Учебник
Алгебра, 10 класс

Пример 1:              Решить уравнение              $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$                      

  • надо найти все значения    $x$ ,   при которых левая часть уравнивается с правой,   т.е.   углы, чей косинус    $-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
  • т.е.   все   углы, точки   которых на    Е.Т.О.    имеют     $x$ - координатой       $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.    таких   бесконечно много,
  • а соответствующих точек    на   Е.Т.О.   всего   две:   одна   во   $2$-ой   четверти       $\frac{3\pi}{4}$   со   всеми     $2\pi$ прокрутками,
  • другая          $\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$        с   любым    $-+2\pi\cdot n$ .        Все   эти   углы   можно   записать   в виде    двух   серий    решений:
  • ответ:          $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$         $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m$                        где     $n$    и   $m$   целые   числа,      "полные   прокрутки".

Формула   решения   простейшего   косинус   -   уравнения   

  1. "Простейшим"    тригонометрическим уравнением называется     cos (что-то от $x$ ) = числу.
  2. $\cos f\left(t\right)=A$        при       $\left|A\right|\le1$       решения:              $f\left(t\right)=\arccos A+2\pi n$      и        $f\left(t\right)=-\arccos A+2\pi m$        $2$ серии.
  3.                                    при       $\left|A\right| > 1$       решений нет.      никакой угол не может иметь координату на   Е.Т.О   больше единицы.
  4. Любое уравнение на каком-то этапе процесса решения "приводится" к простейшему виду ... и "вскрывается" по формулам.

Пример 2:              Решить уравнение              $\cos x=0,4$                      

  • На   Е.Т.О.    ровно две точки     $x$ - координата которых равна $0,4$.               Какие углы изображают    эти точки?
  • В первой четверти угол    $\arccos0,4$      "попадает" в одну из этих точек. В четвертой четверти угол     $-\arccos0,4$ имеет нужную $x$ - координату.
  • замечание:        $\arccos0,4$     есть именно тот угол, чей косинус равен   $0,4$.    Т.е. его точка имеет   $x$ - координату    $0,4$.
  • Но кроме этих двух углов, в эти точки попадают все углы, "докрученные" на полные обороты. т.е.      $-+2\pi\cdot n$,    "полные   прокрутки".
  • ответ:          $x=\arccos0,4+2\pi n$         $x=-\arccos0,4+2\pi m$                        где     $n$    и   $m$   целые   числа,   

Тривиальные случаи:                  cos   равен      -1,     0      или   1.

  • $\cos x=-1$     $\Rightarrow$      крайняя   левая   точка   на   Е.Т.О             $\Rightarrow$        $x=\pi+2\pi n$        -   одна серия.
  • $\cos x= 0$       $\Rightarrow$        две точки на Е.Т.О, верхняя и нижняя      $\Rightarrow$       в одну серию      $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$     пол-оборотов .
  • $\cos x= 1$       $\Rightarrow$        одна,   правая   точка   на   Е.Т.О                $\Rightarrow$       в одну серию      $x=2\pi n$

           

Решения простых тригонометрических уравнений, одна функция, числа

Пример 3:              Решить уравнение:               $\sqrt{18}+6\cdot\cos\left(\frac{x}{3}\right)=0$

  • стратегия:    надо выразить функцию,   приравнять числа.    оголить.       получить: функция равна числу, простейшее.
  • перенесем слагаемое    вправо   $6\cdot\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\sqrt{18}$     $\Leftrightarrow$   перенесем туда же множитель      $\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{18}}{6}$
  • упростим числа справа $\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{6}$    $\Leftrightarrow$ еще раз $\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$    $\Leftrightarrow$    получили:    функция = числу.
  • первая серия решений       :    $\frac{x}{3}=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\cdot\pi\cdot n$            знак   / - /    в формуле.
  • вторая серия решений       :     со знаком   \ + \   перед арк-косинус          $\frac{x}{3}=\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\cdot\pi\cdot m$
  • упростим первую     $\frac{x}{3}=-\frac{3\pi}{4}+2\cdot\pi\cdot n$ ,     упростим вторую        $\Rightarrow$     $\frac{x}{3}=\frac{3\pi}{4}+2\cdot\pi\cdot m$
  • уберем делитель в 1-ой серии $x=3\cdot\left(-\frac{3\pi}{4}+2\cdot\pi\cdot n\right)$ , аналогично во 2-ом      $x=3\cdot\left(\frac{3\pi}{4}+2\cdot\pi\cdot m\right)$
  • упростим, приукрасим    Ответы:             $x=-\frac{9\pi}{4}+6\cdot\pi\cdot n$       и        $x=\frac{9\pi}{4}+6\cdot\pi\cdot m$   .

Пример 3, еще:              Решить уравнение:               $18+\sqrt{6}\cdot\cos\left(\frac{x}{3}\right)=0$

  • перенесем слагаемое, $\sqrt{6}\cdot\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-18$              перенесем   множитель $\sqrt{6}$ :
  • $\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\frac{18}{\sqrt{6}}$        теперь арккосинус? нет, потому что справа число меньшее $-1$,
  • $\arccos\left(-\frac{18}{\sqrt{6}}\right)$    не число, {Цвет:Red инвалид, такое же недорозумение, как например   $\sqrt{-9}$.
  • Ответ:      У уравнения      $\cos\left(\frac{x}{3}\right)=-\frac{18}{\sqrt{6}}$    нет решений.

Пример 3: еще         Решить уравнение:           $\sqrt{6}+18\cdot\cos\left(\frac{t}{3}\right)=0$

  • переносы:   $18\cdot\cos\left(\frac{t}{3}\right)=-\sqrt{6}$           $\Rightarrow$           $\cos\left(\frac{t}{3}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{18}$
  • число    $-\frac{\sqrt{6}}{18}\approx-\frac{2,5}{18}\approx-\frac{5}{36}\approx-0,2$      находится в интервале    $\left[-1;1\right]$, значит, решения есть в виде двух серий
  • $\left(\frac{t}{3}\right)=\arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +2\pi n$                      $\left(\frac{t}{3}\right)=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +2\pi m$
  • арккосинус от минуса следует "переделать" на плюсовой по свойству:      $\arccos\left(-a\right)=\pi-\arccos a$
  • Тогда, получим    $\left(\frac{t}{3}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +2\pi n$                      $\left(\frac{t}{3}\right)=-\pi+\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +2\pi m$
  • теперь, надо из этих равенств найти   $t$.   Это легко, если   смотреть по проще на эти уравнения: как на простое $\left(\frac{t}{3}\right)=5$.
  • Ответы:            $t=3\pi-3\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +6\pi n$                    $t=-3\pi+3\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{18}\right) +6\pi m$

Напоминание:         из свойств арккосинусов

  1. Арккосинус ( $\arccos a$ ) числа есть единственный угол из интервала $\left[0;\pi\right]$   такой, что   $\cos\left(\arccos a\right)=a$
  2. Если   $a>1$   или   $a<-1$, то     $\arccos a$     не существует, инвалид!
  3. Для положительных $a$ - чисел     $\arccos a$    есть угол из 1-ой четверти, из интервала      $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$
  4. Для отрицательных    $a$ - чисел     $\arccos a$   - угол из 2-ой четверти, из интервала      $\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$
  5. Формула "передельки" минусового под арккосинусом:   $\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$, $\arccos\left(-a\right)=\pi-\arccos\left(a\right)$
  6. При решении уравнения ответ должен быть записан через арккосинус положительного числа.   Нельзя оставлять     $\arccos\left(-0,7\right)$

Упражнения