Учебник
Алгебра, 10 класс

Метод понижения степени

Формулы понижения:              $\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}$               $\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$               $\tg^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}$                $\ctg^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{1-\cos a}$       

по другому,    "формула половинного угла" :     справа аргумент в 2 раза больше,   чем слева,    слева   -   половина   правого.     

Пример 1:                   Упростить:             $\sin^6\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos^6\left(\frac{3\pi}{4}+x\right)$               

  • Решение:      степень 6   синуса     представим как     куб от квадрата       $\left(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)^3+\left(\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+x\right)\right)^3$    ,   выражение
  • готово для        формул     понижения       степени .   удвоив аргументы         $\left(\frac{1-\cos \left(2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos \left(2\left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\right)}{2}\right)^3$ ,
  • упростим аргументы,   выделим       ПИ - добавки      $\left(\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)}{2}\right)^3$     ,         применим
  • формулы приведения        $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=\sin a$ ,        $\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin a$          получим       $\left(\frac{1-\sin\left(2x\right)}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\sin\left(2x\right)}{2}\right)^3$ .
  • вот и   понизилась степень : вместо    шестой    получился    куб.           для    получившейся   суммы   кубов   применим    
  • формулы куба суммы/разности              $\left(a\pm b\right)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$       ,     получим     громоздкое      выражение
  • $\frac{1-3\cdot\sin2x+3\cdot\sin^22x-\sin^32x}{8}+\frac{1+3\cdot\sin2x+3\cdot\sin^22x+\sin^32x}{8}$   ,      упростим   его             $\frac{1+3\cdot\sin^22x}{4}$ ,       опять   применим
  • понижение    квадрата синуса          $\frac{1+3\cdot\frac{1-\cos4x}{2}}{4}$ .        окончательный Ответ:          $\frac{5-3\cdot\cos4x}{8}$   . Учетверение аргумента.

Пример 2:                  Решить уравнение              $\cos^23x+\cos^24x+\cos^25x+\cos^26x=2$            

  • Решение:        в уравнении несколько функций в квадратах.   уберем квадраты за счет удвоения угла по формулам понижения:
  • $\frac{1+\cos6x}{2}+\frac{1+\cos8x}{2}+\frac{1+\cos10x}{2}+\frac{1+\cos12x}{2}=2$           $\Leftrightarrow$      теперь, квадратов нет.     упростим,    преобразуем
  • $\cos6x+\cos8x+\cos10x+\cos12x=0$                 $\Leftrightarrow$      такое уравнение мы умеем решать .......
  • разложим на множители, используя формулы превращения суммы в произведение. но пока переставим в более удобном порядке
  • $\cos6x+\cos12x+\cos8x+\cos10x=0$                 $\Leftrightarrow$         $2\cdot\cos\frac{6x+12x}{2}\cdot\cos\frac{6x-12x}{2}+2\cdot\cos\frac{8x+10x}{2}\cdot\cos\frac{8x-10x}{2}=0$
  • учтем формулу приведения     $\cos\left(-\alpha\right)=\cos\alpha$       $\Leftrightarrow$       $2\cdot\cos9x\cdot\cos3x+2\cdot\cos9x\cdot\cos x=0$   ,     вынос за скобки
  • $2\cdot\cos9x\cdot\left(\cos3x+\cos x\right)=0$         $\Leftrightarrow$      еще раз превращение в произведение      $2\cdot\cos9x\cdot\cos2x\cdot\cos x=0$
  • " произведение    =    $0$ "       $\Rightarrow$        разбиваем на 3 уравнения          $\Leftrightarrow$          $\cos9x=0$          $\cos2x=0$         $\cos x=0$   
  • далее, решение простейших.                                 Ответы:        $x_1=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi\cdot n}{9}$              $x_2=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\cdot m}{2}$            $x_3=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot k$

Пример 3:                  Решить уравнение              $\sin^6t+\cos^6t=\frac{5}{6}\cdot\left(\sin^4t+\cos^4t\right)$              

  • Решение:     понизим высокие степени путем представления 6-ой степени как куб квадрата,      формула      $A^{2n}=\left(A^2\right)^n$ ,
  • $\left(\sin^2t\right)^3+\left(\cos^2t\right)^3=\frac{5}{6}\cdot\left(\left(\sin^2t\right)^2+\left(\cos^2t\right)^2\right)$       теперь,    к квадратам    применим    формулы
  • понижения степени        $\Leftrightarrow$          $\left(\frac{1-\cos2t}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)^3=\frac{5}{6}\cdot\left(\left(\frac{1-\cos2t}{2}\right)^2-\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)^2\right)$      итоговые степени
  • уменьшились,    но аргументы удвоились        $\Leftrightarrow$        упростим        $\frac{\left(1-\cos2t\right)^3}{8}+\frac{\left(1+\cos2t\right)^3}{8}=\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{\left(1-\cos2t\right)^2}{4}+\frac{\left(1+\cos2t\right)^2}{4}\right)$
  • домножим обе части на     $8$        $\Leftrightarrow$        $\left(1-\cos2t\right)^3+\left(1+\cos2t\right)^3=\frac{5}{3}\cdot\left(\left(1-\cos2t\right)^2+\left(1+\cos2t\right)^2\right)$       применим
  • формулы    сумм    кубов         $\left(a\pm b\right)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ ,         квадратов       $\left(a\pm b\right)^2=a^2\pm2ab+b^2$     
  • $1-3\cdot\cos2t+3\cdot\cos^22t-\cos^32t+1+3\cdot\cos2t+3\cdot\cos^22t+\cos^32t=$
  • $=\frac{5}{3}\cdot\left(1-2\cdot\cos2t+\cos^22t+1-2\cdot\cos2t+\cos^22t\right)$       соберем    подобные    слагаемые      $\Leftrightarrow$       
  • $2+6\cdot\cos^22t=\frac{5}{3}\cdot\left(2+2\cdot\cos^22t\right)$           $\Leftrightarrow$       сократим обе части на   $2$           $1+3\cdot\cos^22t=\frac{5}{3}\cdot\left(1+\cos^22t\right)$,
  • домножим    на    $3$        $\Leftrightarrow$        $3+9\cdot\cos^22t=5+5\cdot\cos^22t$ ,      перенесём числа,    выразим функцию       $\cos^22t=\frac{1}{2}$      $\Leftrightarrow$
  • еще раз понизим степень     $\frac{1+\cos4t}{2}=\frac{1}{2}$      $\Leftrightarrow$     выразим косинус     $\cos4t=0$       $\Leftrightarrow$       $4t=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot n$    $\Leftrightarrow$    упростим,           
  • Ответы:         $t=\frac{\pi\left(1+4n\right)}{8}$

         

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: