Степенные неравенства

Пример 1:          Решить показательное неравенство      $3^{x-1}>81$

• Смысл решения: нужно найти все числа, которые, будучи подставленные вместо $x$, выполняют условие неравенства.
• Сведем неравенство к сравнению степеней    $3^{x-1}>3^4$ . Основания наших степеней больше 1:    $3>1$ ....
• ... "чем больше показатель, тем больше степень"!             Кстати: при основании   $0,4<1$ было бы ровно наоборот.
• В нашем случае:     $3^{x-1}>3^4$      $\Leftrightarrow$      сравнение показателей       $x-1>4$      $\Leftrightarrow$      $x>5$       "все числа больше 5".

Посмотрим на это с другого взгляда:    обнулим справа       $3^{x-1}-81>0$     $\Leftrightarrow$      $3^{x-1}-3^4>0$

... и изучим вопрос "сравнение разности степеней с нулем":       при каких $x$ она (разность) положительна.

... утверждение: "разность степеней положительна при тех же $x$ - ах, при которых положительна разность показателей ."

т.е. равносильный процесс решения        $3^{x-1}-3^4>0$       $\Leftrightarrow$         $(x-1)-4>0$      ответ     $x>5$

Пример 2:          Решить показательное неравенство      $1,3^{x^2-x} < 1$

• Перепишем как "сравнение разности степеней с 0":      $1,3^{x^2-x} < 1,3^0$            $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$
• Метод Рационализации:             $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$        $\Leftrightarrow$      $\frac{x^2-x-0}{\left(1,3-1\right)} < 0$   
• Решаем рациональное неравенство, разложим на множители     $\frac{\left(x+0\right)\left(x-1\right)}{0,3} < 0$
• Метод интервалов: критические точки      0   и 1   - точки обнуления множителей и делителей.
• Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10;     0.5;    10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
• Для   $x=0,5$    выполняется    $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.   При -10 и 10 не выполняется.      ответ     $ 0 < x < 1$
  

Пример 3:          Решить сложно-степенное неравенство      $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1$

• сложно-степенное выражение, функция    - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
• ОДЗ:         $x+5>0$ ,    $x\ne1$ - основание сложно-степенного выражения объязано быть   > 0, и не равно 1.
• Представим правую часть как степень с основанием   $x+5$, получим       $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > \left(x+5\right)^0$
• Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0":          $\left(x+5\right)^{x^2-7x}-\left(x+5\right)^0 > 0$
• Рационализируем разность,    перейдем к сравнению разности показателей с 0 :       $\frac{x^2-7x-0}{\left(x+5-1\right)} > 0$
• Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство          $\frac{x^2-7x}{\left(x+4\right)} > 0$         $\Leftrightarrow$       $\frac{x\left(x-7\right)}{x+4} > 0$
• Метод интервалов:      критические точки     $0$, $7$, $-4$   от неравенства    и    $-5$, $-4$ от ОДЗ.
• Критические точки    $-5 < -4 < 0 < 7$ ;   контрольные точки: $-10$; $-4,5$; $-2$; $3$; $10$. Проверка знаков.
• Все проверки приведут к решениям, интервалам:                ответ     $-4 < x < 0$      $x > 7$

Пример 4:          Решить неравенство      $3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-28\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\le0$

• Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
• Метод Замены:             $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$          $3y^2-28y+3\le0$
• ... Найдем корни    $y_1=9$   $y_2=\frac{1}{3}$      ... разложим по "Виета"       ....   сделаем "возврат"
• $3\cdot\left(y-9\right)\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)\le0$               $\Leftrightarrow$            $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0$
• Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
• $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^1\right)\le0$               $\Leftrightarrow$             $3\cdot\frac{\left(x-\left(-2\right)\right)\cdot\left(x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}\le0$
• Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное       $\frac{27\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{4}\le0$
• Расставим критические точки в порядке возрастания:      -2   и 1 . Получим интервалы разбиения;
• Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала:   ответ        $-2\le x\le1$