Учебник
Алгебра, 10 класс

Пример 1:          Решить показательное неравенство      3x1>813^{x-1}>81   

  • Смысл решения: нужно найти все числа, которые, будучи подставленные вместо xx, выполняют условие неравенства.
  • Сведем неравенство к сравнению степеней    3x1>343^{x-1}>3^4 . Основания наших степеней больше 1:    3>13>1 ....
  • ... "чем больше показатель, тем больше степень"!             Кстати: при основании   0,4<10,4<1 было бы ровно наоборот.
  • В нашем случае:     3x1>343^{x-1}>3^4      \Leftrightarrow      сравнение показателей       x1>4x-1>4      \Leftrightarrow      x>5x>5       "все числа больше 5".

Посмотрим на это с другого взгляда:    обнулим справа       3x181>03^{x-1}-81>0     \Leftrightarrow      3x134>03^{x-1}-3^4>0

... и изучим вопрос "сравнение разности степеней с нулем":       при каких xx она (разность) положительна.

... утверждение: "разность степеней положительна при тех же xx - ах, при которых положительна разность показателей ."

т.е. равносильный процесс решения        3x134>03^{x-1}-3^4>0       \Leftrightarrow         (x1)4>0(x-1)-4>0      ответ     x>5x>5

Теорема:        эквивалентность знака разности степеней со знаком разности их показателей.

  1. Знак разности степеней    aBaCa^B-a^C   совпадает со знаком    BCa1\frac{B-C}{a-1}     при любых a>0a > 0,    a1a\ne1
  2. Сравнение с нулем разности степеней aBaC0a^B-a^C\le0 равносильно с сравнением с нулем выражения   BCa10\frac{B-C}{a-1}\le0
  3. "Сравнение разности степеней с 0"     \Leftrightarrow       "сравнение разности показателей (:(a1)(a-1)) с 0" с тем же знаком.
  4. a1{a-1} в знаменателе    BCa1\frac{B-C}{a-1}   гарантирует правильный учет для обеих ситуаций с "основание больше или меньше 1".
  5. Метод Рационализации:         неравенство        aBaC0a^B-a^C\le0       \Leftrightarrow      BCa10\frac{B-C}{a-1}\le0    -   рациональный аналог.   

Пример 2:          Решить показательное неравенство      1,3x2x<11,3^{x^2-x} < 1   

  • Перепишем как "сравнение разности степеней с 0":      1,3x2x<1,301,3^{x^2-x} < 1,3^0            1,3x2x1,30<01,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0
  • Метод Рационализации:             1,3x2x1,30<01,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0        \Leftrightarrow      x2x0(1,31)<0\frac{x^2-x-0}{\left(1,3-1\right)} < 0   
  • Решаем рациональное неравенство, разложим на множители     (x+0)(x1)0,3<0\frac{\left(x+0\right)\left(x-1\right)}{0,3} < 0
  • Метод интервалов: критические точки      0   и 1   - точки обнуления множителей и делителей.
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10;     0.5;    10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
  • Для   x=0,5x=0,5    выполняется    (+)()(+)<0\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0.   При -10 и 10 не выполняется.      ответ     0<x<1 0 < x < 1

Пример 3:          Решить сложно-степенное неравенство      (x+5)x27x>1\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1   

  • сложно-степенное выражение, функция    - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
  • ОДЗ:         x+5>0x+5>0 ,    x+51x+5\ne1 - основание сложно-степенного выражения объязано быть   > 0, и не равно 1.
  • Представим правую часть как степень с основанием   x+5x+5, получим       (x+5)x27x>(x+5)0\left(x+5\right)^{x^2-7x} > \left(x+5\right)^0
  • Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0":          (x+5)x27x(x+5)0>0\left(x+5\right)^{x^2-7x}-\left(x+5\right)^0 > 0
  • Рационализируем разность,    перейдем к сравнению разности показателей с 0 :       x27x0(x+51)>0\frac{x^2-7x-0}{\left(x+5-1\right)} > 0
  • Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство          x27x(x+4)>0\frac{x^2-7x}{\left(x+4\right)} > 0         \Leftrightarrow       x(x7)x+4>0\frac{x\left(x-7\right)}{x+4} > 0
  • Метод интервалов:      критические точки     00, 77, 4-4   от неравенства    и    5-5, 4-4 от ОДЗ.
  • Критические точки    5<4<0<7-5 < -4 < 0 < 7 ;   контрольные точки: 10-10; 4,5-4,5; 2-2; 33; 1010. Проверка знаков.
  • Все проверки приведут к решениям, интервалам:                ответ     4<x<0-4 < x < 0      x>7x > 7

Пример 4:          Решить неравенство      3(13)2x28(13)x+303\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-28\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\le0   

  • Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
  • Метод Замены:             y=(13)xy=\left(\frac{1}{3}\right)^x          3y228y+303y^2-28y+3\le0
  • ... Найдем корни    y1=9y_1=9   y2=13y_2=\frac{1}{3}      ... разложим по "Виета"       ....   сделаем "возврат"
  • 3(y9)(y13)03\cdot\left(y-9\right)\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)\le0               \Leftrightarrow            3((13)x9)((13)x13)03\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0
  • Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
  • 3((13)x(13)2)((13)x(13)1)03\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^1\right)\le0               \Leftrightarrow             3(x(2))(x1)(131)(131)03\cdot\frac{\left(x-\left(-2\right)\right)\cdot\left(x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}\le0
  • Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное       27(x+2)(x1)40\frac{27\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{4}\le0
  • Расставим критические точки в порядке возрастания:      -2   и 1 . Получим интервалы разбиения;
  • Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала:   ответ        2x1-2\le x\le1

Алгоритм:         "Метод рационализации неравенства со степенями".

  • Шаг 1:        Превращаем неравенство к виду   разность степеней сравнить с 0    :         aBaC<0a^B-a^C<0

  • Шаг 2:        Решаем    рационализированное        неравенство           BC(a1)<0\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0

  • Дополнение: Если неравенство имеет вид     XY(aBaC)Z<0X\cdot Y\cdot\left(a^B-a^C\right)\cdot Z < 0    с некими выражениями XX, YY , ZZ ...   то

  • рационализируем вставку    и решаем        XY(BC)Z(a1)<0\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0   . Если есть еще вставка, то и ее "рационализируем".

Причина:       вместо неравенства со степенями удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей.

Замечание:    В неравенствах очень важно то, что "произведение сравнивается с нулем". Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.

Способы разложения на множители:

  • "Виета" ,       разложение квадратного по корням:                        ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right) .
  • "Сокращенное умножение" :      разложение разности квадратов          a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
  • "Вынос за скобки" :            ax2bx=x(axb)ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)                     ax+ay=a(x+y)ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)

Пример 5:       Рационализация   разностей двух степеней, кратко:

  • 2x(7x174)>02^x\cdot (7^{x-1}-7^4)>0,     2x2^x всегда положительно, уберем.    Рационализируем разность:         \Leftrightarrow         (x1)471>0\frac{(x-1)-4}{7-1}>0           ответ     x>5x>5
  • 0,3x2x>10,3^{x^2-x} > 1             Метод Рационализации:             0,3x2x0,30>00,3^{x^2-x}-0,3^0 > 0        \Leftrightarrow      x2x0(0,31)>0\frac{x^2-x-0}{\left(0,3-1\right)} > 0                       ответ     0<x<1 0 < x < 1
  • (x+5)x27x>1\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1       дробное неравенство          x27x((x+5)1)>0\frac{x^2-7x}{\left((x+5)-1\right)} > 0         \Leftrightarrow       x(x7)4>0\frac{x\left(x-7\right)}{4} > 0                   ответ     4<x<0-4 < x < 0      x>7x > 7
  • ((13)x9)((13)x13)0\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0     каждую    рационализируем           ((13)x(13)2)((13)x(13)1)0\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-(\frac{1}{3})^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-(\frac{1}{3})^{1}\right)\le0              (x+2)(x1)(131)(131)0\frac{\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-1)}\le0      отв    2x1-2\le x\le1
  • (23x+15)(4x+0,5)<0(2^{3x+1}-5)\cdot (4^x+0,5)<0   ,       (4x+0,5)(4^x+0,5)   отбросим, заведомо >0>0,      (23x+12log25)<0(2^{3x+1}-2^{\log_2{5}})<0       \Leftrightarrow           (3x+1)log2521<0\frac{(3x+1)-\log_2{5}}{2-1}<0           отв     x<log2513x<\frac{\log_2{5}-1}{3}

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения:

Решить простейшие показательные неравенства

Решить показательные, сложно-степенные неравенства, (неизвестное в основании)

Решить показательные неравенства методом замены

Пиши решения своих (несколько) неравенств (по одной в строке)

Решить неравенства 10-11 класс

Решения, ответы нескольких показательных, сложно-степенных неравенств (10-11 класс)