Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 16
Планиметрия, сложные
geometry-1023846_1920.jpg

Всё о площадях :

1.         У   прямоугольника    площадь   есть   произведение   сторон          $S=a\cdot b$ .

2.         У    "параллелограммо - образных"    фигур     (ромб, квадрат, прямоугольник)   площади    находятся   одинаково:     
2.          $S=a\cdot h$   -   основание на высоту       ;         $S=a\cdot b\cdot\sin A$   -    сторона   на   сторону и   синус   угла   между   ними.

3.         У   "островершинных   фигур"   (треугольник, сектор)    формулы    площади всё те же   ,   но с коэффициентом $1/2$
2.          $S=\frac{1}{2}ah$    -    так же основание на высоту, но пополам .

4.         У   сектора   площадь :   длина дуги ("основа") на радиус ("высота") и на $1/2$.     И   площадь окружности всё также
2.          сводится   к площади прямоугольника:   длина полуокружности - как основание прямоугольника, собранного из мелких
2.          секторов раскроенной окружности ,    умноженная   на   радиус , который равен   "высоте" этого прямоугольника.

5.         Ну и конечно, надо знать формулу Герона о площади треугольника через   стороны:       $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.        

6.         Не менее важно знать связи площади    с   радиусами   вписанной   и   описанной окружностей:
2222222222222222222222222222.                         $s=p\cdot r$         ,         $s=\frac{abc}{4R}$.

7.         Архиважно   "чувствовать"   главное    свойство: "площадь целой фигуры равна сложению площадей своих кусков" -
2.          это    свойство   аддитивности.

8.         Отсюда легко прийти к формуле площади трапеции   -   как гибрида из двух треугольников :          $S=\frac{a+b}{2}h$ -    
2.          средняя линия   (как "основание")   на   высоту         

9.         Также   легко   сконструировать и получить   площадь   любого   четырехугольника         $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin BOC$      -
2.          половина произведения диагоналей (как "сторон" некоего треугольника) на синус угла между диагоналями.

Всё   об отношении, сравнении   площадей    фигур :

  • Если   треугольники имеют общий   угол, то   несложно   выполнить    сравнение   их   площадей   через   общий   синус.

  • Отношение   площадей   треугольников   с   общим   углом   равно   произведению   отношений соответствующих   сторон   этих   треугольников.

  • Любой   многоугольник   можно   разбить   на   треугольник   и ,таким образом,   выполнять сравнение.

  • Площади   подобных   треугольников   относятся   как   квадрат   коэффициента   подобия.

  • Если   треугольники   имеют   одинаковые    высоты, то   их    площади   относятся   как   основания.        

  • Медиана   треугольника    делит   его на   равновеликие    треугольники,   отношение   площадей   $1:1$ .

  • Диагонали   трапеции   образуют   4 треугольника:   отношение площадей   боковых   $1:1$ ;
    2.          отношение   площадей у оснований   равно отношению самих   оснований.

Об углах и отрезках окружности:   теоремы и свойства хорд, секущих и касательных

  • Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла.

  • Вписанный Угол   равен половине соответствующего центрального угла, половине дуги опирания.

  • Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.

  • Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов (прямой угол).

  • Угол при пересечении хорд половина сумм дуг опирания. (внутренный угол окружности).        

  • При пересечении двух хорд возникают подобные треугольники, произведения отрезков одинаковые.

  • Теорема: "Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная".

  • Угол между секущими равен половине разности дуг, заключенных между секущими. (внешный угол).        

  • Теорема: "Произведения отрезков секущих одинаковы для всех секущих, проведенных из одной точки".

  • Произведение отрезков секущих до 1-ой и 2-ой точек пересечения с окружностью - постоянная".

  • Теорема: "В точке окружности проведенная касательная и радиус в точке касания перпендикулярны".

  • Теорема: "Квадрат касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки".

  • Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине градусной меры заключенной между ними дуги.

Теоремы и факты о вписанной окружности (в угол, в треугольник, в четырехугольник):

  • Биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от обеих сторон угла.

  • Центр окружности, вписанной в угол находится в точке, принадлежащей биссектрисе (равноудалена ...)

  • Центр вписанной окружности в треугольник - на пересечении биссектрис.

  • Центр вписанных окружностей в любую фигуру - на пересечении биссектрис. Центр равноудален от сторон.

  • Радиус к точке касания стороны перпендикулярен стороне (сторона является касательной к окружности).        

  • Точки касания делят стороны на попарно равные отрезки (касательные из вершины многоугольника).

  • Радиус $r$   вписанной (в треугольник, четырехугольник, многоугольник) окружности:     $r=\frac{S}{p}$     ,        $S=p\cdot r$.

  • "О вписанной в четырехугольник окружности":   можно вписать тогда и только тогда, когда суммы
                              противоложных сторон четырехугольника равны    $a+c=b+d$.

Теоремы и факты об описанной окружности вокруг двух точек, треугольника, четырехугольника:

  • Серединный перпендикуляр отрезка - геометрическое место точек, равноудаленное от двух точек .

  • Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам.

  • Центр описанной окружности равноудален   от вершин   треугольника, многоугольника .

  • Радиус   $R$    описанной вокруг треугольника окружности:     $R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$   ;     $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$ .

  • Теорема   Синусов:    $ \frac{\sin\angle A}{a}=\frac{1}{2R}$      ;          $\frac{\sin\angle B}{b}=\frac{1}{2R}$      ;           $\frac{\sin\angle C}{c}=\frac{1}{2R}$ .        

  • Вокруг четырехугольника окружность можно описать тогда и только тогда ,   когда   суммы
                противоложных углов четырехугольника равны 180 градусов.     $\angle A+\angle C=180=\angle B+\angle D$

Задачи из Задания №16 ЕГЭ - профиль