Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 2
Уравнения, сложные
physics-6193670_1920.jpg

Формулы тригонометрии

Основные тождества:              $\sin^2a+\cos^2a=1$     ,       $ \tg a\cdot\ctg a=1$       ,        $\ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}$ ;    

Смена функции:      $\sin a=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$     ,      $\cos a=\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$     ,      $\tg a=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$     , $trig\left(a\right)=cotrig\left(90-a\right)$ ;

Функции суммы / разности углов:             $\sin\left(x\pm y\right)=\sin x\cdot\cos y\pm\cos x\cdot\sin y$       ,        $\tg\left(x+y\right)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\cdot\tg y}$ ,

$\cos\left(x+y\right)=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot\sin y$      ,       $\cos\left(x-y\right)=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y$       ,      $\ctg\left(x-y\right)=\frac{\ctg x\cdot\ctg y+1}{-\ctg x+\ctg y}$;

Двойной угол:         $\sin2x=2\cdot\sin x\cdot\cos x$           $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$       ,       $\cos2x=2\cdot\cos^2x-1$      ,        $\cos2x=1-2\cdot\sin^2x$.

Формулы приведения                       

Преобразование суммы функций в произведение:       $\sin a+\sin b=2\cdot\sin\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}$    ,     $\sin a-\sin b=2\cdot\cos\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{a-b}{2}$,

$\cos a+\cos b=2\cdot\cos\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}$      ,      $\cos a-\cos b=-2\cdot\sin\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{a-b}{2}$ ;   

Преобразование произведения функций в сумму:     $\sin a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left(\sin\left(a-b\right)+\sin\left(a+b\right)\right)$,

Преобразование произведения функций в сумму:     $\sin a\cdot\sin b=\frac{1}{2}\left(\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)\right)$,

Преобразование произведения функций в сумму:     $\cos a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left(\cos\left(a-b\right)+\cos\left(a+b\right)\right)$;

Понижение степени, формула половинного аргумента:     $\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}$     ,     $\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$   ,

$\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}$      ,     $\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$    ,       $\tg^2a=\frac{1-\cos2a}{1+\cos2a}$      ,      $\ctg^2a=\frac{1+\cos2a}{1-\cos2a}$

Представление функций через тангенс половинного угла:          $\sin x=\frac{2\cdot\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$     ,    $\cos x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$,

$\tg x=\frac{2\cdot\tg\frac{x}{2}}{1-\tg^2\frac{x}{2}}$   ,        $\ctg x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{2\cdot\tg\frac{x}{2}}$ ,           $\sin^2\frac{x}{2}=\frac{\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$ ,       $\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$;

Сдвиг фазы, дополнительного угла :         сумма      $A\cdot\sin x\pm B\cdot\cos x$     синуса и косинуса, с коэффициентами $A$ , $B$ , одинаковым углом, превращается в одну функцию со "сдвинутым" углом,   $\pm\arctg\frac{B}{A}$ , ( или,   $=\pm\arcsin\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ )    $A\cdot\sin x+B\cdot\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sin\left(x+\arctg\frac{B}{A}\right)$          $A\cdot\sin x-B\cdot\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sin\left(x-\arctg\frac{B}{A}\right)$   или, через арксинус:              $A\cdot\sin x\pm B\cdot\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sin\left(x\pm\arcsin\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$.

В пустых ЛИСТах #71 - #74 интерактивн можно решать любые уравнения, хоть из сайта сдам.егэ:

Уравнения, Задачи   из Задания №12, ЕГЭ - профиль