I.     Тестирование по задачам ЕГЭ №6

Порешайте комбинированные задачи по темам ЕГЭ №6. Если обнаружились проблемы, то повторите теорию решения уравнений.

II - IX.     Теория, разбор задач по темам.

Ознакомьтесь с кратким изложением основных методов, преобразований, применяемых при решении уравнений, повторите алгоритмы решений.

X.     Упражнения для закрепления

Тренируйтесь по типам задач, проверяйте свои знания и навыки решения типовых уравнений

Рекоммендуемые интерактивные уроки   mathematicos по темам решения уравнений

Уравнением     называется равенство двух частей, содержащее неизвестную букву, значение которой надо найти.       Значение буквы, которое выравнивает обе части , называют корнем    или   решением уравнения.

Что значит решить уравнение?     Это значит найти число, которое при подстановке вместо буквы уравняет обе части, т.е. превратит уравнение в верное числовое равенство. Все, что надо сделать с уравнением - найти его корень. Т.е. то что его уравняет - сравняет - превратит в верное = !

Aлгоритмы решения уравнений:      шаг за шагом от исходного уравнения ....   I.    переходим к равносильному (с тем же корнем), доходим до конечного вида "неизвестное = число";     II.    корни уравнения не меняются, если перенести любое слагаемое   из одной части в другую с противоположным знаком.    III.    корни уравнения не меняются, если обе части умножить или разделить    на одно и то же отличное от нуля число.

Примеры эквивалентных шагов - преобразований уравнений, равенств:

$A+B=C$       $\Leftrightarrow$     $A=C-B$ ;              $A-2x^2+7=B+5x-m$        $\Leftrightarrow$       $A+7-5x+m=B+2x^2$ ;      перенос слагаемых

$m\cdot A=B$      $\Leftrightarrow$     $A=\frac{B}{m}$   ;   $-\frac{3}{7} \cdot A=22$      $\Leftrightarrow$     $A=\frac{22}{-\frac{3}{7}}$   ;    перенос множителя, числа

$A\cdot (B\pm C)=D$        $\Leftrightarrow$       $A\cdot B \pm A\cdot C=D$    ; $7x^2-3m(5-4C)=D$         $\Leftrightarrow$      $7x^2-15m+12mC=D$      Раскрытие скобок

$A\cdot B\cdot C=0$        $\Leftrightarrow$        [ $A=0$, $B=0$, $C=0$ ]     ;               $(x-m)(A+2x)(3x-12)=0$          $\Leftrightarrow$    [ $x-m=0$,   $A+2x=0$, $3x-12=0$ ]     ;        $(A+2)(x^2-25)=0$         $\Leftrightarrow$       [ $A=-2$,     $x^2=25$ ]    ;      Факторизация:   произведение = 0     $\Leftrightarrow$   случаи ... множители = 0

Очевидные эквивалентности, переход к равенствам по одинаковости:     

$\frac{8}{A}=\frac{8}{B}$      $\Rightarrow$        $A=B$ ;                                                   $\frac{1}{A}=B$       $\Rightarrow$     $A=\frac{1}{B}$

$\frac{A}{B}=\frac{m}{3}$      $\Rightarrow$        $\frac{B}{A}=\frac{3}{m}$ ;                                                   $\frac{A}{B}=\frac{m}{k}$      $\Rightarrow$        $\frac{A}{k}=\frac{B}{m}$ ;

$A^2=B^2$       $\Rightarrow$      $A=\pm B$ ;                                             $A^2=C$         $\Rightarrow$      $A=\pm \sqrt C$       

$A^3=B^3$         $\Rightarrow$           $A=B$ ;                                         $A^4=B^4$         $\Rightarrow$           $A=\pm B$ ;   

$\sqrt{A}=\sqrt{B}$     $\Rightarrow$        $A=B$ ;                                             $\sqrt[3]{A}=\sqrt[3]{B}$     $\Rightarrow$        $A=B$ ;

$m^A=m^B$     $\Rightarrow$        $A=B$ ;                                              $3^X=3^{-2,5}$     $\Rightarrow$        $X=-2,5$ ;

$\log_mA= \log_mB$     $\Rightarrow$        $A=B$ ;                                  $\log_2(X)= \log_2(-3)$     $\Rightarrow$        $X=-3$ ;

$\sin X=\sin \phi$            $\Rightarrow$           $X= \phi+2\pi n$ ,       $X= \pi-\phi+2\pi n$ ;                      $\tg X=\tg \phi$    $\Rightarrow$           $X= \phi+\pi n$   

$\cos X=\sin \phi$            $\Rightarrow$           $X= \phi+2\pi n$ ,       $X=-\phi+2\pi n$ ;                      $\ctg X=\ctg \phi$    $\Rightarrow$           $X= \phi+\pi n$   

Квадратные уравнения, эквивалентные преобразования:   скобки, группирования, приведение,   дробные коэффициенты      Произвольное квадратное уравнение можно привести к стандартному виду с помощью эквивалентных преобразований: "перенос слагаемых" , "умножение на число", "перенос множителя", "открытие скобок" , "приведение подобных".

Решение квадратного:          $ax^2+bx+c=0$      ,       $D=b^2-4ac$    -     Дискриминант .         I.    $D < 0$ -     нет корней          II.    $D=0$ -     один корень:     $x=\frac{-b}{2a}$      III.    $D > 0$ -       два корня:     $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$,     $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$   

Упрощенные   формулы для приведенного квадратного     $x^2+bx+c=0$        $\Rightarrow$      $D=p^2-q$ ;       $x=-p+\sqrt{D}$   ;       $x=-p-\sqrt{D}$

Неполные квадратные:      $ax^2+bx=0$ ,      $ax^2=cx$ ,    $ax^2=c$                  $ax^2+bx=0$ $\Rightarrow$ [$x=0, ax+b=0$] ;        $x^2=a$       $\Rightarrow$    $x=\pm \sqrt{a}$ ;            $ax^2=cx$ $\Rightarrow$ [$x=0, ax=c$];        $ax^2=c$    $\Rightarrow$ [$x=\sqrt{\frac{c}{a}}, x=-\sqrt{\frac{c}{a}}$] ;

Уравнение     "дробь   =   дробь"           $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{C\left(x\right)}{D\left(x\right)}$       $\Rightarrow$        $\Rightarrow$     $A\left(x\right)\cdot D\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot B\left(x\right)$ ,      $B\left(x\right)\ne0$          $D\left(x\right)\ne0$ .

Свойство пропорции:     $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ $\Rightarrow$     $A\cdot D=C\cdot B$.     Сложения дробей           $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$       $\frac{A}{B}\pm K=\frac{A\pm K\cdot B}{B}$

Уравнение     "дробь   =   0" :     $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0$        эквивалентно         $\Leftrightarrow$         $A\left(x\right)=0$          $B\left(x\right)\ne0$ .     числитель $= 0$,       знаменатель   $\ne0$.

Возведения   в квадрат обеих частей::    $\sqrt{X}=C$         $\Rightarrow $    $X=C^2$             при условии:       $C\ge0$ ,   $C$ - неотрицательна

Извлечение корня от обеих частей степенного::         $A^{2n+1}=m^{2n+1}$         $\Rightarrow $      $A=m$ ;             $A^{2n}=m^{2n}$         $\Rightarrow $      $A=m$,    $A=-m$ ;

Возведения   в куб (в степень) обеих частей   уравнения с радикалом::             $\sqrt[3]{X}=C$          $\Leftrightarrow$        $X=C^3$         $\sqrt[5]{X}=C$          $\Leftrightarrow$        $X=C^5$

Показательное уравнение:         $a^{f\left(x\right)}=a^n$      $\Leftrightarrow$       $f\left(x\right)=n$      равенство показателей при одинаковых основаниях.

Логарифмическое уравнение:          $\log_af\left(x\right)=c$    $\Rightarrow$     $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$    $\Rightarrow$    $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Тригонометрическое уравнение,      серии решений через   arc - числа   в правой части:       

$\sin f\left(x\right)=c$ ,     $\left|c\right|\le1$       $\Rightarrow$            $f(x)=\arcsin\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot n$ ,               $f(x)=\pi-\arcsin\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot k$ ,      $n\in Z$,   $k\in Z$

$\cos f\left(x\right)=c$,     $\left|c\right|\le1$       $\Rightarrow$            $f(x)=-\arccos\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot n$ ,               $f(x)=+\arccos\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot k$ ,      $n\in Z$,   $k\in Z$

$\tg f(x)=c$               $\Leftrightarrow$               $f(x)=\arctg\left(c\right)+\pi n$   ;                   $\ctg f(x)=c$               $\Leftrightarrow$               $f(x)=\arcctg\left(c\right)+\pi n$

Графическое решение уравнения      $f(x)=g(x)$:     корни как абсциссы точек пересечения графиков   $y=f(x)$   и     $y=f(x)$.

I.     Тестирование:     ЕГЭ - профильный, задания №6,     Уравнения, простые:

Развернутое решение уравнений пишите в Листах №71, №72 . Каждый шаг в отдельной строке, полноценное решение уравнения. Интерактивная проверка каждого шага решения. Новое уравнение ? Обновите лист.

II.       Тема:    Линейное уравнение      Примеры решений:

1.    $ax=b$      $\Rightarrow$   $x=\frac{b}{a}$                2.     $ax+b=c$      $\Rightarrow$      $ax=c-b$      $\Rightarrow$   $x=\frac{c-b}{a}$

3.    $2x=10$       $\Rightarrow$     $\frac{2x}{2}=\frac{10}{2}$      $x=5$        Перенос множителя: - поделим обе части на $2$

4.    $12x+5=-7x+9$         $\Rightarrow$     $12x=-7x+9-5$   $12x+7x=4$ Переносы слагаемых:     $\Rightarrow$   $19x=4$    $x=\frac{4}{19}$

5.   $7\left(x-3\right)=2x-5\left(x-4\right)-1$          $\Rightarrow$     $7x-21=2x-5x+20-1$           раскроем скобки;        $7x-2x+5x=21+20-1$     $10x=40$     $x=\frac{40}{10}$ $x=4$

переносить можно и слагаемые, и коэффициенты-множители:          слагаемые неизвестные и числа переносятся на другую сторону с противоположным знаком;           множители переносятся на другую сторону делением,          делители переносятся умножением.

III.       Тема:    Квадратное уравнение     стандартный или канонический вид :       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$

Решение канонического          $ax^2+bx+c=0$      ,       $D=b^2-4ac$    -     Дискриминант .         I.    $D < 0$ -   при отрицательном дискриминанте        нет корней          II.    $D=0$ -     один корень:     $x=\frac{-b}{2a}$      III.    $D > 0$ -       два корня:     $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$,     $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$   

1.   $x^2-3x-4=0$           $\Rightarrow$       $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$          $x=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$      и      $x=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$

2.   $7x^2-2x-7=0$           $\Rightarrow$      $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$          $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$       $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$

3.    $-x^2+8x-3=0$             $\Rightarrow$       умножим всё на     $(-1)$        $x^2-8x+3=0$      $x_1=4+\sqrt{13}$ ,              $x_2=4-\sqrt{13}$

4.   $x-7-5x^2=3x^2+6x-10$              $\Rightarrow$         $-x-7-5x^2-3x^2-6x+10=0$      $-2x^2-5x+3=0$       $x_1=\frac{1}{2}$ ;     $x_2=-3$

5.   $11x-\left(3x+1\right)\left(6-2x\right)=5\left(x^2-2\right)+18$              $\Rightarrow$       $11x-\left(18x+6-6x^2-2x\right)=5x^2-10+18$     $11x-16x-6+6x^2=5x^2+8$                $-5x-6+6x^2-5x^2-8=0$    $x^2-5x-14=0$       $x_1=2$ ;     $x_2=-7$

6.   $-0,3x^2+0,8x-1,7=0$              $\Rightarrow$        Обе части домножим на $10$    (или $100$),    запятые уйдут   $-10\left(-0,3x^2+0,8x-1,7\right)=\left(-10\right)\cdot0$ $\Leftrightarrow$       $3x^2-8x+17=0$   ......

7.   $\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}=0$              $\Rightarrow$       домножим на кратное   всех   знаменателей, $12$    Дроби исчезнут!   $12\cdot\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}\right)=12\cdot0$        $\Leftrightarrow$        $9x^2-10x-14=0$.      .....

8.   Упрощенные   формулы для приведенного квадратного     $x^2+bx+c=0$        $\Rightarrow$      $D=p^2-q$ ;       $x=-p+\sqrt{D}$   ;       $x=-p-\sqrt{D}$

9.   $x^2+6x-7=0$      четный    $2p = 6$      $\Rightarrow$      $p = 3$ ,    $D=3^2-(-7)=9+7=16$      $x_1=-p+\sqrt{D}=-3+4=1$ ,     $x_2=-p-\sqrt{D}=-3-4=-7$      Ответ:         $x_1=1$ ,    $x_2=-7$

10.   $x^2-6x+3=0$         $p =-3$ .    упрощенную           $x_1=-p+\sqrt{p^2-q}=3+\sqrt{9-3}=3+\sqrt{6}$   ,         $x_2=-p-\sqrt{p^2-q}=3-\sqrt{6}$              Ответ:            $x_1=3+\sqrt{6}$ ,     $x_2=3-\sqrt{6}$

11.   $x^2-8x+26=0$     $p=-4$    ;        $q=26$     $D=p^2-q=\left(-4\right)^2-26=16-26=-10 < 0 $      корней нет!

12.   $-x^2+8x-3=0$         умножим всё на     $(-1)$      $x^2-8x+3=0$ .    $D=\left(-4\right)^2-3=13$,    Ответ:        $x_1=4+\sqrt{13}$ ,              $x_2=4-\sqrt{13}$

Решение неполных квадратных   уравнений:      $ax^2+bx=0$ ,      $ax^2=cx$ ,    $ax^2=c$    

Для простейшего уравнения        $x^2=a$         решение:     $x_1=\sqrt{a}$    ;        $x_2=-\sqrt{a}$   ,   если      $a$    -   неотрицательное число.

1. $6x^2–2x=0$ вынесем   общий   множитель   за   скобки:      $2x\cdot(3x – 1)=0$ ;       распад:    $2x=0$     $\Rightarrow$     $x=0$ ;    $3x–1=0$       $\Rightarrow$     $x=\frac{1}{3}$ .    ответ:            $x_1=0$ ;        $x_2=\frac{1}{3}$             

2. $50x^2-7x=0$       $\Rightarrow$       $x\cdot\left(50x-7\right)=0$.         $x=0$ ;        2-й:   $50x-7=0$     ...   $x=\frac{7}{50}$

3. $9x^2-16=0$     Разложим   на множители по формуле "разность квадратОВ":       $(3x-4)\cdot\left(3x+4\right)=0$    два случая - $3x-4=0$ $\Rightarrow$ $3x=4$ .    $3x+4=0$   $\Rightarrow$ $3x=-4$

4. $2x^2=72$          $\Rightarrow$    $x^2=\frac{72}{2}$          $x^2=36$      ответ:            $x_1=-6$ ;        $x_2=6$

5. $4x^2=13$          $\Rightarrow$    $x^2=\frac{13}{4}$               ответ:            $x_1=-\frac{\sqrt{13}}{2}$ ;        $x_2=\frac{\sqrt{13}}{2}$

Пример 6.:      Решить факторизованное   уравнение              $(3-x)\cdot\left(4x+6x^2\right)\cdot\left(x^2-1\right)=0$

• Произведение скобок равно нулю. Для каждого множителя напишем уравнение обнуления: Каждое "скобка = 0" и решим каждое.   
  
• №1         $x^2-1=0$     $\Rightarrow$     $(x-1)(x+1)=0$       $x-1=0$       $x+1=0$    $x=-1$       $x=1$
• №2        $4x+6x^2=0$     $\Rightarrow$      $2x(2x+3)=0$      $x=0$     $2x+3=0$      $x=-\frac{3}{2}$
  
• №3       $3-x=0$    $\Rightarrow$   $x=3$      ответ:      $x=3$       $x=0$      $x=-1,5$      $x=-1$       $x=1$

IV.       Тема:    Дробно-рациональное уравнение

Уравнение     "дробь   =   дробь"           $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{C\left(x\right)}{D\left(x\right)}$       решается   переходом   к квадратному по свойству   пропорций         $\Rightarrow$     $A\left(x\right)\cdot D\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot B\left(x\right)$ .

Свойство пропорции:       если         $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ,       тогда         $A\cdot D=C\cdot B$.   крест-накрест

Если дробь = 0 "    ....     вся   дробь равна нулю   значит,   числитель = 0. Как иначе!

Уравнение     "дробь   =   0" :     $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0$        эквивалентно         $\Leftrightarrow$         $A\left(x\right)=0$          $B\left(x\right)\ne0$ .     числитель $= 0$,       знаменатель   $\ne0$.

Правило   сложения   алгебраических дробей           $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$       $\frac{A}{B}\pm K=\frac{A\pm K\cdot B}{B}$

$\frac{\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-3\right)}=\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)$        $\frac{2x+4}{2x-1}-3=\frac{2x+4-3\cdot\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$ .

1. $\frac{3-2x}{x+2}=\frac{30}{5-x}$            $\Leftrightarrow$               $\left(3-2x\right)\left(5-x\right)=30\cdot\left(x+2\right)$    $15-3x-10x+2x^2=30x+60$        $2x^2-43x-45=0$           $x_1=22,5$;            $x_2=-1$ .

2.      $\frac{x^2-3x}{7-2x}=\frac{x+1}{5}$               $\Rightarrow$             $\left(x^2-3x\right)\cdot5=\left(x+1\right)\cdot\left(7-2x\right)$ .

3.     $\frac{x^2-17}{5-x}=-1$              $\Rightarrow$              $x^2-17=-1\cdot\left(5-x\right)$

4.   $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=0$    $\Leftrightarrow$      ОДЗ         $x^2-9\ne0$.    числитель = 0    $x^2-5x+6=0$       $x_1=2$         $x_2=3$ -ложное ОДЗ ,        ответ:    $x=2$

5.   $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+12$    ОДЗ             $x-3\ne0$       к    общему    знаменателю             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+\frac{12\left(x-3\right)}{x-3}$    ,      $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2+12\left(x-3\right)}{x-3}$       $x^2-12x+27=0$       $\Leftrightarrow$          $x_1=3$ ;       $x_2=9$ .        $x=3$     не удовлетворяет ОДЗ   , ответ:    $x=9$

6.   $\frac{2x+4}{2x-1}-3=\frac{15-6x}{2x-3}$       ОДЗ        $2x-1\ne0$          $2x-3\ne0$      $\frac{2x+4}{2x-1}-\frac{3}{1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     и    применим     правило   сложения   алгебраических дробей $\frac{-4x+7}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$   ,     $\frac{-4x+7}{2x-1}-\frac{15-6x}{2x-3}=0$              $\frac{\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-3\right)}=0$                $\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)=0$      ,    $-8x^2+12x+14x-21-30x+15+12x^2-6x=0$     ,           $4x^2-10x-6=0$     $\Rightarrow$       $2x^2-5x-3=0$ .               ответ:      $x_1=3$        $x_2=-\frac{1}{2}$ .

V.       Тема:    Степенные уравнения

Извлечение корня от обеих частей степенного уравнения::            $A^3=-27$         $\Rightarrow $    $A=-3$ ;          $A^{2n+1}=m^{2n+1}$         $\Rightarrow $      $A=m$ ;          $A^{2n}=m^{2n}$         $\Rightarrow $      $A=m$,    $A=-m$ ;         $A^5=4^5$         $\Rightarrow $    $A=4$ ;          $A^3=-\frac{1}{8}$         $\Rightarrow $    $A=-\frac{1}{2}$ ;         $(\frac{1}{A})^3=125$         $\Rightarrow $    $A=\frac{1}{5}$

1.       $(2x+3)^3=-125$       $\Rightarrow$         $(2x+3)^3=(-5)^3$ ,   степени равны   $\to$ основания равны,     $2x+3=-5$,       ответ:     $x=-4$.

2.       $(7-x)^5=-\frac{1}{32}$       $\Rightarrow$       $(7-x)^5=(-\frac{1}{2})^5$, равенство оснований   $\to$    $7-x=-\frac{1}{2}$,       ответ:     $x=7,5$

3.       $(\frac{1}{x+2})^4=81$       $\Rightarrow$      $(\frac{1}{x+2})^4=3^4$     равенство одинаковых степеней, $\Leftrightarrow$    извлечение корня четной степени, два случая:    $\frac{1}{x+2}=\pm 3$      перевернем обе части, обратные:    1):   $x+2=\frac{1}{3}$ ,    $x=-\frac{5}{3}$         2):        $x+2=-\frac{1}{3}$ ,      $x=-\frac{7}{3}$ .       ответы:     $x=-\frac{5}{3}$ ,   $x=-\frac{7}{3}$

4.       $0,1\cdot (1-x)^3=-2\frac{7}{10}$         $\Rightarrow$     $\frac{1}{10}\cdot (1-x)^3=-\frac{2\cdot +7}{10}$      $1\cdot (1-x)^3=-27$ ,     $1\cdot (1-x)^3=-3^3$      $1-x=-3$       ответ:     $x=4$

VI.       Тема:    Иррациональные уравнения, радикалы

Возведения   в квадрат обеих частей   уравнения::    $\sqrt{X}=C$         $\Rightarrow $    $X=C^2$             при условии:       $C\ge0$ ,   $C$ - неотрицательна

1.      $\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}=3$        $\left(\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}\right)^2=\left(3\right)^2$        $\frac{3+12x}{2x-1}=9$ $3+12x=9\cdot\left(2x-1\right)$    $\Leftrightarrow$   $12=18x-12x$     ответ:     $x=2$

2.      $\sqrt{6-4x-x^2}=-3-2x$    ОДЗ       $6-4x-x^2\ge0$       $\left(\sqrt{6-4x-x^2}\right)^2=\left(-3-2x\right)^2$        при условии       $-3-2x\ge0$    $6-4x-x^2=9+12x+4x^2$   $5x^2+16x+3=0$.     $x=-3$       ,     $x=-0.2$    ложное решение (при условии не выполняется). ответ:      $x=-3$

3.      $\sqrt{5-x^2}-2x=3-x$    $\Rightarrow$    ОДЗ     $5-x^2\ge0$     $\Rightarrow$        $\left(\sqrt{5-x^2}\right)^2=\left(x+3\right)^2$       при        $x+3\ge0$     $\Rightarrow$    $5-x^2=x^2+6x+9$   $\Leftrightarrow$   $2x^2+6x+4=0$     $\Leftrightarrow$      $x^2+3x+2=0$          $\Rightarrow$         $x=-1$ ,      $x=-2$.          ответ:        $x=-1$ ,     $x=-2$                 оба корня истинные, т.к.   проходят   ОДЗ и "при условии".

4.       $\sqrt{2-x+x^2}-\sqrt{6-2x}=0$     ОДЗ:      $2-x+x^2\ge0$ ;   $6-2x\ge0$      $\Rightarrow$       $\sqrt{2-x+x^2}=\sqrt{6-2x}$      $\Leftrightarrow$        $2-x+x^2=6-2x$       $\Leftrightarrow$       $x^2+x-4=0$      $\Leftrightarrow$    $x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$    $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ . бракуем ложные?

Возведения   в куб (в степень) обеих частей   уравнения с радикалом::             $\sqrt[3]{X}=C$          $\Leftrightarrow$        $X=C^3$         $\sqrt[5]{X}=C$          $\Leftrightarrow$        $X=C^5$

1.      $\sqrt[3]{2x-10}=-4$       $\Leftrightarrow$     $3x-10=(-4)^3$ ,     $3x-10=-64$ ,        ответ:      $x=-18$

2.      $\sqrt[3]{5-x}=2$       $\Leftrightarrow$     $5-x=(2)^3$ ,     $5-x=8$ ,        ответ:      $x=-3$

3.      $\sqrt[3]{\frac{1}{x+1}}=-5$       $\Leftrightarrow$     $\frac{1}{x+1}=-125$ ,     $x+1=-\frac{1}{125}$ ,        ответ:      $x=-\frac{126}{125}$

VII.       Тема:    Показательные уравнения

Формулы, свойства степеней:

• Умножение степеней - основание одинаковые, показатели складываются:      $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$       $\Leftrightarrow$        $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ ;     
  
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$             $\Leftrightarrow$         $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$   Делении степеней с одинаковыми основаниями - основание прежнее, показатели вычитаются.
• $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$           $\Leftrightarrow$         $a^{mn}=\left(a^m\right)^n$     Возведении степени в степень показатели перемножаются. И наоборот!
• $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$        $\Leftrightarrow$         $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$               Возведение в степень произведения - в эту степень возводится каждый множитель:
• $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$               $\Leftrightarrow$         $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$   Возведение в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель . Деление?
• Дробная степень:                $a^{\frac{x}{y}}=\left(\sqrt[y]{a}\right)^x$             ;           $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$           Знаменатель как корень. Числитель как степень.     
  
• Отрицательная степень      $\Leftrightarrow$             обратная степень :                                 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$                ;           $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^x$
  

Простейшее показательное        $a^{f\left(x\right)}=a^n$      $\Leftrightarrow$       $f\left(x\right)=n$      равенство показателей при одинаковых основаниях.

1.     $8^{3-x}=4$     $\Rightarrow$      $\left(2^3\right)^{3-x}=2^2$   ,      $2^{3\cdot\left(3-x\right)}=2^2$     ,      $3\cdot\left(3-x\right)=2$    ,     $3x=7$   $\Leftrightarrow$    $x=\frac{7}{3}$ .

2.        $5^{-3x+1}=0.2^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{125}$         $\Rightarrow$        $5^{-3x+1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{5^3}$              $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{3}{2}}$ ,       $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}$   ,         $5^{-3x+1}=5^{\frac{7}{6}}$     ,    $-3x+1=\frac{7}{6}$              ответ:       $x=-\frac{1}{18}$

3.       $5^{x^2-1}=3^{x^2-1}$        $\Rightarrow$        $\frac{5^{x^2-1}}{3^{x^2-1}}=1$ ,           $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=1$   ,          $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^0$    ,            $x^2-1=0$              ответ:   $x=1$   ,    $x=-1$ .

VIII.       Тема:    Логарифмические уравнения

Формулы, свойства логарифмов

• Основное тождество      $\log_ab=n$       $\Leftrightarrow$        $b=a^n$               $a^{\log b_a}=b$            Логарифм есть показатель степени.
• сумма логарифмов    $\log_ax+\log_ay=\log_axy$   логарифм произведения.    разность логарифмов         $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$
• формула замены основания:              $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$         обратное логарифма             $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$
  
• Вынос показателя степени аргумента:               $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$ ;    и   наоборот:     множитель заносится внутрь    $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$
• Вынос показателя степени основания:                $\log_{\left(a^n\right)}b=\frac{1}{n}\cdot\log_ab$ ;   множитель заносится как корень основания    $n\cdot\log_ab=\log_{\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}b$
• Переход к новому основанию:                  $\log_ab=\frac{\log_xb}{\log_xa}$ ;       отношение двух    логарифмов с одинаковым основанием     $\frac{\log_xb}{\log_xa}=\log_ab$
• Перекрестное произведение логарифмов:         $\log_ax\cdot\log_xb=\log_ab$ ;    аргумент одного равен основанию другого, как будто "сокращение" .
  
• Универсальная формула для степеней внутри логарифма:               $\log_{\left(a^n\right)}\left(b^m\right)=\frac{m}{n}\cdot\log_ab$ ;
  
• Транзит, логарифм в показателе:                $a^{\log_xb}=b^{\log_xa}$               $2^{\log_83}=3^{\log_82}$

Решение простейшего логарифмического:          $\log_af\left(x\right)=c$    $\Rightarrow$     $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$    $\Rightarrow$    $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

При   равенстве   двух   логарифмов   с   одним   и   тем   же   основанием,   приравниваем   аргументы    этих   логарифмов.

1.            $\log_{49}\left(2x-1\right)=0.5$     О.Д.З.        $2x-1 > 0$           "вскроем     логарифм" по    основному   тождеству:       аргумент   уравняется   с    "основанием   в   степени   правое   число",     $\Rightarrow$ $2x-1=49^{0.5}$       $\Rightarrow$         $2x=7+1$       $\Rightarrow$        $x=4$        проверка О.Д.З. ,     удовлетворяет.             Ответ:    $x=4$

2.          $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}36=\log_{\frac{1}{3}}10$               О.Д.З.        $x > 0$ $\log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{36}=\log_{\frac{1}{3}}10$       $\frac{x}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}10}$           $\frac{x}{36}=10$ ,        проверим    О.Д.З.,    Ответ:        $x=360$

3.             $\log_{0.6}\left(2x^2-3x+1\right)=\log_{0.6}\left(13-x\right)$      О.Д.З.       $2x^2-3x+1 > 0$       $13 > x$                 _ приравнять аргументы:     $2x^2-3x+1=13-x$ ,           $x^2-x-6=0$ ,      ОДЗ ? ,          Ответ:       $x_1=-2$ ;       $x_2=3$      

IX.       Тема:    Тригонометрические уравнения

Решения   простейших   тригонометрических   уравнений.    Таблицы   arc - функций.     

$\sin f\left(x\right)=c$ ,     $\left|c\right|\le1$       $\Rightarrow$            $f(x)=\arcsin\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot n$ ,               $f(x)=\pi-\arcsin\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot k$ ,      $n\in Z$,   $k\in Z$

$\cos f\left(x\right)=c$,     $\left|c\right|\le1$       $\Rightarrow$            $f(x)=-\arccos\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot n$ ,               $f(x)=+\arccos\left(c\right)+2\cdot\pi\cdot k$ ,      $n\in Z$,   $k\in Z$

$\tg f(x)=c$               $\Leftrightarrow$               $f(x)=\arctg\left(c\right)+\pi n$   ;                   $\ctg f(x)=c$               $\Leftrightarrow$               $f(x)=\arcctg\left(c\right)+\pi n$

Пример 1.:      Решить   уравнение    $\sin \left(\frac{\pi \left(7-2x\right)}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . В ответе указать наибольший отрицательный корень.

• Для конструирования серий решений нужен   арксинус правой части:        $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi}{3}$
• 1-ая серия:      $\frac{\pi \left(7-2x\right)}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\cdot\pi\cdot n$       $\Leftrightarrow$    сократим на общий множитель   $\pi$ :          $\Leftrightarrow$       $\frac{7-2x}{6}=-\frac{1}{3}+2n$
• $\frac{7-2x}{6}=-\frac{1}{3}+2n$      $\Leftrightarrow$        $7-2x=-2+12n$       $\Leftrightarrow$        $2x=9-12n$       $\Leftrightarrow$      $x=\frac{5-12n}{2}$
• Конкретные корни:     $n=0\to x=\frac{5}{2}$ ;        $n=1\to x=-\frac{7}{2}$ ;      $n=-1\to x=\frac{17}{2}$ ;       $n=2\to x=-\frac{19}{2}$
• 2-ая серия:      $\frac{\pi \left(7-2x\right)}{6}=\pi-(-\frac{\pi}{3})+2\cdot\pi\cdot k$       $\Leftrightarrow$    сократим на общий множитель   $\pi$ :          $\Leftrightarrow$       $\frac{7-2x}{6}=1+\frac{1}{3}+2k$
• $\frac{7-2x}{6}=1+\frac{1}{3}+2k$      $\Leftrightarrow$        $7-2x=8+12k$       $\Leftrightarrow$        $2x=-1-12k$       $\Leftrightarrow$      $x=\frac{-1-12k}{2}$
• Конкретные корни:     $n=0\to x=-\frac{1}{2}$ ;        $n=1\to x=-\frac{13}{2}$ ;      $n=-1\to x=\frac{11}{2}$ ;       $n=2\to x=-\frac{25}{2}$
• Среди всех полученнных в обеих сериях корней выберем   наибольшее отрицательное:   $x=-\frac{1}{2}=-0,5$.
• Еще вопрос:            Найти наименьшее положительное решение.          Ответ:   $x=\frac{5}{2}=2,5$

      

         

      

I.     Упражнения по темам   несложных   уравнений:

Линейное уравнение

Уравнение вида $ax=b$ , где $a$ и $b$ - числа, $x$ - переменная , называют линейным уравнением .

• линейное уравнение $ax=b$         $\Rightarrow$     kорень этого уравнения       $x=\frac{b}{a}$.
• подробнее здесь                  II .      § 5.        Линейные уравнения.   

Пример 1         решить простейшее линейное уравнение $2x=10$        

• Чему же равен $x$ ? Какое число на месте $x$    уравняет обе части уравнения?           $\frac{2x}{2}=\frac{10}{2}$            поделим обе части на $2$; чтобы $x$ остался без коэффициента:          $x=5$             после сокращения дробей в обеих частях, получаем чему равен $x$.          Проверка:     подставим найденное число   $5$ в уравнение, т.е напишем его вместо неизвестного $x$ :     $2\cdot5=10$       $10=10$       Найденное число выравнивает левую и правую части, значит является корнем уравнения.        Ответ:        $x=5$

Пример 2             решить линейное уравнение         $12x+5=-7x+9$       

• $12x+5-5=-7x+9-5$                 хотим избавиться в левой части от числа   $-5$ : добавим такое же к обеим частям;    
  
• $12x=-7x+9-5$                              в левой части число исчезло, а в правой оно появилось, но с противоположным знаком
• так мы провели операцию переноса числа из одной части в другую ;
• $12x=-7x+4$                          немного укоротим    наше уравнение : произведем вычисление в правой части ;
• $12x+7x=-7x+4+7x$                  планируем избавиться от неизвестного в правой части: добавим по $7x$ к обеим частям;         
  
• $12x+7x=4$                справа   $-7x$ исчезло, но   "появилось" слева со знаком "+ ": это и есть перенос из одной части в другую;                  
  
• $x\cdot\left(12+7\right)=4$                                    в левой части вынесем общий множитель $x$   за скобки ;
• $19x=4$                                                вычислим значение скобки;
• $\frac{19x}{19}=\frac{4}{19}$                             чтобы избавиться от коэффициента при   $x$ разделим обе части на   $19$ ;
• $x=\frac{4}{19}$                             сократим дробь слева, так найдем чему равно неизвестное уравнения.       Ответ:      $x=\frac{4}{19}$ .
  

Пример 3        линейное уравнение со скобками            $7\left(x-3\right)=2x-5\left(x-4\right)-1$

• $7x-21=2x-5x+20-1$           раскроем скобки;        $7x-2x+5x=21+20-1$          перенесем все неизвестные в левую часть, а числа - в правую;          $10x=40$                    приведем подобные члены по обеим частям;     $x=\frac{40}{10}$        разделим обе стороны на   $10$ , чтобы освободить   $x$    от коэффициента - это действие еще называется "перенос множителя" ;          Ответ:      $x=4$

Aлгоритм решения линейного уравнения:      шаг за шагом от исходного уравнения ....

I.    переходим к равносильному (с тем же корнем), доходим до конечного вида "неизвестное = число";     II.    корни уравнения не меняются, если перенести любое слагаемое   из одной части в другую с противоположным знаком.    III.    корни уравнения не меняются, если обе части умножить или разделить    на одно и то же отличное от нуля число.

переносить можно и слагаемые, и коэффициенты-множители

• слагаемые неизвестные и числа переносятся на другую сторону с противоположным знаком;
• множители переносятся на другую сторону делением, делители переносятся умножением.

Квадратное уравнение

стандартный или канонический вид :       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$      или     $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Числа    $a$ ,    $b$ ,     $c$      при неизвестном называются    коэффициентами уравнения .   У каждого свое название:         $a$     называют квадратным      (т.к. он при $x^2$)           или первым   коэффициентом ;    $b$     называют линейным           или вторым    коэффициентом ;     $c$     называют свободным членом уравнения           (т.к. он свободен от неизвестного) Важно правильно определять коэффициенты!     Особое внимание на знаки:

   Определяем коэффициенты так:           I.   $0,2x^2+7x+13=0$      коэффициенты :         $a=0,2$     $b=7$         $c=13$        II.    $3x^2-5x+10=0$          коэффициенты :         $a=3$      $b=-5$   минус!      $c=10$       III.      $x^2-\frac{1}{3}x-5=0$           коэффициенты :         $a=1$;      $b=-\frac{1}{3}$           $c=-5$     минус!     IV.   $16x^2-25=0$                коэффициенты :         $a=16$       $b=0$         $c=-25$    минус!       V.     $-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$            коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$      $b=-\frac{2}{3}$   минус!        $c=0$    .    Внимание:       если дано нестандартное уравнение, чтобы не ошибиться в определении коэффициентов,   сначала перепишите его в стандартном виде :

Решения канонического квадратного уравнения. Дискриминант

Канонический вид          $ax^2+bx+c=0$      ,              $a$, $b$, $c$ - коэффициенты уравнения. Формула, составленная              $D=b^2-4ac$         называется    Дискриминант .         I.    $D > 0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет два корня .       II.    $D=0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет    один корень .      III.    $D < 0$ -    нет, при отрицательном дискриминанте        нет корней     и решать уравнение не стоит!           Замечание:       Не всегда при извлечении корня из Дискриминанта получается целое число. В этом случае, решением уравнения будет дробное выражение с радикалом. Посмотрите внимательно, можно ли упростить полученное выражение ? Ответ должен быть всегда в сокращенном виде.

   Формулы нахождения корней канонического квадратного уравнения:           

• $D > 0$:         "+"      корень         $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;
• $D > 0$:         "-"      корень        $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .
• Если      $D=0$ ,      один корень     $x=\frac{-b+0}{2\cdot a}=-\frac{b}{2a}$

Пример 5        $x^2-3x-4=0$

• Определяем коэффициенты уравнения:    $a=1$   ,   $b=-3$    ,   $c=-4$    Найдем Дискриминант.
• Внимание!       Чтобы не ошибиться c отрицательными коэффициентами, лучше заключить его в скобки:
• $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$    Т.к.    $D=25 > 0$ ,     значит уравнение имеет два корня ,
• корни по формулам :       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$      и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$         Ответ:             $x=4$   ;     $x=-1$

Пример 6:         $7x^2-2x-7=0$

• коэффициенты:    $a=7$   ,   $b=-2$    ,   $c=-7$    $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$        $D=200 > 0$ , два корня :
• $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$           Т.к.    $D=200 > 0$ , значит уравнение имеет два корня :
• 1) $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$    Внимание!      ответ нужно давать всегда в сокращенном виде.
• из-под корня вынести множитель 10, после сокращение: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$;
• 2)   $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$                             Ответ:             $x=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ ;     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$

Квадратное называется    приведенным ,   если    коэффициент при     $x^2$    равен единице:      $x^2+bx+c=0$ .      Если в таком уравнении    $b$   - четное число ,   т.е. представляется как   $2p$ ,   то    приведенное     $x^2+2px+q=0$    с     четным     линейным    коэффициентом   можно решать по        упрощенным     формулам .

• упрощенные   формулы                $D=p^2-q$ ;       $x=-p+\sqrt{D}$   ;       $x=-p-\sqrt{D}$
  
•                                           $x=-p+\sqrt{p^2-q}$   ;                 $x=-p-\sqrt{p^2-q}$    
  

Пример 7:                      Решение     приведенного   уравнения         $x^2+6x-7=0$   

• приведенном уравнении     линейный       четный    $2p = 6$      $\Rightarrow$      $p = 3$ ,    $D=3^2-(-7)=9+7=16$
  
• $D>0$     $\Rightarrow$   два корня:      $x_1=-p+\sqrt{D}=-3+4=1$ ,     $x_2=-p-\sqrt{D}=-3-4=-7$      Ответ:         $x_1=1$ ,    $x_2=-7$
  

Пример 8:                      Решение     уравнения        $x^2-6x+3=0$   

• $-6 =2p$      $\Rightarrow$      $p =-3$ .    упрощенную           $x_1=-p+\sqrt{p^2-q}=3+\sqrt{9-3}=3+\sqrt{6}$   ,         $x_2=-p-\sqrt{p^2-q}=3-\sqrt{6}$              Ответ:            $x_1=3+\sqrt{6}$ ,     $x_2=3-\sqrt{6}$

Пример 9:                      Решение     уравнения   $x^2-8x+26=0$     

• определим коэффициенты       $2p=-8$    $\Rightarrow$     $p=-4$    ;        $q=26$    и       найдем дискриминант этого уравнения:
  
• $D=p^2-q=\left(-4\right)^2-26=16-26=-10 < 0 $    -    он      отрицательный,    значит      Ответ:       корней нет!

            Как быть,       если в уравнении перед      $x^2$      стоит     "$-$"    .

Пример 10:                      Решение     уравнения   $-x^2+8x-3=0$      

• уравнение не является       приведенным ,   первый коэффициент       ($-1$)   ,    умножим всё уравнение    на     $(-1)$
• $x^2-8x+3=0$ . теперь можно упрощенные формулы :     $D=\left(-4\right)^2-3=13$,    Ответ:        $x_1=4+\sqrt{13}$ ,              $x_2=4-\sqrt{13}$

Квадратные уравнения, эквивалентные преобразования:   скобки, группирования, приведение,   дробные коэффициенты

• Произвольное квадратное уравнение можно привести к стандартному виду с помощью эквивалентных преобразований: "перенос слагаемых" , "умножение на число", "перенос множителя", "открытие скобок" , "приведение подобных".

Пример 11:                  Решить уравнение              $x-7-5x^2=3x^2+6x-10$                   

• все слагаемые влево     $-x-7-5x^2-3x^2-6x+10=0$ , выполним перестановку,    сгруппируем подобные слагаемые      $-5x^2-3x^2+x-6x-7+10=0$ ,
• приведем подобные      $-2x^2-5x+3=0$   ,       умножим   на       "$-1$", стандартный вид :   $2x^2+5x-3=0$
  
• Дискриминант         $D=b^2-4ac=25+4\cdot2\cdot3=49$    по формулам корней      $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$ ;        $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-7}{4}=-3$   Ответ:       $x_1=\frac{1}{2}$ ;     $x_2=-3$.

Пример 12:                  Решить уравнение              $11x-\left(3x+1\right)\left(6-2x\right)=5\left(x^2-2\right)+18$       

• результат "открытия скобок слева" оставим пока в скобках       $11x-\left(18x+6-6x^2-2x\right)=5x^2-10+18$ ,
  
• приведем подобные в скобке, откроем;   справа упростим     $11x-16x-6+6x^2=5x^2+8$,     перенесем слагаемые   $-5x-6+6x^2-5x^2-8=0$,
• приведем подобные $x^2-5x-14=0$ ,   по формулам $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{-5+9}{2}=2$ ;         и      $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}==\frac{-5-9}{2}=-7$ ;    Ответ:     $x_1=2$ ;     $x_1=-7$.

Пример 13:                  Решить уравнение              $-0,3x^2+0,8x-1,7=0$

• Как избавиться от коэффициентов - десятичные числа,?   Обе части домножим на десятку (или 100 ...).    Запятые уйдут.
• получим       $-10\left(-0,3x^2+0,8x-1,7\right)=\left(-10\right)\cdot0$        $\Leftrightarrow$       $3x^2-8x+17=0$     .     далее,    по формулам ...

Пример 14:                  Решить уравнение              $\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}=0$

• Тут дробные коэффициенты. Умножить   обе   части   уравнения   на   кратное   всех   знаменателей:     на    $12$    (делится   на   каждое   $4$,   $6$,   $3$ ).
  
• Дроби исчезнут!     получим     $12\cdot\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}\right)=12\cdot0$        $\Leftrightarrow$        $9x^2-10x-14=0$.    Далее, по формулам .....

Уравнения типа " произведение = 0 ",   распад

Пример 16:                  Решить уравнение              $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)=0$          

• Произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ равно 0 лишь тогда, когда какая-либо скобка станет 0, "обнулится".
• $x+4=0$       $\Rightarrow$     $x=-4$ .      $5-3x=0$            $\Rightarrow$         $x=\frac{5}{3}$
• При х - числах   $x=-4$ и   $x=\frac{5}{3}$ произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ становится нулём!   ответ:      $x=-4$         $x=\frac{5}{3}$    
  

Пример 17:                  Решить уравнение              $(8-x)\cdot\left(2x+7\right)=0$          

• Опорный факт:    Если произведение $A\cdot B \cdot C$ =    $0$     тогда либо    $A$,    либо $B$,    либо $C$       =     $0$
• Правило:    уравнение " произведение    =    $0$ "    разбивается на случаи: каждый множитель     =     $0$
• Разбиение на 2 случая: приравняем содержимое каждой скобки к нулю. и, решаем каждое уравнение по отдельности.
• случай 1          $2x+7=0$          $\Leftrightarrow$        $2x=-7$         $\Leftrightarrow$            $x=-3.5$
• случай 2          $8-x=0$             $\Leftrightarrow$        $x=8$             ответ:      $x_1=8$         $x_2=-3.5$

Способ    разбиения уравнения, разложения на множители:

• шаг 1:             Обнулить правую часть уравнения, перенести все слагаемые влево.    "левая часть =   $0$".
• шаг 2:             Разложить, вынести множители за скобки, превратить левую часть в произведение.   " = $0$".
• шаг 3, 4 ... :             Рассмотреть случаи: для каждого составить уравнения      "множитель = $0$".
• далее:               Решать получившиеся более мелкие уравнения.                  ответ:    собрать все полученные решения..

Решение неполных квадратных   уравнений:   разложение,   вынесение   за   скобку

Уравнение   вида     $ax^2+bx=0$:     решается   вынесением общего множителя    $x$    за скобку. После   вынесения    уравнение $x\cdot\left(ax+b\right)=0$    распадается на два уравнения, 2 случаи.

Уравнение   вида     $ax^2=cx$:      решается   переносом    $cx$    влево и вынесением общего   множителя. После   приведения   к   виду      $ax^2-cx=0$   выносим множитель   $x$   за   скобки и решаем 2 случая.