Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 12
Уравнения тригонометрии с ограничениями
pexels-karolina-grabowska-6256068.jpg

Алгоритм:         Решение уравнений с ограничениями:       .

  1. Надо выписать ОДЗ - условия:    условия существования выражений в уравнении. Решить получившиеся неравенства.

  2. На тригонометрической окружности Е.Т.О. отметить области, промежутки точек, выполняющих условия ОДЗ.

  3. Решить уравнение,    отметить точки на Е.Т.О. ,    соответствующие полученным сериям решений.

  4. Выбрать те точки, которые "попали" в допустимые промежутки, области.   Какие числа-углы соответствуют этим точкам?

  5. Написать серии для этих точек - эти серии и будут корнями нашего уравнения.

  6. Выписать    несколько конкретных корней. Перебрать разные     $n$,   $m$   целые числа, игнорируя заведомо не попадающие в ограничения.

  7. Проверить каждый кандидат - корень: удовлетворяет ли условиям ограничения, входит ли в требуемый промежуток?

Задача 1:        а)   Решите уравнение              $\left(\sin^2\frac{x}{2}+\frac{3\cdot \cos x}{2}\right)\left(\sqrt{3}\ctg x+1\right)\sqrt{-7\sin x}=0$                 б)     Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку     $\left[-4\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$ .

  • ОДЗ:    под радикалом    $-7\sin x\ge0$ ;   Условие на    существование котангенса    $x\ne\pi n$ - тоже самое, что    $\sin x\ne0$;
  • Итоговое ОДЗ:        $\sin x<0$ - корнями могуть быть углы из 3-ей и 4-ой четверти, в нижней части    Е.Т.О окружности.
  • Решаем уравнение: здесь    произведение нескольких множителей равно 0. Значит, распад на случаи - каждый множитель = 0.
  • Факт: "Произведение сравнить с нулем можно свести к   сравнению с нулем каждого множителя":
  • Уравнение:        $A\cdot B\cdot C=0$     $\Rightarrow$      I   случай   $A=0$ ,     II   случай $B=0$ ,   III    случай $C=0$
  • Последнее $\sqrt{-7\sin x}=0$   незачем решать т.к. мы уже установили при ОДЗ, что   $\sin x\ne0$ из-за присутствия котангенса.
  •     I   случай:     $\sin^2\frac{x}{2}+\frac{3\cdot \cos x}{2}=0$ .
  • Какие здесь углы?    $\frac{x}{2}$   и $x$ . Значит, можем свести к одному углу!
  • По формуле    удвоенного угла    $\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$ сможем прийти к замене   $y=\sin\frac{x}{2}$. Но, решим по-другому ...
  • по формуле    понижения степени - половинного угла:         $\frac{1-\cos x}{2}+\frac{3\cdot \cos x}{2}=0$     придем к простому
  • $1+2\cos x=0$    $\Rightarrow$      $\cos x=-\frac{1}{2}$    его корни:      $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$          $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m$
  •    Смотрим на Е.Т.О. - из этих двух точек-серий по ОДЗ нас устраивает только из 3-ей четверти:     $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m$
  •    II   случай:         $\sqrt{3}\ctg x+1=0$      "если в уравнении лишь одна функция, ее следует выразить ...":
  •    $\ctg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$    корни: 2 точки-серии    $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$.    Устраивает по ОДЗ:   $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$
  • ответ a):           $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m$         $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$ .      (Две точки из нижней части Е.Т.О.).
  •    Пункт б):      Ищем корни из требуемого промежутка      $\left[-4\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$.               Выпишем    несколько возможных кандидатов для каждой серии:
  • Из I серии:     $-\frac{2\pi}{3}+2\pi$,          $-\frac{2\pi}{3}$,            $-\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{8\pi}{3}$,           $-\frac{2\pi}{3}-4\pi$.               Входит: 2-ой и 3-ий.
  • Из II серии:    $-\frac{\pi}{3}+2\pi$,            $-\frac{\pi}{3}$,         $-\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{7\pi}{3}$,           $-\frac{\pi}{3}-4\pi$.               Попал лишь 3-ий.
  • Требуемому    ограничению удовлетворяют корни, ответ б):               $-\frac{2\pi}{3}$,                $-\frac{7\pi}{3}$,            $-\frac{8\pi}{3}$,

                       

Задача 2:        а)   Решите уравнение              $\frac{3\cos^2 4x-7\left(\sin 4x+1\right)}{\sqrt{2\sin x-1}}=0$                 б)     Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку     $\left[-4\pi;\frac{2\pi}{3}\right]$ .

  • ОДЗ - условия: знаменатель не ноль, под радикалом неотрицательно:            $2\sin x-1>0$
  • Надо понять какие точки удовлетворяют ОДЗ   на тригонометрической окружности    Е.Т.О.    Реши неравенство.
  • Но пока уравнение:      $2\sin x-1=0$       $\sin x=0.5$        $x=\frac{\pi}{6}+2\pi m$    $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m$
  • Отметим эти точки-серии на Е.Т.О. Решение неравенства - это точки, в которых     $\sin x>0.5$ , значит точки с $y$ - координатой выше $>0.5$ .
  • Значит, неравенство и ОДЗ выполняется в точках дуги , верхней части окружности   между точками      $\frac{\pi}{6}$   и $\frac{5\pi}{6}$.
  • Теперь решаем само уравнение:   "Дробь = 0 $\Rightarrow$   числитель дроби = 0".     Алгоритм:    $\frac{A}{B}=0$    $\Rightarrow$     $A=0$
  • Итак:    $3\cos^24x-7\left(\sin4x+1\right)=0$        У нас 2 функции, 1 аргумент.     Выразим первую через вторую:    
  • $3\cos^24x=1-\sin^24x$   - Основное тождество,             $3\left(1-\sin^24x\right)-7\left(\sin4x+1\right)=0$ .
  • Упростим:             $3\sin^24x+7\sin4x+4=0$                     1 функция, 1 аргумент - все готово к методу замены:
  • замена          $y=\sin4x$         подстановка:    $3y^2+7y+4=0$             корни:          $y=-1$         $y=-\frac{4}{3}$
  • $y=-1$    возвратное:        $\sin4x=-1$    $\Rightarrow$      $4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$             $\Rightarrow$       $x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$
  • $y=-\frac{4}{3}$   возвратное:           $\sin4x=-\frac{4}{3}$ - нет решениий, т.к      $-\frac{4}{3}<-1$ , а синус не может стать меньше   $<-1$
  • Отметим серию       $x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$ - это точки, получающиеся от точки $-\frac{\pi}{8}$   прокруткой четверть оборотов    $\frac{\pi}{2}$.
  • Получаются четыре точки на Е.Т.О.:            $-\frac{\pi}{8}$,            $\frac{3\pi}{8}$,                $7\frac{\pi}{8}$,              $-5\frac{\pi}{8}$.
  • Из этих 4-х точек в интервале ОДЗ $\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)$    находится только точка   $\frac{3\pi}{8}$ .
  • ОДЗ удволетворяют углы:    $\frac{3\pi}{8}$ и его $2\pi$ - прокуртки.      ответ а):               $\frac{3\pi}{8}+2\pi n$
  • Пункт б):      Ищем корни из требуемого промежутка .               Выпишем    несколько возможных кандидатов из серии $\frac{3\pi}{8}+2\pi n$:
  • кандидаты:        $\frac{19\pi}{8}$          $\frac{3\pi}{8}$            $-\frac{13\pi}{8}$         $-\frac{29\pi}{8}$       $-\frac{45\pi}{8}$   . Какие из них попадают в интервал    $\left[-4\pi;\frac{2\pi}{3}\right]$
  • Проверка принадлежности промежутку ограничения:             ответ б):               $\frac{3\pi}{8}$            $-\frac{13\pi}{8}$         $-\frac{29\pi}{8}$,

Послесловие:              Какие навыки, умения, смыслы, понятия надо знать?

  • Е.Т.О - связь углов, точек на окружности, серии углов, прокрутки в пол-оборота, полный оборот, части.
  • Формулы решения простейших тригонометрических уравнений, интерпретация в виде точек на Е.Т.О.
  • Решение неравенств, изображение решений на Е.Т.О. Перевод точек на серии углов и наоборот.
  • Анализ ОДЗ: радикалы, знаменатели, тангенс-котангенс. Анализ условий ограничений. Интерпретация на Е.Т.О.
  • Методы решения тригонометрических уравнений: простейших, метод замены, разложение на множители, понижение степени, однородные.

Интерактивная Доска

Упражнения