left(1-\cos2t\right)^2}{4}+\frac{\left(1+\cos2t\right)^2}{4}\right)$
- домножим обе части на $8$ $\Leftrightarrow$ $\left(1-\cos2t\right)^3+\left(1+\cos2t\right)^3=\frac{5}{3}\cdot\left(\left(1-\cos2t\right)^2+\left(1+\cos2t\right)^2\right)$ применим
- формулы сумм кубов $\left(a\pm b\right)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ , квадратов $\left(a\pm b\right)^2=a^2\pm2ab+b^2$
- $1-3\cdot\cos2t+3\cdot\cos^22t-\cos^32t+1+3\cdot\cos2t+3\cdot\cos^22t+\cos^32t=$
- $=\frac{5}{3}\cdot\left(1-2\cdot\cos2t+\cos^22t+1-2\cdot\cos2t+\cos^22t\right)$ соберем подобные слагаемые $\Leftrightarrow$
- $2+6\cdot\cos^22t=\frac{5}{3}\cdot\left(2+2\cdot\cos^22t\right)$ $\Leftrightarrow$ сократим обе части на $2$ $1+3\cdot\cos^22t=\frac{5}{3}\cdot\left(1+\cos^22t\right)$,
- домножим на $3$ $\Leftrightarrow$ $3+9\cdot\cos^22t=5+5\cdot\cos^22t$ , перенесём числа, выразим функцию $\cos^22t=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$
- еще раз понизим степень $\frac{1+\cos4t}{2}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ выразим косинус $\cos4t=0$ $\Leftrightarrow$ $4t=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot n$ $\Leftrightarrow$ упростим,
- Ответы: $t=\frac{\pi\left(1+4n\right)}{8}$
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения: