Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 14
Неравенства
Inequality.png

Теорема:        эквивалентность знака разности степеней со знаком разности их показателей.

  1. Знак разности степеней    $a^B-a^C$   совпадает со знаком    $\frac{B-C}{a-1}$     при любых $a > 0$,    $a\ne1$
  2. Сравнение с нулем разности степеней $a^B-a^C\le0$ равносильно с сравнением с нулем выражения   $\frac{B-C}{a-1}\le0$
  3. "Сравнение разности степеней с 0"     $\Leftrightarrow$       "сравнение разности показателей (:$(a-1)$) с 0" с тем же знаком.
  4. ${a-1}$ в знаменателе    $\frac{B-C}{a-1}$   гарантирует правильный учет для обеих ситуаций с "основание больше или меньше 1".
  5. Метод Рационализации:         неравенство        $a^B-a^C\le0$       $\Leftrightarrow$      $\frac{B-C}{a-1}\le0$    -   рациональный аналог.   

Пример 1:          Решить показательное неравенство      $1,3^{x^2-x} < 1$

  • Перепишем как "сравнение разности степеней с 0":      $1,3^{x^2-x} < 1,3^0$            $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$
  • Метод Рационализации:             $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$        $\Leftrightarrow$      $\frac{x^2-x-0}{\left(1,3-1\right)} < 0$   
  • Решаем рациональное неравенство, разложим на множители     $\frac{\left(x+0\right)\left(x-1\right)}{0,3} < 0$
  • Метод интервалов: критические точки      0   и 1   - точки обнуления множителей и делителей.
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10;     0.5;    10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
  • Для   $x=0,5$    выполняется    $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.   При -10 и 10 не выполняется.      ответ     $ 0 < x < 1$

Пример 2:          Решить сложно-степенное неравенство      $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1$

  • сложно-степенное выражение, функция    - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
  • ОДЗ:         $x+5>0$ ,    $x\ne1$ - основание сложно-степенного выражения объязано быть   > 0, и не равно 1.
  • Представим правую часть как степень с основанием   $x+5$, получим       $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > \left(x+5\right)^0$
  • Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0":          $\left(x+5\right)^{x^2-7x}-\left(x+5\right)^0 > 0$
  • Рационализируем разность,    перейдем к сравнению разности показателей с 0 :       $\frac{x^2-7x-0}{\left(x+5-1\right)} > 0$
  • Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство          $\frac{x^2-7x}{\left(x+4\right)} > 0$         $\Leftrightarrow$       $\frac{x\left(x-7\right)}{x+4} > 0$
  • Метод интервалов:      критические точки     $0$, $7$, $-4$   от неравенства    и    $-5$, $-4$ от ОДЗ.
  • Критические точки    $-5 < -4 < 0 < 7$ ;   контрольные точки: $-10$; $-4,5$; $-2$; $3$; $10$. Проверка знаков.
  • Все проверки приведут к решениям, интервалам:                ответ     $-4 < x < 0$      $x > 7$

Пример 3:          Решить неравенство      $3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-28\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\le0$

  • Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
  • Метод Замены:             $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$          $3y^2-28y+3\le0$
  • ... Найдем корни    $y_1=9$   $y_2=\frac{1}{3}$      ... разложим по "Виета"       ....   сделаем "возврат"
  • $3\cdot\left(y-9\right)\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)\le0$               $\Leftrightarrow$            $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0$
  • Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
  • $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^1\right)\le0$               $\Leftrightarrow$             $3\cdot\frac{\left(x-\left(-2\right)\right)\cdot\left(x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}\le0$
  • Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное       $\frac{27\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{4}\le0$
  • Расставим критические точки в порядке возрастания:      -2   и 1 . Получим интервалы разбиения;
  • Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала:   ответ        $-2\le x\le1$

Алгоритм:         "Метод рационализации неравенства со степенями".

  • Шаг 1:        Превращаем неравенство к виду   разность степеней сравнить с 0    :         $a^B-a^C<0$

  • Шаг 2:        Решаем    рационализированное        неравенство           $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$

  • Дополнение: Если неравенство имеет вид     $X\cdot Y\cdot\left(a^B-a^C\right)\cdot Z < 0$    с некими выражениями $X$, $Y$ , $Z$ ...   то

  • рационализируем вставку    и решаем        $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$   . Если есть еще вставка, то и ее "рационализируем".

Причина:       вместо неравенства со степенями удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей.

Замечание:    В неравенствах очень важно то, что "произведение сравнивается с нулем". Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.

Способы разложения на множители:              "Виета" ,       разложение квадратного по корням:                        $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ .         "Сокращенное умножение" :      разложение разности квадратов          $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$        "Вынос за скобки" :            $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$                     $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$

Пусть а, В, С какие-то выражения от переменной х. Или просто числа.

Теорема:    Метод рационализации неравенства с логарифмами:

  1. Знак выражения      $\log_aB-\log_aC$    совпадает со знаком     $\frac{B-C}{a-1}$ дробно- рационального. (ОДЗ).
  2. Неравенства     $\log_aB-\log_aC > 0$    и     $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} > 0$    имеют одинаковые решения. При ОДЗ.
  3. В неравенстве "произведение < 0"   множитель в виде разности логарифмов можно заменить на рациональный аналог:
  4. Неравенство           $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$         эквивалентно           $X\cdot Y\cdot\left(\frac{B-C}{\left(a-1\right)}\right)\cdot Z < 0$

Стратегия:    вместо логарифмического неравенства иногда удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей и делителей .      Сравнение разности логарифмов с нулем эквивалентно Сравнению дробно-рационального с нулем!

Пример 2:          Решить неравенство      $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < 2$

  • ОДЗ         $5-x>0$               
  • Превратим в    разность логарифмов      $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right) < \log_{5-x}\left(5-x\right)^2$           $\log_{5-x}\left(\frac{1}{9}\right)-\log_{5-x}\left(5-x\right)^2 < 0$
  • Рационализуем по формулам:        $\frac{\left(\frac{1}{9}-\left(5-x\right)^2\right)}{\left(5-x-1\right)} < 0$         . Разложим в скобках на множители
  • $\frac{\left(\frac{1}{3}-5+x\right)\left(\frac{1}{3}+5-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$      получим        $\frac{\left(x-\frac{14}{3}\right)\left(\frac{16}{3}-x\right)}{\left(4-x\right)} < 0$
  • Метод интервалов: критические точки     $4 < \frac{14}{3} < 5 < \frac{16}{3}$        - обнуления каждого множителя и ОДЗ
  • Контрольные точки    $0$;      $4,5$;      $4,9$;      $5,1$;     $10$      и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.   
  • Проверим, например $x = 4,9$.     Получим знаки множителей    $\frac{\left(+\right)\left(+\right)}{\left(-\right)} < 0$ - выполняется. ОДЗ тоже выполняется.
  • $x= 0$ выполняется.       $x = 4,5$   выполняется.    $x = 4,9$   выполняется.    $x= 5,1$   не выполняется.    $x= 10$   не выполняется.
  • Все проверки привели к решениям, интервалам:      ответ        $x < 4$       $4 < x < \frac{14}{3}$        $\frac{14}{3} < x < 5$
  1. Напоминание:      "Сокрашенное умножение": разложение разности квадратов $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
  2. "Виета": разложение на множители квадратного $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ . По корням.
  3. "Вынос за скобки":    $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$               $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$

Пример 3:          Решить неравенство      $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)\ge\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)$

  • ОДЗ           $3-x>0$              $2x+6>0$                  
  • Превратим в    разность логарифмов             $\log_{\frac{1}{4}}\left(3-x\right)-\log_{\frac{1}{4}}\left(2x+6\right)\ge0$
  • Рационализуем по формулам:         $\frac{\left(3-x\right)-\left(2x+6\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$     ,   упростим      $\frac{-3\left(x+1\right)}{\left(\frac{1}{4}-1\right)}\ge0$
  • Метод интервалов: критические точки     $-3 < -1 < 3$        - обнуления каждого множителя и ОДЗ
  • Контрольные точки    $-10$;      $-2$;      $0$;       $10$      и проверим и неравенство - знаки и ОДЗ.   
  • Здесь   неравенство нестрогое,     поэтому надо проверить "концы"    интервалов:   точка   $x=-1$ удовлетворяет.
  • В ответы наберем те интервалы, в которых контрольные точки удовлетворяют     ответ         $-1\le x<3$

Пример 4:          Решить неравенство      $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > -1$

  • ОДЗ    $x>0$             $4-x>0$                            используем     $-1=\log_{\frac{1}{3}}3$
  • $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right) > \log_{\frac{1}{3}}3$           Нужна разность 2-х log:        $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(4-x\right)-\log_{\frac{1}{3}}3 > 0$
  • Объединим    последные логарифмы в один:     $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}3\left(4-x\right) > 0$
  • Рационализуем       $\frac{\left(x-3\left(4-x\right)\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$    , упростим:       $\frac{\left(4x-12\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$
  • Критические точки    в порядке возрастания:      $0 < 3 < 4$,          ответ        $0 < x < 3$   

Пример 5:          Решить неравенство      $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le1$

  • ОДЗ    $\left(x-1\right)^2>0$       $x^2>0$          $x^2\ne1$                      используем    $1=\log_{x^2}\left(x^2\right)$
  • метод рационализации наиболее эффективен в уравнениях где в основании логарифма выражение от неизвестного.
  • Превратим в разность логарифмов $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2\le\log_{x^2}\left(x^2\right)$                $\log_{x^2}\left(x-1\right)^2-\log_{x^2}\left(x^2\right)\le0$   
  • Рационализуем      $\frac{\left(x-1\right)^2-x^2}{\left(x^2-1\right)}\le0$            $\frac{-\left(2x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\le0$
  • Критические точки    в порядке возрастания:     $-1 < 0 < 1/2 < 1$,      Подберем контрольные точки, проверим неравенство и ОДЗ:      
  • нестрогое,     поэтому   уточним "концы",           ответ          $-1 < x < 0$             $0 < x\le\frac{1}{2}$          $x > 1$   

Пример 6:          Решить неравенство      $\log_{0,2}^2x\ge 6+\log_5x$

  • ОДЗ    $x>0$                                 используем преобразование    $\log_5x=\log_{0,2}x$
  • "подведем" к замене, основание 5 переделаем на основание 0,2:                $\log_{0,2}^2x\ge 6-\log_{0,2}x$
  • замена        $y=\log_{0,2}x$         неравенство подстановки         $y^2\ge 6-y$
  • $y^2+y-6\ge 0$                  корни квадратного выражения   $y_1=2$    $y_2=-3$
  • Разложим    квадратное на множители, Виета,       $\left(y-2\right)\left(y+3\right)\ge 0$
  • И,     не решая неравенство, именно здесь сделаем "возврат"    к старому неизвестному
  • $\left(\log_{0,2}x-2\right)\left(\log_{0,2}x+3\right)\ge 0$           нам нужны разности логарифмов, ... переделаем
  • $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x+\log_{0,2}0,2^3\right)\ge 0$    сумму надо превратить в разность
  • $\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^2\right)\left(\log_{0,2}x-\log_{0,2}0,2^{-3}\right)\ge 0$ Умножение разностей логарифмов "сравнить" с нулем
  • Знак умножения должно быть положительным. Но знак каждой скобки-разности такой же как и их "рационального" аналога. Значит ...
  • Метод Рационализации:             $\frac{x-0,04}{0,2-1}\cdot \frac{x-125}{0,2-1}\ge 0$        $\Leftrightarrow$      $\left(x-0,04\right)\left(x-125\right)\ge 0$   
  • Метод интервалов: критические точки      $0,04$   и $125$   - точки обнуления       Еще от ОДЗ точка $0$
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах разбиения   $0<0,04<125$ проверим неравенство и ОДЗ, знаки внутри скобок.
  • Проверка контрольных точек $-1$,   $\frac{1}{125}$,     $5$,    $625$ покажет какие интервалы годятся    ответ       $x\in \left(0;0,04\right]$          $x\in \left[125;+\infty \right)$

Алгоритм:            "Метод рационализации логарифмического неравенства".

  • шаг 1:          Превращаем неравенство к виду   "разность логарифмов сравнить с 0":    
  • .                                  $\log_aB-\log_aC < 0$
  • Шаг 2:          Разность логарифмов   заменим на его рациональный аналог
  • .           вместо        $\log_aB-\log_aC$        исследуем знаки рационального         $\frac{B-C}{\left(a-1\right)}$
  • Шаг 3:         Ищем решения "рационализированного" неравенства методом интервалов
  • .                                         $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$
  • Шаг 4:        Если понадобиться, разложим каждый множитель на простые множители. В контрольных точках анализируем знаки каждого простого множителя, делителя и проверяем: удовлетворяется ли рационализированное неравенство и ОДЗ.
  • Дополнение: Если неравентство превратилось в вид (с дополнительными $X$, $Y$, $Z$ ... множителями)
  • $X\cdot Y\cdot\left(\log_aB-\log_aC\right)\cdot Z < 0$    то   решаем "рационализированный"      $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$

Замечание:     В неравенствах выше важно то, что   произведение сравнивается с нулем.    Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем.   В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли   <сравнение>   с нулем.

Пример 7:          Решить неравенство      $3\log^2_{\frac{1}{3}}x+5\log_{\frac{1}{3}}x-2 > 0$   

  • ОДЗ    $x>0$                  
  • замена      $y=\log_{\frac{1}{3}}x$         $3y^2+5y-2 > 0$                             находим корни:    $y_1=\frac{5+\sqrt{49}}{6}=2$        $y_2=-\frac{1}{3}$
  • Разложим    на множители, Виета,         $3\cdot\left(y-2\right)\cdot\left(y+\frac{1}{3}\right) > 0$     и тут же "возврат"       $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-2\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{3}\right) > 0$   
  • Организуем разности    log и рационализируем каждый множитель:     $3\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{9}\right)\right)\cdot\left(\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{3}\right)\right) > 0$
  • Получим "рациональный аналог"            $3\cdot\frac{\left(x-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(x-\sqrt[3]{3}\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{3}-1\right)} > 0$   
  • Расставим критические точки, в том числе от ОДЗ:          ....   подумаем - что за число $\sqrt[3]{3}$ ?
  • Интервали разбиения ...      анализ рационального неравенства на контрольных точках и выполняется ли ОДЗ...
  • Например, контрольная точка $x=0,5$.     Знак всего выражения будет отрицательным.   Значит неравенство не удовлетворяется.
  • Интервал до 0 не годится, т.к. не проходит ОДЗ.                 ответ       $0 < x < \frac{1}{9}$ ,         $x > \sqrt[3]{3}$     

Пример 8:          Решить неравенство        $\log_{\sqrt[3]{9x}}\sqrt{\frac{x^3}{3}}+\log_{\sqrt[3]{3x^2}}\sqrt{27x}\le3$

  • О.Д.З.               $x>0$                $\sqrt[3]{9x}\ne 1$                $\sqrt[3]{3x^2}\ne 1$   
  • Степени под логарифмом лучше, чем корни.        $\log_{\left(9x\right)^{\frac{1}{3}}}\left(\frac{x^3}{3}\right)^{\frac{1}{2}}+\log_{\left(3x^2\right)^{\frac{1}{3}}}\left(27x\right)^{\frac{1}{2}}\le3$       Чем? Чем корни!.    Дробная степень.
  • С аргумента показатель степени "спускается" множителем, с основания "делителем":   $\frac{3}{2}\log_{9x}\left(\frac{x^3}{3}\right)+\frac{3}{2}\log_{3x^2}\left(27x\right)\le3$
  • $\log_{9x}\left(\frac{x^3}{3}\right)+\log_{3x^2}\left(27x\right)\le2$        Перейдем к основанию $3$ , будет проще:        $\frac{\log_3\frac{x^3}{3}}{\log_39x}+\frac{\log_327x}{\log_33x^2}\le2$
  • $\frac{\log _3x^3-\log _33}{\log _39+\log _3x}+\frac{\log _327+\log _3x}{\log _33+\log _3x^2}\le 2$,      Упростим          $\frac{3\log _3x-1}{2+\log _3x}+\frac{3+\log _3x}{1+2\log _3x}\le 2$ и увидим замену ....
  • замена               $y=\log _3x$                  $\frac{3y-1}{2+y}+\frac{3+y}{1+2y}\le 2$     
  • Упростим числитель:           $\frac{6y^2+y-1+y^2+5y+6-4y^2-10y-4}{\left(2+y\right)\left(1+2y\right)}\le 0$           $\Leftrightarrow$               $\frac{3y^2-4y+1}{\left(2+y\right)\left(1+2y\right)}\le 0$
  • Разложим    на множители, Виета,    $\frac{3\left(y-1\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)}{\left(2+y\right)\left(1+2y\right)}\le 0$          ... сравнение с нулем удобнее с множителями.
  • $\frac{3\left(y-1\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)}{2\left(y+2\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)}\le 0$     Вот здесь и совершим возврат от $y$ к $x$             $\frac{3\left(\log _3x-1\right)\left(\log _3x-\frac{1}{3}\right)}{2\left(\log _3x+2\right)\left(\log _3x+\frac{1}{2}\right)}\le 0$
  • Для метода рационализации нужны разности логарифмов. Как? сумма в разность:      $\log_3a+\log_3b=\log_3a-\log_3\left(\frac{1}{b}\right)$
  • $\frac{3\left(\log _3x-\log _33\right)\left(\log _3x-\log _33^{\frac{1}{3}}\right)}{2\left(\log _3x-\log _3\frac{1}{9}\right)\left(\log _3x-\log _33^{-\frac{1}{2}}\right)}\le 0$       В каждом множителе $\log_aB-\log_aC$       заменим на рациональный аналог         $\frac{B-C}{\left(a-1\right)}$
  • $\frac{3\cdot \frac{x-3}{3-1}\cdot \frac{x-3^{\frac{1}{3}}}{3-1}}{2\cdot \frac{x-\frac{1}{9}}{3-1}\cdot \frac{x-3^{-\frac{1}{2}}}{3-1}}\le 0$   Упростим дробно-рациональное неравенство            $\frac{\left(x-3\right)\cdot \left(x-3^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x-\frac{1}{9}\right)\cdot \left(x-3^{-\frac{1}{2}}\right)}\le 0$
  • Неравенство, состоящее из множителей и сравнения с нулем ... решаем методом интервалов.
  • Критические точки по возрастанию, включая   $x=0$   от ОДЗ:         $0<\frac{1}{9}<\frac{1}{\sqrt{3}}<3^{\frac{1}{3}}<3$
  • На полученных интервалах выберем контрольные точки ... отследим знаки каждой скобки ... проверим сравнение с нулем:
  • Получим: неравенство и ОДЗ выполняется в двух интервалах    ответ     $\frac{1}{9}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$                $3^{\frac{1}{3}}\le x\le 3$

В пустых ЛИСТах #71 - #75 интерактивно можно решать любые неравенства, шаги его решений, хоть из сайта сдам.егэ:

Неравенства   из Задания №14, ЕГЭ - профиль