Всё о площадях :
1. У прямоугольника площадь есть произведение сторон $S=a\cdot b$ .
2. У "параллелограммо - образных" фигур (ромб, квадрат, прямоугольник) площади находятся одинаково:
2. $S=a\cdot h$ - основание на высоту ; $S=a\cdot b\cdot\sin A$ - сторона на сторону и синус угла между ними.
3. У "островершинных фигур" (треугольник, сектор) формулы площади всё те же , но с коэффициентом $1/2$
2. $S=\frac{1}{2}ah$ - так же основание на высоту, но пополам .
4. У сектора площадь : длина дуги ("основа") на радиус ("высота") и на $1/2$. И площадь окружности всё также
2. сводится к площади прямоугольника: длина полуокружности - как основание прямоугольника, собранного из мелких
2. секторов раскроенной окружности , умноженная на радиус , который равен "высоте" этого прямоугольника.
5. Ну и конечно, надо знать формулу Герона о площади треугольника через стороны: $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.
6. Не менее важно знать связи площади с радиусами вписанной и описанной окружностей:
2222222222222222222222222222. $s=p\cdot r$ , $s=\frac{abc}{4R}$.
7. Архиважно "чувствовать" главное свойство: "площадь целой фигуры равна сложению площадей своих кусков" -
2. это свойство аддитивности.
8. Отсюда легко прийти к формуле площади трапеции - как гибрида из двух треугольников : $S=\frac{a+b}{2}h$ -
2. средняя линия (как "основание") на высоту
9. Также легко сконструировать и получить площадь любого четырехугольника $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin BOC$ -
2. половина произведения диагоналей (как "сторон" некоего треугольника) на синус угла между диагоналями.
Всё об отношении, сравнении площадей фигур :
-
Если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей через общий синус.
-
Отношение площадей треугольников с общим углом равно произведению отношений соответствующих сторон этих треугольников.
-
Любой многоугольник можно разбить на треугольник и ,таким образом, выполнять сравнение.
-
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
-
Если треугольники имеют одинаковые высоты, то их площади относятся как основания.
-
Медиана треугольника делит его на равновеликие треугольники, отношение площадей $1:1$ .
-
Диагонали трапеции образуют 4 треугольника: отношение площадей боковых $1:1$ ;
2. отношение площадей у оснований равно отношению самих оснований.
Об углах и отрезках окружности: теоремы и свойства хорд, секущих и касательных
-
Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла.
-
Вписанный Угол равен половине соответствующего центрального угла, половине дуги опирания.
-
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.
-
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов (прямой угол).
-
Угол при пересечении хорд половина сумм дуг опирания. (внутренный угол окружности).
-
При пересечении двух хорд возникают подобные треугольники, произведения отрезков одинаковые.
-
Теорема: "Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная".
-
Угол между секущими равен половине разности дуг, заключенных между секущими. (внешный угол).
-
Теорема: "Произведения отрезков секущих одинаковы для всех секущих, проведенных из одной точки".
-
Произведение отрезков секущих до 1-ой и 2-ой точек пересечения с окружностью - постоянная".
-
Теорема: "В точке окружности проведенная касательная и радиус в точке касания перпендикулярны".
-
Теорема: "Квадрат касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки".
-
Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине градусной меры заключенной между ними дуги.
Теоремы и факты о вписанной окружности (в угол, в треугольник, в четырехугольник):
-
Биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от обеих сторон угла.
-
Центр окружности, вписанной в угол находится в точке, принадлежащей биссектрисе (равноудалена ...)
-
Центр вписанной окружности в треугольник - на пересечении биссектрис.
-
Центр вписанных окружностей в любую фигуру - на пересечении биссектрис. Центр равноудален от сторон.
-
Радиус к точке касания стороны перпендикулярен стороне (сторона является касательной к окружности).
-
Точки касания делят стороны на попарно равные отрезки (касательные из вершины многоугольника).
-
Радиус $r$ вписанной (в треугольник, четырехугольник, многоугольник) окружности: $r=\frac{S}{p}$ , $S=p\cdot r$.
-
"О вписанной в четырехугольник окружности": можно вписать тогда и только тогда, когда суммы
противоложных сторон четырехугольника равны $a+c=b+d$.
Теоремы и факты об описанной окружности вокруг двух точек, треугольника, четырехугольника:
-
Серединный перпендикуляр отрезка - геометрическое место точек, равноудаленное от двух точек .
-
Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам.
-
Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника, многоугольника .
-
Радиус $R$ описанной вокруг треугольника окружности: $R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$ ; $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$ .
-
Теорема Синусов: $ \frac{\sin\angle A}{a}=\frac{1}{2R}$ ; $\frac{\sin\angle B}{b}=\frac{1}{2R}$ ; $\frac{\sin\angle C}{c}=\frac{1}{2R}$ .
-
Вокруг четырехугольника окружность можно описать тогда и только тогда , когда суммы
противоложных углов четырехугольника равны 180 градусов. $\angle A+\angle C=180=\angle B+\angle D$
Задачи из Задания №16 ЕГЭ - профиль