Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 16
Планиметрия, сложные

Подробнее на эти темы, смотрите теорию:

Вероятности бинарных процессов: "промах - попадание".

Задача 1:          Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6.   

Какова вероятность того, что при пяти выстрелах стрелок попадет ровно 3 раза.

Решение:      Вероятность "попадания"       $p=0,6$       Вероятность "промаха"      $q=1-p=0,4$ .

  • "попадание" и   "промах"   суть   противоположные события.     Сумма вероятностей $p+q=1$      -      полнота вероятности!
  • $(p+q)^5=1$       Бином Ньютона          для степени 5:       $(p+q)^5=p^5+5\cdot p^4q+10\cdot p^3q^2+10\cdot p^2q^3+5\cdot pq^4+q^5$
  • каждое отдельное слагаемое Бинома равно вероятности попадания в цель в точности столько раз, в какой степени $p$ входит в это слагаемое!
  • зряче:            $1$            =                 [$p^5$]            +           [$5\cdot p^4q$]          +       [$10\cdot p^3q^2$]        +       [$10\cdot p^2q^3$]      +      [$5\cdot pq^4$]         +        [$q^5$]
  • "что-то случится"      =      "все 5 попал"      +    "попал 4 раза"    + "попал 3 раза"      +   "попал 2 раза"    + "только 1 раз"   + "все промахи"
  • Вероятность ( из пяти исходов 3 будут удачными )    =      $10\cdot p^3q^2$      =      $C_5^3\cdot p^3q^2$ .       Число         Сочетаний:    $C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}=10$.

Ответ:          $10\cdot p^3(1-p)^2=10\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=10\cdot 0,216\cdot 0,16=0,3456$

  • Решим эту же задачу прямым нахождением вероятности         Схематически:    0 = промах,   1 - попадание.
  • Вариант одного из возможных благоприятных событий   (0, 1, 1, 0, 1) - три раза попал именно в 2-ой, 3-ей и 5-ой попытке.
  • Какова вероятность ровно такого события: попытки идут друг - за другом, последовательно и независимо друг от друга. :}
  • По Правилу Умножения Вероятностей Независимых           $p_{01101}=q\cdot p\cdot p\cdot q\cdot p=p^3q^2=p^3\left(1-p\right)^2$
  • Но {01101} лишь один вариант расположения трех единиц в пяти местах. Другие варианты ... {01110}, {10110} ...
  • Все эти варианты-события содержат ровно три единицы, а потому их вероятности одинаковые $p^3\left(1-p\right)^2$. Но сколько их?
  • Вариантов выбора трех мест из пяти -   Число Сочетаний:    $C_5^3=10$:   В пятерке надо выбрать тройку без учета порядка.
  • Разные варианты   ..{01101}... {01110} ... {10110} .. не совместны друг с другом: либо одно, либо другое ... или - или
  • По Правилу Сложения Несовместных       наша вероятность 3 из 5    =     [$10$ вариантов]      *      [$p^3\left(1-p\right)^2$],

О вероятностях в Бинарных исходах: однократное событие с исходами "да" или "нет"

Теорема:     Если "да" выпадает с вероятностью    $p$,     то   при   $n+k$     попытках вероятность наступления

в любом порядке ровно    $n$     исходов    "да"    и    $k$     исходов   "нет"   равна         $C_{n+k}^k\cdot p^n\cdot (1-p)^k$

Задача 2:          Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность выпадения "орла" менее 4 раз.

  • Бинарные исходы "орел", "решка" с одинаковыми вероятностями успеха - не успеха:        $p=\frac{1}{2}$         $q=0,5$
  • 9 попыток,     Бином Ньютона     9-ой степени :       $(p+q)^9=p^9+C_9^8\cdot p^8q+C_9^7\cdot p^7q^2+....+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
  • Менее 4 раз: значит либо 3, либо 2, либо 1, либо 0. Их вероятности представлены последними 4 слагаемыми в Биноме
  • Сложение Несовместных Вероятность ( менее 4 раз )      $a$      =       $C_9^3\cdot p^3q^6+C_9^2\cdot p^2q^7+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
  • Расчеты:       $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84$         $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{1\cdot 2}=36$              $C_9^1=9$       $p^3q^6=p^2q^7=p^1q^8=q^9=0,5^9$      
  • Ответ:      вероятность менее 4 "орла"       $a=(84+36+9+1)\cdot 0,5^9=\frac{120}{512}=\frac{15}{64}$

Задача 3:    [ege.sdamgia.ru №320187]   При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна   $0,3$, а при каждом последующем —   $0,6$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

  • Дано:      $a=0,3$ - попадание при 1-ом выстреле,      $b=0,6$ - попадание при следующих одиночных выстрелах.
  • Найдем вероятности:   $p_1$ - цель будет поражена с первого раза,   $p_2$ - со второго раза, $p_3$ - с третьего раза, и т.д.
  • Найдем вероятности:   $q_1$ - цель будет поражена с первого раза,   $q_2$ - со второго раза, $q_3$ - с третьего раза, и т.д.
  • Схема выстрелов:    Вероятность поражения цели на следующем шаге = вероятность быть целым на предыдущем   умножить на вероятность попадания данного выстрела.                 Вероятность уцелеть на следующем шаге =   вероятность быть целым на предыдущем   умножить на промах текущего выстрела.
  • После первого выстрела:     вероятность поражения $p_1=a=0,3$ ,            вероятность промаха       $q_1=1-a=1-0,3=0,7$.
  • После 2-го выстрела:                (поражена) = (промах 1-го) * (попадание при 2-ом) ...           $p_2=q_1\cdot b=(1-a)\cdot b=0,42$.                                             Цель не поражена            $q_2=q_1\cdot (1-b)=(1-a)\cdot (1-b)=0,28$
  • После 3-го выстрела:                (поражена) = (промах после 2-го) * (попадание при 3-ем) ...           $p_3=q_2\cdot b=(1-a)\cdot (1-b)\cdot b=0,168$.                                       Цель не поражена            $q_3=q_2\cdot (1-b)=(1-a)\cdot (1-b)\cdot (1-b)=0,112$
  • После 4-го выстрела:         (поражена) = (промах после 3-го) * (попадание при 4-ом) ...           $p_4=q_3\cdot b=(1-a)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot b=0,0672$.                                       Цель не поражена            $q_4=q_3\cdot (1-b)=(1-a)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot (1-b)=0,0448$
  • После 5-го выстрела:    (поражена) = (промах после 4-го) * (попадание при 5-ом) ...      $p_5=q_4\cdot b=(1-a)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot b=0,02688$.                                       Цель не поражена             $q_5=q_4\cdot (1-b)=(1-a)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot (1-b)\cdot (1-b)=0,01792$
  • Получилось: после 5-го выстрела вероятность уцелеть    равна   $1-0,01792>0,98$.    Значит, достаточно    $5$   выстрелов.
  • Ответ:      При   $5$   выстрелах вероятность поражения цели выше     $0,98$
  • Умножения Вероятностей:     Если последовательные события один за другим, ветви ... Вероятности перемножаются.
  • Правило ветвей: Вероятность "реализовалась данная ветвь процесса" =   умножение вероятностей его шагов, "ребер".
  • Замечание 1:    Вероятность поражения на $n$-ом выстреле        $p_n=(1-a)\cdot (1-b)^{n-2}\cdot b$
  • Замечание 2:    Вероятность уцелеть после $n$ - го   выстрела        $q_n=(1-a)\cdot (1-b)^{n-1}$
  • Вероятность уцелеть    после $5$ - го     $1-q_5$.    Вероятность    не уцелеть     за $5$ выстрелов     $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5$.

Задание №10                      ЕГЭ,    профиль: