Пример 1: Решить показательное неравенство 3x−1>81
- Смысл решения: нужно найти все числа, которые, будучи подставленные вместо x, выполняют условие неравенства.
- Сведем неравенство к сравнению степеней 3x−1>34 . Основания наших степеней больше 1: 3>1 ....
- ... "чем больше показатель, тем больше степень"! Кстати: при основании 0,4<1 было бы ровно наоборот.
- В нашем случае: 3x−1>34 ⇔ сравнение показателей x−1>4 ⇔ x>5 "все числа больше 5".
Посмотрим на это с другого взгляда: обнулим справа 3x−1−81>0 ⇔ 3x−1−34>0
... и изучим вопрос "сравнение разности степеней с нулем": при каких x она (разность) положительна.
... утверждение: "разность степеней положительна при тех же x - ах, при которых положительна разность показателей ."
т.е. равносильный процесс решения 3x−1−34>0 ⇔ (x−1)−4>0 ответ x>5
Теорема: эквивалентность знака разности степеней со знаком разности их показателей.
- Знак разности степеней aB−aC совпадает со знаком a−1B−C при любых a>0, a=1
- Сравнение с нулем разности степеней aB−aC≤0 равносильно с сравнением с нулем выражения a−1B−C≤0
- "Сравнение разности степеней с 0" ⇔ "сравнение разности показателей (:(a−1)) с 0" с тем же знаком.
- a−1 в знаменателе a−1B−C гарантирует правильный учет для обеих ситуаций с "основание больше или меньше 1".
- Метод Рационализации: неравенство aB−aC≤0 ⇔ a−1B−C≤0 - рациональный аналог.
Пример 2: Решить показательное неравенство 1,3x2−x<1
- Перепишем как "сравнение разности степеней с 0": 1,3x2−x<1,30 1,3x2−x−1,30<0
- Метод Рационализации: 1,3x2−x−1,30<0 ⇔ (1,3−1)x2−x−0<0
- Решаем рациональное неравенство, разложим на множители 0,3(x+0)(x−1)<0
- Метод интервалов: критические точки 0 и 1 - точки обнуления множителей и делителей.
- Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10; 0.5; 10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
- Для x=0,5 выполняется (+)(+)(−)<0. При -10 и 10 не выполняется. ответ 0<x<1
Пример 3: Решить сложно-степенное неравенство (x+5)x2−7x>1
- сложно-степенное выражение, функция - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
- ОДЗ: x+5>0 , x+5=1 - основание сложно-степенного выражения объязано быть > 0, и не равно 1.
- Представим правую часть как степень с основанием x+5, получим (x+5)x2−7x>(x+5)0
- Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0": (x+5)x2−7x−(x+5)0>0
- Рационализируем разность, перейдем к сравнению разности показателей с 0 : (x+5−1)x2−7x−0>0
- Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство (x+4)x2−7x>0 ⇔ x+4x(x−7)>0
- Метод интервалов: критические точки 0, 7, −4 от неравенства и −5, −4 от ОДЗ.
- Критические точки −5<−4<0<7 ; контрольные точки: −10; −4,5; −2; 3; 10. Проверка знаков.
- Все проверки приведут к решениям, интервалам: ответ −4<x<0 x>7
Пример 4: Решить неравенство 3⋅(31)2x−28⋅(31)x+3≤0
- Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
- Метод Замены: y=(31)x 3y2−28y+3≤0
- ... Найдем корни y1=9 y2=31 ... разложим по "Виета" .... сделаем "возврат"
- 3⋅(y−9)⋅(y−31)≤0 ⇔ 3⋅((31)x−9)⋅((31)x−31)≤0
- Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
- 3⋅((31)x−(31)−2)⋅((31)x−(31)1)≤0 ⇔ 3⋅(31−1)(31−1)(x−(−2))⋅(x−1)≤0
- Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное 427⋅(x+2)⋅(x−1)≤0
- Расставим критические точки в порядке возрастания: -2 и 1 . Получим интервалы разбиения;
- Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала: ответ −2≤x≤1
Алгоритм: "Метод рационализации неравенства со степенями".
-
Шаг 1: Превращаем неравенство к виду разность степеней сравнить с 0 : aB−aC<0
-
Шаг 2: Решаем рационализированное неравенство (a−1)B−C<0
-
Дополнение: Если неравенство имеет вид X⋅Y⋅(aB−aC)⋅Z<0 с некими выражениями X, Y , Z ... то
-
рационализируем вставку и решаем (a−1)X⋅Y⋅(B−C)⋅Z<0 . Если есть еще вставка, то и ее "рационализируем".
Причина: вместо неравенства со степенями удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей.
Замечание: В неравенствах очень важно то, что "произведение сравнивается с нулем". Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.
Способы разложения на множители:
- "Виета" , разложение квадратного по корням: ax2+bx+c=a⋅(x−x1)⋅(x−x2) .
- "Сокращенное умножение" : разложение разности квадратов a2−b2=(a−b)(a+b)
- "Вынос за скобки" : ax2−bx=x⋅(ax−b) ax+ay=a⋅(x+y)
Пример 5: Рационализация разностей двух степеней, кратко:
- 2x⋅(7x−1−74)>0, 2x всегда положительно, уберем. Рационализируем разность: ⇔ 7−1(x−1)−4>0 ответ x>5
- 0,3x2−x>1 Метод Рационализации: 0,3x2−x−0,30>0 ⇔ (0,3−1)x2−x−0>0 ответ 0<x<1
- (x+5)x2−7x>1 дробное неравенство ((x+5)−1)x2−7x>0 ⇔ 4x(x−7)>0 ответ −4<x<0 x>7
- ((31)x−9)⋅((31)x−31)≤0 каждую рационализируем ((31)x−(31)−2)⋅((31)x−(31)1)≤0 (31−1)(31−1)⋅(x+2)⋅(x−1)≤0 отв −2≤x≤1
- (23x+1−5)⋅(4x+0,5)<0 , (4x+0,5) отбросим, заведомо >0, (23x+1−2log25)<0 ⇔ 2−1(3x+1)−log25<0 отв x<3log25−1
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения:
Решить простейшие показательные неравенства
Решить показательные, сложно-степенные неравенства, (неизвестное в основании)
Решить показательные неравенства методом замены
Пиши решения своих (несколько) неравенств (по одной в строке)
Решить неравенства 10-11 класс
Решения, ответы нескольких показательных, сложно-степенных неравенств (10-11 класс)