I. Вся планиметрия: теоремы, свойства, формулы на 4-х сценах

Сцена 1:    В трапеции $ABCD$   из вершины   $A$ проведена прямая   $AM$ составляющая со сторонами трапеции углы $25$ градусов. Из точки проведена $M$ прямая $MK$ к основанию под $50$ градусов. Из вершины $C$ проведенная прямая   $CP$ составляет также   $50$ градусов. Боковая сторона $AB$ равна 8, отрезок $KP$ равен 4, отрезок $PD$ равен $8$, .     Найти много чего!   

• Свойства: При пересечении двух параллельных линий с их Sекущей, образованные углы:
  
• Nакрест лежащие   углы равны                      $\angle MAD=\angle AMB$                 $\angle MCP=\angle CPD$              $\angle MKC=\angle KCP$
• Sумма Odносторонних   углов 180 град                        $\angle BAK+\angle ABC=180^o$                  $\angle KMC+\angle MCP=180^o$
• Sоответственные   углы равны                                $\angle MKP=\angle CPD$               $\angle BMK=\angle BCP$
  
•    Свойства: Uгол   =   Vершина   + два Lуча.                       .... противоположные Lучи, продолжения в обратную ... :
  
• Vертикальные   углы равны                      $\angle MAD=\angle AMB$                 $\angle MCP=\angle CPD$              $\angle MKC=\angle KCP$
• Sумма Sмежных   углов 180 град                        $\angle BAK+\angle ABC=180^o$                  $\angle KMC+\angle MCP=180^o$
•    Свойства:     Углы треугольника.    Биссектриса.      Равнобедренный треугольник:
• Bissектриса    из вершины угла делит его на два равных угла:         $\angle BAM=\angle MAK$           $\angle AKB=\angle BKM$
• Vнешний Uгол $\bigtriangleup -$ка равен сумме 2-х не Sмежных с ним.     $\angle AMC=\angle BAM+\angle ABM$               $\angle MPD=\angle PMK+\angle MKP$
• Sумма всех Uглов    треугольника равна 180 градусов.                  $\angle ABM+\angle BMA +\angle MAB=180^o$
• В Rавнобедренном Tреугольнике углы при Oсновании равны. Боковые Sтороны равны           $\angle BMA=\angle AMB$           $BA=MB$
• Sимметрии:     Ось Zеркальной sимметрии: слева и справа от Mедианы     $BH=h$   все одинаково!        $\bigtriangleup BHA=\bigtriangleup BHM$
• В Rавнобедренном: к Oснованию биссектриса, медиана и высота совпадают!    $\angle ABH=\angle HBM$      $AH=HM$      $BH \perp AM$

        

• Параллелограмм: $KMCP$      Противоположные    Sтороны   параллельны   и    равны    $KM=CP$    ,     $MC=KP$ .
• Противоположные     Uглы     $\angle KMC=\angle CPK$ ,        Сумма прилежащих Uглов $180^o$ :    $\angle KMC+\angle MKP=180$     ,     .
• Dиагонали образуют   равные   треугольники:       $\bigtriangleup MLC=\bigtriangleup KLP$      ;      $\bigtriangleup KLM=\bigtriangleup PLC$.
• Dиагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам    $ML=LP=\frac{MP}{2}$      ,       $KL=LC=\frac{KC}{2}$ .
• Rомб: $ABMK$ Sимметричен относительно точки $H$ - пересечения диагоналей.      $H$ - центр Sимметрии.
• Симметричен относительно Dиагоналей.       Dиагональ - ось симметрии. .     Sтороны   равны     $AB=BM=MK=KA=a$
• Противолежащие Uглы    равны . Прилежащие в сумме 180.   Dиагонали делятся пополам .
• Dиагонали   взаимно перпендикулярны $AM \perp BK$   и   образуют равные Прямоугольные   $\bigtriangleup ABH = \bigtriangleup BHM$.
• Dиагонали    являются    Biссектрисами углов $\angle BAM=\angle MAK$ .   образуют Rавнобедренные   $\bigtriangleup$
• Tрапеция: $ABMP$ Параллельные   стороны   называются   Oснованиями,     $BM \parallel AP$ .   Другие две - боковыми сторонами.
• Сумма Oдносторонных Uглов при боковой стороне    $180^{\circ}$ :   $\angle BMP + \angle MPA = 180^{\circ}$    ,       $\angle ABM + \angle BAP = 180^{\circ}$.
• Dиагонали с основаниями   образуют равные   Nакрест лежащие углы:        $\angle MBP=\angle BPA$,         $\angle BMA=\angle MAP$
• Dиагонали с основаниями   образуют подобные треугольники           $\bigtriangleup BQM \sim \bigtriangleup AQP$            $\frac{BQM}{AQP}=(\frac{BM}{AQ})^2$

   

Сцена 2:    В трапеции $ABCD$   средняя линия   $MN$ разбывается высотами    $BH$ и $CK$   на три отрезка    $MP=3$,     $PQ=12$,     $QN=7,5$.    Высота трапеции равна   $BH=8$ . В треугольнике   $\bigtriangleup CKD$ проведены высота $KL$ и медиана $KN$. Из вершины $C$ проведена линия $CF$ параллельно боковой стороне $AB$.    Найти много чего!   

• Теорема Фалеса: Параллельные полоски отрезают от секущих пропорциональные отрезки     $\frac{BM}{AM}=\frac{BP}{PH}=\frac{CE}{EF}=\frac{CQ}{QK}=\frac{CN}{ND}$
• Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна ее половине:          $QN=\frac{KD}{2}$    $MP=\frac{AH}{2}$      $EQ=\frac{FK}{2}$      $EN=\frac{FD}{2}$
• Средняя линия трапеции    параллельна основаниям и равна их полусумме:      $MN=\frac{BC+AD}{2}$     $MQ=\frac{BC+AD}{2}$       $PN=\frac{BC+HD}{2}$
• Площади фигур: Общее для всех: площадь равна произведению средней линии на высоту!         $S=\frac{a+b}{2} \cdot h$
• Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину    ... умножение сторон:          $S_{HBCK}=BC\cdot BH$
  
• Аддитивность площади:    площадь фигуры равен сумме площадей его частей, кусков.            $S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCK}+S_{KCD}$              $S_{HBK}=S_{HBCD}:2$         $S_{FCD}=S_{FCK}+S_{KCD}$            $S_{ABCF}=S_{ABH}+S_{HBCK}-S_{FCK}$
• Медиана на гипотенузу:    прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы:         $KN=\frac{CD}{2}$        $HM=\frac{AB}{2}$
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:          $S_{KCD}=\frac{KD\cdot CK}{2}$        $S_{ABH}=\frac{AH\cdot BH}{2}$
• Площадь треугольника равен половине произведения стороны на свою высоту:        $S_{FCD}=\frac{FD\cdot CK}{2}$      $S_{KCD}=\frac{KL\cdot CK}{2}$
• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на свою    высоту:           $S_{ABCF}=BC\cdot BH$

• Подобие прямоугольных треугольников ... хотя бы 1 острый одинаковый:        $\bigtriangleup KCD \sim \bigtriangleup KLD \sim \bigtriangleup KLC$       $\bigtriangleup BPM \sim \bigtriangleup BHA$.
• Тригонометрия углов прямоугольного треугольника: Все прямоугольные с одним и тем же   острым углом подобные!
• $\sin KCD=\frac{KD}{CD}$          $\sin KCD=\frac{KL}{KC}$          $\cos KCD=\frac{KC}{CD}$           $\tg KCD=\frac{KD}{CK}$         $\ctg KCD=\frac{CK}{KD}$          $\cos LKD=\frac{KL}{KD}$
• sin = протиположный : гипотенузу        cos = прилеж : гипотен        tg = протипол : прилеж         ctg = прилеж : протиполож
• Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.     $CK^2+KD^2=CD^2$             $KL^2+LN^2=KN^2$
• Основное тождество тригонометрии:        $\sin^2 \angle CDK+\cos^2 \angle CDK=1$              $\sin^2 \angle BAD+\cos^2 \angle BAD=1$
• Высота в прямоугольном делит на подобные, равен средне-геометрическому отрезков гипотенузы     $KL=\sqrt{CL\cdot LD}$
• Площадь треугольника равен половине произведения сторон на синус угла м/д    ними:        $S_{FCD}=\frac{1}{2} \cdot FD \cdot DC \cdot \sin\angle FDC$
• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на синус угла м/д ними:           $S_{ABCF}=AB\cdot AF \cdot \sin\angle BAF$
• Теорема косинусов: Связь 3-х сторон и косинуса угла        $CD^2=FC^2+FD^2-2\cdot FC \cdot FD \cdot \cos \angle CFD$
• Тупой угол vs смежный с ним острый:          $\sin \angle CFA=+\sin \angle CFD$             $\cos \angle CFA=-\cos \angle CFD$

Сцена 3:    Дана окружность с центром $O$ и радиусом $r=R=7$. Точки     $A,B,C,D$   на окружности делят всю окружность пропорционально числам 5 : 3 : 2 : 2.   В этих точках проведены касательные к окружности. На рисунке образовались углы, треугольники вписанные и описанные, четыреъугольники вписанные т оптсанные. Найти много чего!   

• Пропорциональное деление    на доли 5 : 3 : 2 : 2 означает, что есть такое $x$, что полученные части равны     $5x$, $3x$, $2x$, $2x$
• Центральный угол угловую меру дуги, которую угол стягивает:                 $\angle AOD=∪AD$              $\angle AOB=∪AB$
• Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую угол опирается:       $ \angle BDA=\frac{\cup AB}{2}$             $\angle DAB=\frac{∪DC+∪CB}{2}$
• Радиусы образуют равнобедренные $\bigtriangleup$:    $OA=OB=R$     $OC=OD=R$    $\angle OCB=\angle OBC$
• Окружность описан вокруг 4-х угольника:     равные суммы противоположных углов          $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$
• Центр окружности, описанной вокруг    $n$-угольника:    находится на пересечении серединных перпендикуляров. Равноудален!
• Радиус окружности, описанной вокруг $\bigtriangleup ABD$:           $R\cdot 4S_{ABD}=AB\cdot BD\cdot DA$
• Связь радиуса описанной и стороны $\bigtriangleup ABC$:                 $\angle BAC=\frac{\angle BOC}{2}$         $\sin \angle BAC=\frac{0,5BC}{R}$
• Теорема Синусов,        $\bigtriangleup $:                $\frac{\sin \angle BAC}{BC}=\frac{\sin \angle CBA}{CA}=\frac{\sin \angle ACB}{AB}=\frac{1}{2R}$    синусы пропорциональны сторонам напротив.

                  

• Обе касательных от точки к окружности    равны:   $LA=LB$        $KC=KB$       $QD=QB$        $\bigtriangleup OMA=\bigtriangleup OMD$
• Касатальная и радиус в точке касания    перпендикулярны:      $OA\perp ML$     $OC\perp NK$   $OB\perp QL$
• Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис, равноудален от сторон.    $\angle MQO= \angle LQO$
• Радиус вписанной окружности в   $n$-угольник            $r\cdot p_{QML}=S_{QML}$        $r\cdot p_{MNKL}=S_{MNKL}$   полупериметр, площадь
• Окружность вписан в 4-х угольник:       равные суммы противоположных сторон:   $ML+NK=MN+KL$
• Соединение центра с вершинами и точками касания образует несколько пар равных прямоугольних $\bigtriangleup $

Сцена 4:     В трапеции    $ABCD$ основание   $ВС$ и боковая сторона    $CD$ являются касательными к окружности, описанной вокруг треугольника   $ABD$. Найдите площадь треугольника $ABD$, если известно, что     $AD=4\sqrt{3}$ и    $\angle BCD=120^{\circ}$. Боковые стороны продлены до пересечения. Докажите подобия, свойства секущих, хорд, углов.

• Касательные от точки к окружности равны    $CB=CD$ перпендикулярны радиусам   $CB\perp OB$ ,   $CD\perp OD$
• Угол м\д касатальной и хордой равен половине заключенной дуги    $ \angle CBD=\frac{\cup BD}{2}= \angle CDB$
• Одинаковый состав углов приводит к подобию     $\bigtriangleup BCD \sim \bigtriangleup ABD $      $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$
• Параллельные линии на окружности вырезают равные дуги:              $BC \parallel AB$           $\cup AB=\cup BD$
• Продолжение боковых сторон трапеции образует подобные треугольники         $\bigtriangleup AKD \sim \bigtriangleup BKC $
• Параллельная стороне треугольника отсекает подобный ему $\bigtriangleup $ :           $\frac{AK}{BK}=\frac{DK}{CK}=\frac{AD}{BC}=k$ - коэффициент подобия
• Отношения При Подобиях:        схожие отрезки относятся как   $k:1$;           площади как   $k^2:1$;        схожие   углы $1:1$

• Две секущих из внешней точки окружности образуют подобные треугольники         $\bigtriangleup KMB \sim \bigtriangleup KAL $
• Внешний угол окружности м\д секущими равен полуразности заключенных дуг     $ \angle AKM=\frac{\cup AM - \cup BL}{2}$
• Произведения отрезков секущих от одной точки равны м\д собой        $KB\cdot KA=KL\cdot KM$
• Квадрат касатальной равен произведению отрезков секущей из то же точки       $KD^2=KB\cdot KA$
• Две пересекающиеся хорды    образуют подобные треугольники           $\bigtriangleup QLD \sim \bigtriangleup QAM $
• Внутрений угол окружности м\д хордами равен полусумме заключенных дуг              $ \angle AQM=\frac{\cup AM - \cup LD}{2}$
• Произведения отрезков пересекающихся хорд    равны м\д собой           $LQ\cdot QM=DQ\cdot QA$ ,           $BH\cdot HM=AH\cdot HD$

Лайфхаки   top - планиметрии

• Отношение площадей подобных $\bigtriangleup $-ов равно   квадрату коэффициента подобия
• Отношение площадей $\bigtriangleup $-ов с одинаковой высотой равен отношению сторон этих высот.
• Отношение площадей $\bigtriangleup $-ов с одинаковым углом равен умножению отношений прилежащих сторон
• Медианы разрезают $\bigtriangleup $ на шесть равных по площади частей.        Каждая медиана делит на 2 равных по площади.

• Площади частей трапеции можно выразить как доли площади всей трапеции через отношения отрезков.
• Отношения отрезков диагоналей в трапеции, параллелограмме выражаются как доли диагоналей через подобия.
• Отношения частей диагоналей, других внутренных отрезков 4-х угольника определяют долю площади частей во всей площади.
• Какова доля $S_{MONK}$ в площади трапеции $S_{ABCD}$ ?    через доли $S_{MON}$ и $S_{MNK}$, через доли частей отрезков.

• Касательная к окружности:     как связан с радиусом, с другим касательным, с секущим?
• Ридиусы образуют равнобедренные $\bigtriangleup $-и: Какие углы равные? Диаметр проходит по середине основания.
• В окружности мало дуго и много углов, реальных и воображаемых, не дорисованных
• Каждая дуга связанна со многоми углами: в окружности полезно искать равные или связанные углы

         

• Есть равные углы?     полезно искать подобные   $\bigtriangleup $-и. Реализовать   подобия!
• подобные $\bigtriangleup $-и приведут к пропорции отрезков. Что из того?
• Из внешней точки выходят секущие? умножения их частей = const.    Искать равные углы.
• Хорды пересекаются?    умножения их частей = const.    Искать равные углы.
• Углы, опирающиеся на диаметр оипраются на полу-окружность, образуют   высоты, катеты.

• Касания окружностей: точка касания лежит на линии центров.    Касание хоть внешнее, хоть изнутри
• Расстояние м\д центрами равен сумме радиусов. Если изнутри, то разности.   $O_{1}O_{2}=R \pm r$
• Общие касательные к обеим окружностям перпендикулярны радиусам, эти радиусы параллельны.
• Касательная, радиусы $r,R$ и отрезок $O_{1}O_{2}$ образуют прямоугольную трапецию. Высота в нем важна!

• Пересечение окружностей:    Соединие точек пересечения перпендикулярно соединению центров.
• Треугольники центров, точек пересечения .... равнобедренные: искать подобнык $\bigtriangleup $-и.
• Соединение центров, точек касания .... искать подобные $\bigtriangleup $-и. Средние линии?
• Полезно: высматривать углы через дуги разных окружностей.

Теорема Менелая:     Неизвестная точка получается на пересечении линий по заданным точкам. Как добраться?

• Проводим параллельные, чтоб использовать известные пропорции.
• Написать   2 - 3    подобия   с выходом, зацепкой неизвестной точки. Поймать точку.

II. Теоремы,          свойства,        формулы

Всё о площадях :

• 1.         У   прямоугольника    площадь   есть   произведение   сторон          $S=a\cdot b$ .
• 2.         У    "параллелограммо - образных"    фигур     (ромб, квадрат, прямоугольник)   площади    находятся   одинаково:
• Формула:               $S=a\cdot h$   -   основание на высоту       ;      ширина на высоту ;    средная линия на высоту
  
• Формула:         $S=a\cdot b\cdot\sin A$   -    сторона   на   сторону и   синус   угла   между   ними.
• 3.         У   "островершинных   фигур"   (треугольник, сектор)    формулы    площади всё те же   ,   но с коэффициентом $1/2$
  2.          $S=\frac{1}{2}ah$    -    так же основание на высоту, но пополам .        Средная линия на высоту.
• 4.         У   сектора   площадь :   длина дуги ("основа") на радиус ("высота") и на $1/2$.     И   площадь окружности всё также 2.          сводится   к площади прямоугольника:   длина полуокружности - как основание прямоугольника, собранного из мелких 2.          секторов раскроенной окружности ,    умноженная   на   радиус , который равен   "высоте" этого прямоугольника.
• 5.         Ну и конечно, надо знать формулу Герона о площади треугольника через   стороны:       $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.      
  
• 6.         Не менее важно знать связи площади    с   радиусами   вписанной   и   описанной окружностей:2222222222222222222222222222.                         $s=p\cdot r$         ,         $s=\frac{abc}{4R}$.
• 7.         Архиважно   "чувствовать"   главное    свойство: "площадь целой фигуры равна сложению площадей своих кусков" -2.          это    свойство   аддитивности.
• 8.         Отсюда легко прийти к формуле площади трапеции   -   как гибрида из двух треугольников :          $S=\frac{a+b}{2}h$ -    2.          средняя линия   (как "основание")   на   высоту       
  
• 9.         Также   легко   сконструировать и получить   площадь   любого   четырехугольника         $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin BOC$      -2.          половина произведения диагоналей (как "сторон" некоего треугольника) на синус угла между диагоналями.

Всё   об отношении, сравнении   площадей    фигур :

• Если   треугольники имеют общий   угол, то   несложно   выполнить    сравнение   их   площадей   через   общий   синус.
• Отношение   площадей   треугольников   с   общим   углом   равно   произведению   отношений соответствующих   сторон   этих   треугольников.
  
• Любой   многоугольник   можно   разбить   на   треугольник   и ,таким образом,   выполнять сравнение.
• Площади   подобных   треугольников   относятся   как   квадрат   коэффициента   подобия.
• Если   треугольники   имеют   одинаковые    высоты, то   их    площади   относятся   как   основания.      
  
• Медиана   треугольника    делит   его на   равновеликие    треугольники,   отношение   площадей   $1:1$ .
• Диагонали   трапеции   образуют   4 треугольника:   отношение площадей   боковых   $1:1$ ;
• отношение   площадей у оснований   равно отношению самих   оснований.
  

Об углах и отрезках окружности:   теоремы и свойства хорд, секущих и касательных

• Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла.
• Вписанный Угол   равен половине соответствующего центрального угла, половине дуги опирания.
• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.
• Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов (прямой угол).
• Угол при пересечении хорд половина сумм дуг опирания. (внутренный угол окружности).      
  
• При пересечении двух хорд возникают подобные треугольники, произведения отрезков одинаковые.
  
• Теорема: "Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная".
• Угол между секущими равен половине разности дуг, заключенных между секущими. (внешный угол).      
  
• Теорема: "Произведения отрезков секущих одинаковы для всех секущих, проведенных из одной точки".
• Произведение отрезков секущих до 1-ой и 2-ой точек пересечения с окружностью - постоянная".
• Теорема: "В точке окружности проведенная касательная и радиус в точке касания перпендикулярны".
• Теорема: "Квадрат касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки".
• Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине градусной меры заключенной между ними дуги.

Теоремы и факты о вписанной окружности (в угол, в треугольник, в четырехугольник):

• Биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от обеих сторон угла.
  
• Центр окружности, вписанной в угол находится в точке, принадлежащей биссектрисе (равноудалена ...)
• Центр вписанной окружности в треугольник - на пересечении биссектрис.
• Центр вписанных окружностей в любую фигуру - на пересечении биссектрис. Центр равноудален от сторон.
• Радиус к точке касания стороны перпендикулярен стороне (сторона является касательной к окружности).      
  
• Точки касания делят стороны на попарно равные отрезки (касательные из вершины многоугольника).
• Радиус $r$   вписанной (в треугольник, четырехугольник, многоугольник) окружности:     $r=\frac{S}{p}$     ,        $S=p\cdot r$.
  
• "О вписанной в четырехугольник окружности":   можно вписать тогда и только тогда, когда суммы
                            противоложных сторон четырехугольника равны    $a+c=b+d$.

Теоремы и факты об описанной окружности вокруг двух точек, треугольника, четырехугольника:

• Серединный перпендикуляр отрезка - геометрическое место точек, равноудаленное от двух точек .
  
• Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам.
• Центр описанной окружности равноудален   от вершин   треугольника, многоугольника .
• Радиус   $R$    описанной вокруг треугольника окружности:     $R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$   ;     $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$ .
• Теорема   Синусов:    $ \frac{\sin\angle A}{a}=\frac{1}{2R}$      ;          $\frac{\sin\angle B}{b}=\frac{1}{2R}$      ;           $\frac{\sin\angle C}{c}=\frac{1}{2R}$ .      
  
• Вокруг четырехугольника окружность можно описать тогда и только тогда ,   когда   суммы
              противоложных углов четырехугольника равны 180 градусов.     $\angle A+\angle C=180=\angle B+\angle D$

II. Задачи из Задания №16     ЕГЭ - профиль