I. Вся планиметрия: теоремы, свойства, формулы на 4-х сценах
Сцена 1: В трапеции $ABCD$ из вершины $A$ проведена прямая $AM$ составляющая со сторонами трапеции углы $25$ градусов. Из точки проведена $M$ прямая $MK$ к основанию под $50$ градусов. Из вершины $C$ проведенная прямая $CP$ составляет также $50$ градусов. Боковая сторона $AB$ равна 8, отрезок $KP$ равен 4, отрезок $PD$ равен $8$, . Найти много чего!
- Свойства: При пересечении двух параллельных линий с их Sекущей, образованные углы:
- Nакрест лежащие углы равны $\angle MAD=\angle AMB$ $\angle MCP=\angle CPD$ $\angle MKC=\angle KCP$
- Sумма Odносторонних углов 180 град $\angle BAK+\angle ABC=180^o$ $\angle KMC+\angle MCP=180^o$
- Sоответственные углы равны $\angle MKP=\angle CPD$ $\angle BMK=\angle BCP$
- Свойства: Uгол = Vершина + два Lуча. .... противоположные Lучи, продолжения в обратную ... :
- Vертикальные углы равны $\angle MAD=\angle AMB$ $\angle MCP=\angle CPD$ $\angle MKC=\angle KCP$
- Sумма Sмежных углов 180 град $\angle BAK+\angle ABC=180^o$ $\angle KMC+\angle MCP=180^o$
- Свойства: Углы треугольника. Биссектриса. Равнобедренный треугольник:
- Bissектриса из вершины угла делит его на два равных угла: $\angle BAM=\angle MAK$ $\angle AKB=\angle BKM$
- Vнешний Uгол $\bigtriangleup -$ка равен сумме 2-х не Sмежных с ним. $\angle AMC=\angle BAM+\angle ABM$ $\angle MPD=\angle PMK+\angle MKP$
- Sумма всех Uглов треугольника равна 180 градусов. $\angle ABM+\angle BMA +\angle MAB=180^o$
- В Rавнобедренном Tреугольнике углы при Oсновании равны. Боковые Sтороны равны $\angle BMA=\angle AMB$ $BA=MB$
- Sимметрии: Ось Zеркальной sимметрии: слева и справа от Mедианы $BH=h$ все одинаково! $\bigtriangleup BHA=\bigtriangleup BHM$
- В Rавнобедренном: к Oснованию биссектриса, медиана и высота совпадают! $\angle ABH=\angle HBM$ $AH=HM$ $BH \perp AM$
- Параллелограмм: $KMCP$ Противоположные Sтороны параллельны и равны $KM=CP$ , $MC=KP$ .
- Противоположные Uглы $\angle KMC=\angle CPK$ , Сумма прилежащих Uглов $180^o$ : $\angle KMC+\angle MKP=180$ , .
- Dиагонали образуют равные треугольники: $\bigtriangleup MLC=\bigtriangleup KLP$ ; $\bigtriangleup KLM=\bigtriangleup PLC$.
- Dиагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам $ML=LP=\frac{MP}{2}$ , $KL=LC=\frac{KC}{2}$ .
- Rомб: $ABMK$ Sимметричен относительно точки $H$ - пересечения диагоналей. $H$ - центр Sимметрии.
- Симметричен относительно Dиагоналей. Dиагональ - ось симметрии. . Sтороны равны $AB=BM=MK=KA=a$
- Противолежащие Uглы равны . Прилежащие в сумме 180. Dиагонали делятся пополам .
- Dиагонали взаимно перпендикулярны $AM \perp BK$ и образуют равные Прямоугольные $\bigtriangleup ABH = \bigtriangleup BHM$.
- Dиагонали являются Biссектрисами углов $\angle BAM=\angle MAK$ . образуют Rавнобедренные $\bigtriangleup$
- Tрапеция: $ABMP$ Параллельные стороны называются Oснованиями, $BM \parallel AP$ . Другие две - боковыми сторонами.
- Сумма Oдносторонных Uглов при боковой стороне $180^{\circ}$ : $\angle BMP + \angle MPA = 180^{\circ}$ , $\angle ABM + \angle BAP = 180^{\circ}$.
- Dиагонали с основаниями образуют равные Nакрест лежащие углы: $\angle MBP=\angle BPA$, $\angle BMA=\angle MAP$
- Dиагонали с основаниями образуют подобные треугольники $\bigtriangleup BQM \sim \bigtriangleup AQP$ $\frac{BQM}{AQP}=(\frac{BM}{AQ})^2$
Сцена 2: В трапеции $ABCD$ средняя линия $MN$ разбывается высотами $BH$ и $CK$ на три отрезка $MP=3$, $PQ=12$, $QN=7,5$. Высота трапеции равна $BH=8$ . В треугольнике $\bigtriangleup CKD$ проведены высота $KL$ и медиана $KN$. Из вершины $C$ проведена линия $CF$ параллельно боковой стороне $AB$. Найти много чего!
- Теорема Фалеса: Параллельные полоски отрезают от секущих пропорциональные отрезки $\frac{BM}{AM}=\frac{BP}{PH}=\frac{CE}{EF}=\frac{CQ}{QK}=\frac{CN}{ND}$
- Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна ее половине: $QN=\frac{KD}{2}$ $MP=\frac{AH}{2}$ $EQ=\frac{FK}{2}$ $EN=\frac{FD}{2}$
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $MN=\frac{BC+AD}{2}$ $MQ=\frac{BC+AD}{2}$ $PN=\frac{BC+HD}{2}$
- Площади фигур: Общее для всех: площадь равна произведению средней линии на высоту! $S=\frac{a+b}{2} \cdot h$
- Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину ... умножение сторон: $S_{HBCK}=BC\cdot BH$
- Аддитивность площади: площадь фигуры равен сумме площадей его частей, кусков. $S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCK}+S_{KCD}$ $S_{HBK}=S_{HBCD}:2$ $S_{FCD}=S_{FCK}+S_{KCD}$ $S_{ABCF}=S_{ABH}+S_{HBCK}-S_{FCK}$
- Медиана на гипотенузу: прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы: $KN=\frac{CD}{2}$ $HM=\frac{AB}{2}$
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S_{KCD}=\frac{KD\cdot CK}{2}$ $S_{ABH}=\frac{AH\cdot BH}{2}$
- Площадь треугольника равен половине произведения стороны на свою высоту: $S_{FCD}=\frac{FD\cdot CK}{2}$ $S_{KCD}=\frac{KL\cdot CK}{2}$
- Площадь параллелограмма равна произведению стороны на свою высоту: $S_{ABCF}=BC\cdot BH$
- Подобие прямоугольных треугольников ... хотя бы 1 острый одинаковый: $\bigtriangleup KCD \sim \bigtriangleup KLD \sim \bigtriangleup KLC$ $\bigtriangleup BPM \sim \bigtriangleup BHA$.
- Тригонометрия углов прямоугольного треугольника: Все прямоугольные с одним и тем же острым углом подобные!
- $\sin KCD=\frac{KD}{CD}$ $\sin KCD=\frac{KL}{KC}$ $\cos KCD=\frac{KC}{CD}$ $\tg KCD=\frac{KD}{CK}$ $\ctg KCD=\frac{CK}{KD}$ $\cos LKD=\frac{KL}{KD}$
- sin = протиположный : гипотенузу cos = прилеж : гипотен tg = протипол : прилеж ctg = прилеж : протиполож
- Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. $CK^2+KD^2=CD^2$ $KL^2+LN^2=KN^2$
- Основное тождество тригонометрии: $\sin^2 \angle CDK+\cos^2 \angle CDK=1$ $\sin^2 \angle BAD+\cos^2 \angle BAD=1$
- Высота в прямоугольном делит на подобные, равен средне-геометрическому отрезков гипотенузы $KL=\sqrt{CL\cdot LD}$
- Площадь треугольника равен половине произведения сторон на синус угла м/д ними: $S_{FCD}=\frac{1}{2} \cdot FD \cdot DC \cdot \sin\angle FDC$
- Площадь параллелограмма равна произведению стороны на синус угла м/д ними: $S_{ABCF}=AB\cdot AF \cdot \sin\angle BAF$
- Теорема косинусов: Связь 3-х сторон и косинуса угла $CD^2=FC^2+FD^2-2\cdot FC \cdot FD \cdot \cos \angle CFD$
- Тупой угол vs смежный с ним острый: $\sin \angle CFA=+\sin \angle CFD$ $\cos \angle CFA=-\cos \angle CFD$
Сцена 3: Дана окружность с центром $O$ и радиусом $r=R=7$. Точки $A,B,C,D$ на окружности делят всю окружность пропорционально числам 5 : 3 : 2 : 2. В этих точках проведены касательные к окружности. На рисунке образовались углы, треугольники вписанные и описанные, четыреъугольники вписанные т оптсанные. Найти много чего!
- Пропорциональное деление на доли 5 : 3 : 2 : 2 означает, что есть такое $x$, что полученные части равны $5x$, $3x$, $2x$, $2x$
- Центральный угол угловую меру дуги, которую угол стягивает: $\angle AOD=∪AD$ $\angle AOB=∪AB$
- Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую угол опирается: $ \angle BDA=\frac{\cup AB}{2}$ $\angle DAB=\frac{∪DC+∪CB}{2}$
- Радиусы образуют равнобедренные $\bigtriangleup$: $OA=OB=R$ $OC=OD=R$ $\angle OCB=\angle OBC$
- Окружность описан вокруг 4-х угольника: равные суммы противоположных углов $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$
- Центр окружности, описанной вокруг $n$-угольника: находится на пересечении серединных перпендикуляров. Равноудален!
- Радиус окружности, описанной вокруг $\bigtriangleup ABD$: $R\cdot 4S_{ABD}=AB\cdot BD\cdot DA$
- Связь радиуса описанной и стороны $\bigtriangleup ABC$: $\angle BAC=\frac{\angle BOC}{2}$ $\sin \angle BAC=\frac{0,5BC}{R}$
- Теорема Синусов, $\bigtriangleup $: $\frac{\sin \angle BAC}{BC}=\frac{\sin \angle CBA}{CA}=\frac{\sin \angle ACB}{AB}=\frac{1}{2R}$ синусы пропорциональны сторонам напротив.
- Обе касательных от точки к окружности равны: $LA=LB$ $KC=KB$ $QD=QB$ $\bigtriangleup OMA=\bigtriangleup OMD$
- Касатальная и радиус в точке касания перпендикулярны: $OA\perp ML$ $OC\perp NK$ $OB\perp QL$
- Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис, равноудален от сторон. $\angle MQO= \angle LQO$
- Радиус вписанной окружности в $n$-угольник $r\cdot p_{QML}=S_{QML}$ $r\cdot p_{MNKL}=S_{MNKL}$ полупериметр, площадь
- Окружность вписан в 4-х угольник: равные суммы противоположных сторон: $ML+NK=MN+KL$
- Соединение центра с вершинами и точками касания образует несколько пар равных прямоугольних $\bigtriangleup $
Сцена 4: В трапеции $ABCD$ основание $ВС$ и боковая сторона $CD$ являются касательными к окружности, описанной вокруг треугольника $ABD$. Найдите площадь треугольника $ABD$, если известно, что $AD=4\sqrt{3}$ и $\angle BCD=120^{\circ}$. Боковые стороны продлены до пересечения. Докажите подобия, свойства секущих, хорд, углов.
- Касательные от точки к окружности равны $CB=CD$ перпендикулярны радиусам $CB\perp OB$ , $CD\perp OD$
- Угол м\д касатальной и хордой равен половине заключенной дуги $ \angle CBD=\frac{\cup BD}{2}= \angle CDB$
- Одинаковый состав углов приводит к подобию $\bigtriangleup BCD \sim \bigtriangleup ABD $ $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$
- Параллельные линии на окружности вырезают равные дуги: $BC \parallel AB$ $\cup AB=\cup BD$
- Продолжение боковых сторон трапеции образует подобные треугольники $\bigtriangleup AKD \sim \bigtriangleup BKC $
- Параллельная стороне треугольника отсекает подобный ему $\bigtriangleup $ : $\frac{AK}{BK}=\frac{DK}{CK}=\frac{AD}{BC}=k$ - коэффициент подобия
- Отношения При Подобиях: схожие отрезки относятся как $k:1$; площади как $k^2:1$; схожие углы $1:1$
- Две секущих из внешней точки окружности образуют подобные треугольники $\bigtriangleup KMB \sim \bigtriangleup KAL $
- Внешний угол окружности м\д секущими равен полуразности заключенных дуг $ \angle AKM=\frac{\cup AM - \cup BL}{2}$
- Произведения отрезков секущих от одной точки равны м\д собой $KB\cdot KA=KL\cdot KM$
- Квадрат касатальной равен произведению отрезков секущей из то же точки $KD^2=KB\cdot KA$
- Две пересекающиеся хорды образуют подобные треугольники $\bigtriangleup QLD \sim \bigtriangleup QAM $
- Внутрений угол окружности м\д хордами равен полусумме заключенных дуг $ \angle AQM=\frac{\cup AM - \cup LD}{2}$
- Произведения отрезков пересекающихся хорд равны м\д собой $LQ\cdot QM=DQ\cdot QA$ , $BH\cdot HM=AH\cdot HD$
Лайфхаки top - планиметрии
- Отношение площадей подобных $\bigtriangleup $-ов равно квадрату коэффициента подобия
- Отношение площадей $\bigtriangleup $-ов с одинаковой высотой равен отношению сторон этих высот.
- Отношение площадей $\bigtriangleup $-ов с одинаковым углом равен умножению отношений прилежащих сторон
- Медианы разрезают $\bigtriangleup $ на шесть равных по площади частей. Каждая медиана делит на 2 равных по площади.
- Площади частей трапеции можно выразить как доли площади всей трапеции через отношения отрезков.
- Отношения отрезков диагоналей в трапеции, параллелограмме выражаются как доли диагоналей через подобия.
- Отношения частей диагоналей, других внутренных отрезков 4-х угольника определяют долю площади частей во всей площади.
- Какова доля $S_{MONK}$ в площади трапеции $S_{ABCD}$ ? через доли $S_{MON}$ и $S_{MNK}$, через доли частей отрезков.
- Касательная к окружности: как связан с радиусом, с другим касательным, с секущим?
- Ридиусы образуют равнобедренные $\bigtriangleup $-и: Какие углы равные? Диаметр проходит по середине основания.
- В окружности мало дуго и много углов, реальных и воображаемых, не дорисованных
- Каждая дуга связанна со многоми углами: в окружности полезно искать равные или связанные углы
- Есть равные углы? полезно искать подобные $\bigtriangleup $-и. Реализовать подобия!
- подобные $\bigtriangleup $-и приведут к пропорции отрезков. Что из того?
- Из внешней точки выходят секущие? умножения их частей = const. Искать равные углы.
- Хорды пересекаются? умножения их частей = const. Искать равные углы.
- Углы, опирающиеся на диаметр оипраются на полу-окружность, образуют высоты, катеты.
- Касания окружностей: точка касания лежит на линии центров. Касание хоть внешнее, хоть изнутри
- Расстояние м\д центрами равен сумме радиусов. Если изнутри, то разности. $O_{1}O_{2}=R \pm r$
- Общие касательные к обеим окружностям перпендикулярны радиусам, эти радиусы параллельны.
- Касательная, радиусы $r,R$ и отрезок $O_{1}O_{2}$ образуют прямоугольную трапецию. Высота в нем важна!
- Пересечение окружностей: Соединие точек пересечения перпендикулярно соединению центров.
- Треугольники центров, точек пересечения .... равнобедренные: искать подобнык $\bigtriangleup $-и.
- Соединение центров, точек касания .... искать подобные $\bigtriangleup $-и. Средние линии?
- Полезно: высматривать углы через дуги разных окружностей.
Теорема Менелая: Неизвестная точка получается на пересечении линий по заданным точкам. Как добраться?
- Проводим параллельные, чтоб использовать известные пропорции.
- Написать 2 - 3 подобия с выходом, зацепкой неизвестной точки. Поймать точку.
II. Теоремы, свойства, формулы
Всё о площадях :
- 1. У прямоугольника площадь есть произведение сторон $S=a\cdot b$ .
- 2. У "параллелограммо - образных" фигур (ромб, квадрат, прямоугольник) площади находятся одинаково:
- Формула: $S=a\cdot h$ - основание на высоту ; ширина на высоту ; средная линия на высоту
- Формула: $S=a\cdot b\cdot\sin A$ - сторона на сторону и синус угла между ними.
- 3. У "островершинных фигур" (треугольник, сектор) формулы площади всё те же , но с коэффициентом $1/2$
2. $S=\frac{1}{2}ah$ - так же основание на высоту, но пополам . Средная линия на высоту. - 4. У сектора площадь : длина дуги ("основа") на радиус ("высота") и на $1/2$. И площадь окружности всё также 2. сводится к площади прямоугольника: длина полуокружности - как основание прямоугольника, собранного из мелких 2. секторов раскроенной окружности , умноженная на радиус , который равен "высоте" этого прямоугольника.
- 5. Ну и конечно, надо знать формулу Герона о площади треугольника через стороны: $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.
- 6. Не менее важно знать связи площади с радиусами вписанной и описанной окружностей:2222222222222222222222222222. $s=p\cdot r$ , $s=\frac{abc}{4R}$.
- 7. Архиважно "чувствовать" главное свойство: "площадь целой фигуры равна сложению площадей своих кусков" -2. это свойство аддитивности.
- 8. Отсюда легко прийти к формуле площади трапеции - как гибрида из двух треугольников : $S=\frac{a+b}{2}h$ - 2. средняя линия (как "основание") на высоту
- 9. Также легко сконструировать и получить площадь любого четырехугольника $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin BOC$ -2. половина произведения диагоналей (как "сторон" некоего треугольника) на синус угла между диагоналями.
Всё об отношении, сравнении площадей фигур :
- Если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей через общий синус.
- Отношение площадей треугольников с общим углом равно произведению отношений соответствующих сторон этих треугольников.
- Любой многоугольник можно разбить на треугольник и ,таким образом, выполнять сравнение.
- Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
- Если треугольники имеют одинаковые высоты, то их площади относятся как основания.
- Медиана треугольника делит его на равновеликие треугольники, отношение площадей $1:1$ .
- Диагонали трапеции образуют 4 треугольника: отношение площадей боковых $1:1$ ;
- отношение площадей у оснований равно отношению самих оснований.
Об углах и отрезках окружности: теоремы и свойства хорд, секущих и касательных
- Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла.
- Вписанный Угол равен половине соответствующего центрального угла, половине дуги опирания.
- Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.
- Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов (прямой угол).
- Угол при пересечении хорд половина сумм дуг опирания. (внутренный угол окружности).
- При пересечении двух хорд возникают подобные треугольники, произведения отрезков одинаковые.
- Теорема: "Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная".
- Угол между секущими равен половине разности дуг, заключенных между секущими. (внешный угол).
- Теорема: "Произведения отрезков секущих одинаковы для всех секущих, проведенных из одной точки".
- Произведение отрезков секущих до 1-ой и 2-ой точек пересечения с окружностью - постоянная".
- Теорема: "В точке окружности проведенная касательная и радиус в точке касания перпендикулярны".
- Теорема: "Квадрат касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки".
- Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине градусной меры заключенной между ними дуги.
Теоремы и факты о вписанной окружности (в угол, в треугольник, в четырехугольник):
- Биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от обеих сторон угла.
- Центр окружности, вписанной в угол находится в точке, принадлежащей биссектрисе (равноудалена ...)
- Центр вписанной окружности в треугольник - на пересечении биссектрис.
- Центр вписанных окружностей в любую фигуру - на пересечении биссектрис. Центр равноудален от сторон.
- Радиус к точке касания стороны перпендикулярен стороне (сторона является касательной к окружности).
- Точки касания делят стороны на попарно равные отрезки (касательные из вершины многоугольника).
- Радиус $r$ вписанной (в треугольник, четырехугольник, многоугольник) окружности: $r=\frac{S}{p}$ , $S=p\cdot r$.
- "О вписанной в четырехугольник окружности": можно вписать тогда и только тогда, когда суммы
противоложных сторон четырехугольника равны $a+c=b+d$.
Теоремы и факты об описанной окружности вокруг двух точек, треугольника, четырехугольника:
- Серединный перпендикуляр отрезка - геометрическое место точек, равноудаленное от двух точек .
- Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам.
- Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника, многоугольника .
- Радиус $R$ описанной вокруг треугольника окружности: $R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$ ; $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$ .
- Теорема Синусов: $ \frac{\sin\angle A}{a}=\frac{1}{2R}$ ; $\frac{\sin\angle B}{b}=\frac{1}{2R}$ ; $\frac{\sin\angle C}{c}=\frac{1}{2R}$ .
- Вокруг четырехугольника окружность можно описать тогда и только тогда , когда суммы
противоложных углов четырехугольника равны 180 градусов. $\angle A+\angle C=180=\angle B+\angle D$
II. Задачи из Задания №16 ЕГЭ - профиль