Основное тождество $\log_ab=n$ $\Leftrightarrow$ $b=a^n$ $a^{\log b_a}=b$ Логарифм есть показатель степени.
сумма логарифмов $\log_ax+\log_ay=\log_axy$ логарифм произведения. разность логарифмов $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$
вынос показателя степени $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$ внесение под знак логарифма $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$
обратное логарифма $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$ формула замены основания: $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$
Решение простейшего: $\log_af\left(x\right)=c$ $\Rightarrow$ $f\left(x\right)=a^c$ $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$ $\Rightarrow$ $f\left(x\right)=g\left(x\right)$
- По основному тождеству: аргумент логарифма равен основанию в степени правая часть. "вскрыть логарифм".
- При равенстве двух логарифмов с одним и тем же основанием, приравниваем аргументы этих логарифмов.
- Все что нужно уметь для решения простейшего логарифмического уравнения - это знать "что такое логарифм".
Пример 1: Решить уравнение $\log_{49}\left(2x-1\right)=0.5$
- Какими решения не могут быть в принципе? нужно указать Область Допустимых Значений:
- О.Д.З. $2x-1 > 0$ ограничение: недопустимо чтобы под логарифмом оказалось неположительная величина.
- "вскроем логарифм" по основному тождеству: аргумент уравняется с "основанием в степени правое число",
- $\log_af\left(x\right)=c$ $\Rightarrow$ $f\left(x\right)=a^c$ в нашем случае $a=49$ $f\left(x\right)=2x-1$ $c=0.5$ получаем
- $2x-1=49^{0.5}$ $\Rightarrow$ $2x=7+1$ $\Rightarrow$ $x=4$ проверка О.Д.З. , удовлетворяет. Ответ: $x=4$
Пример 2: Решить уравнение $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}36=\log_{\frac{1}{3}}10$ О.Д.З. $x > 0$
- Здесь два логарифма. для превращения в простейшее уравнение, превратим два логарифма в один по формуле
- разности логарифмов: $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$ здесь $a=\frac{1}{3}$ $x=x$ $y=36$ . тогда получим
- $\log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{36}=\log_{\frac{1}{3}}10$ решаем как простейшее $\frac{x}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}10}$ получаем $\frac{x}{36}=10$ проверим О.Д.З.,
- Ответ: $x=360$
- можно было: перенести числовой логарифм вправо $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}36+\log_{\frac{1}{3}}10$ упростить по формуле
- $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}\left(36\cdot10\right)$ и так далее .....
Пример 3: Решить уравнение $\log_{0.6}\left(2x^2-3x+1\right)=\log_{0.6}\left(13-x\right)$
- О.Д.З. $2x^2-3x+1 > 0$ $13 > x$ комментарий: 2 логарифма, 2 условия ОДЗ. в конце нужно проверить оба.
- два логарифма с одинаковыми основаниями равны? значит, по основному тождеству можно приравнять
- аргументы. $2x^2-3x+1=13-x$ , перенесем все в левую часть $2x^2-2x-12=0$ , разделим на $2$
- $x^2-x-6=0$ решим уравнение. проверим ОДЗ ..... Ответ: $x_1=-2$ ; $x_2=3$
Алгоритм:
-
Написать ограничения ОДЗ: условия верности - допустимости возможных решений
-
По возможности уменьшать количество логарифмов - использовать преобразования для сведения к одному логарифму.
-
Эквивалентными преобразованиями свести уравнение к простейщему виду: логарифм равен числу, или логарифму.
-
"Вскрыть" простейщее логарифмическое уравнение, перейти к не - логарифмическому, более простому и решить.
-
Полученные корни - решения проверить на выполнение ОДЗ, ограничений: проверка ложности кандидата.
Интерактивная Доска:
Упражнения: