Задание 1: Уравнения, легкие

Раздел
ЕГЭ Математика (профильный)
Задача № 1
Уравнения, легкие
Задание 1: Уравнения, легкие
board-67320_1920.jpg

Свойства Степеней:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$                $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ ;                $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$                   $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

$\left(a^x\right)^y=a^{xy}$                   $a^{mn}=\left(a^m\right)^n$            $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$                $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$                          

$\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$              $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$                $a^{\frac{x}{y}}=\left(\sqrt[y]{a}\right)^x$             ;           $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$                    

$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$                ;           $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^x$

Свойства Логарифмов:

Основное тождество      $\log_ab=n$       $\Leftrightarrow$        $b=a^n$               $a^{\log b_a}=b$   

сумма логарифмов    $\log_ax+\log_ay=\log_axy$                разность логарифмов         $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$

вынос показателя           $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$                                   внесение под знак логарифма        $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$

обратное логарифма              $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$                                                   формула замены основания:          $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$

Решение простейшего уравнения:        $\log_af\left(x\right)=c$       $\Rightarrow$          $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$         $\Rightarrow$         $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Уравнением     называется равенство двух частей, содержащее неизвестную букву, значение которой надо найти.       Значение буквы, которое выравнивает обе части , называют корнем    или   решением уравнения.

  • Иногда говорят "решение уравнения" - имея в виду процесс, шаги для нахождения корня уравнения. "Решать - работать".         Без знака = нет уравнения!      Без неизвестной буквы нет уравнения!    Слева от знака = находится выражение - "левая часть уравнения".         Справа? угадай как оно называется.   Все, что надо сделать с уравнением - найти его корень. Т.е. то что его уравняет - сравняет - превратит в верное = !

Что значит решить уравнение?     Это значит найти число, которое при подстановке вместо буквы уравняет обе части, т.е. превратит уравнение в верное числовое равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида $ax=b$ , где $a$ и $b$ - числа, $x$ - переменная , называют линейным уравнением .

Пример 1         решить простейшее линейное уравнение $2x=10$        

  • Чему же равен $x$ ? Какое число на месте $x$    уравняет обе части уравнения?           $\frac{2x}{2}=\frac{10}{2}$            поделим обе части на $2$; чтобы $x$ остался без коэффициента:          $x=5$             после сокращения дробей в обеих частях, получаем чему равен $x$.          Проверка:     подставим найденное число   $5$ в уравнение, т.е напишем его вместо неизвестного $x$ :     $2\cdot5=10$       $10=10$       Найденное число выравнивает левую и правую части, значит является корнем уравнения.        Ответ:        $x=5$

Пример 2             решить линейное уравнение         $12x+5=-7x+9$       

  • $12x+5-5=-7x+9-5$                 хотим избавиться в левой части от числа   $-5$ : добавим такое же к обеим частям;    
  • $12x=-7x+9-5$                              в левой части число исчезло, а в правой оно появилось, но с противоположным знаком
  • так мы провели операцию переноса числа из одной части в другую ;
  • $12x=-7x+4$                          немного укоротим    наше уравнение : произведем вычисление в правой части ;
  • $12x+7x=-7x+4+7x$                  планируем избавиться от неизвестного в правой части: добавим по $7x$ к обеим частям;         
  • $12x+7x=4$                справа   $-7x$ исчезло, но   "появилось" слева со знаком "+ ": это и есть перенос из одной части в другую;                  
  • $x\cdot\left(12+7\right)=4$                                    в левой части вынесем общий множитель $x$   за скобки ;
  • $19x=4$                                                вычислим значение скобки;
  • $\frac{19x}{19}=\frac{4}{19}$                             чтобы избавиться от коэффициента при   $x$ разделим обе части на   $19$ ;
  • $x=\frac{4}{19}$                             сократим дробь слева, так найдем чему равно неизвестное уравнения.       Ответ:      $x=\frac{4}{19}$ .

Пример 3        линейное уравнение со скобками            $7\left(x-3\right)=2x-5\left(x-4\right)-1$

  • $7x-21=2x-5x+20-1$           раскроем скобки;        $7x-2x+5x=21+20-1$          перенесем все неизвестные в левую часть, а числа - в правую;          $10x=40$                    приведем подобные члены по обеим частям;     $x=\frac{40}{10}$        разделим обе стороны на   $10$ , чтобы освободить   $x$    от коэффициента - это действие еще называется "перенос множителя" ;          Ответ:      $x=4$

Aлгоритм решения линейного уравнения:      шаг за шагом от исходного уравнения ....

I.    переходим к равносильному (с тем же корнем), доходим до конечного вида "неизвестное = число";     II.    корни уравнения не меняются, если перенести любое слагаемое   из одной части в другую с противоположным знаком.    III.    корни уравнения не меняются, если обе части умножить или разделить    на одно и то же отличное от нуля число.

переносить можно и слагаемые, и коэффициенты-множители

  • слагаемые неизвестные и числа переносятся на другую сторону с противоположным знаком;
  • множители переносятся на другую сторону делением, делители переносятся умножением.

Квадратное уравнение

стандартный или канонический вид :       $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$      или     $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Числа    $a$ ,    $b$ ,     $c$      при неизвестном называются    коэффициентами уравнения .   У каждого свое название:         $a$     называют квадратным      (т.к. он при $x^2$)           или первым   коэффициентом ;    $b$     называют линейным           или вторым    коэффициентом ;     $c$     называют свободным членом уравнения           (т.к. он свободен от неизвестного) Важно правильно определять коэффициенты!     Особое внимание на знаки:

   Определяем коэффициенты так:           I.   $0,2x^2+7x+13=0$      коэффициенты :         $a=0,2$     $b=7$         $c=13$        II.    $3x^2-5x+10=0$          коэффициенты :         $a=3$      $b=-5$   минус!      $c=10$       III.      $x^2-\frac{1}{3}x-5=0$           коэффициенты :         $a=1$;      $b=-\frac{1}{3}$           $c=-5$     минус!     IV.   $16x^2-25=0$                коэффициенты :         $a=16$       $b=0$         $c=-25$    минус!       V.     $-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x=0$            коэффициенты :         $a=-\frac{1}{6}$      $b=-\frac{2}{3}$   минус!        $c=0$    .    Внимание:       если дано нестандартное уравнение, чтобы не ошибиться в определении коэффициентов,   сначала перепишите его в стандартном виде :

Решения канонического квадратного уравнения. Дискриминант

Канонический вид          $ax^2+bx+c=0$      ,              $a$, $b$, $c$ - коэффициенты уравнения. Формула, составленная              $D=b^2-4ac$         называется    Дискриминант .         I.    $D > 0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет два корня .       II.    $D=0$ -    да, уравнение нужно решать и у него будет    один корень .      III.    $D < 0$ -    нет, при отрицательном дискриминанте        нет корней     и решать уравнение не стоит!           Замечание:       Не всегда при извлечении корня из Дискриминанта получается целое число. В этом случае, решением уравнения будет дробное выражение с радикалом. Посмотрите внимательно, можно ли упростить полученное выражение ? Ответ должен быть всегда в сокращенном виде.

   Формулы нахождения корней канонического квадратного уравнения:           

  • $D > 0$:         "+"      корень         $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ;
  • $D > 0$:         "-"      корень        $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    или    $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ .
  • Если      $D=0$ ,      один корень     $x=\frac{-b+0}{2\cdot a}=-\frac{b}{2a}$

Пример 5        $x^2-3x-4=0$

  • Определяем коэффициенты уравнения:    $a=1$   ,   $b=-3$    ,   $c=-4$    Найдем Дискриминант.
  • Внимание!       Чтобы не ошибиться c отрицательными коэффициентами, лучше заключить его в скобки:
  • $D=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$    Т.к.    $D=25 > 0$ ,     значит уравнение имеет два корня ,
  • корни по формулам :       $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2}=\frac{3+5}{2}=4$      и      $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$         Ответ:             $x=4$   ;     $x=-1$

Пример 6:         $7x^2-2x-7=0$

  • коэффициенты:    $a=7$   ,   $b=-2$    ,   $c=-7$    $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$        $D=200 > 0$ , два корня :
  • $D=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-7\right)=4+196=200.$           Т.к.    $D=200 > 0$ , значит уравнение имеет два корня :
  • 1) $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}$    Внимание!      ответ нужно давать всегда в сокращенном виде.
  • из-под корня вынести множитель 10, после сокращение: $x=\frac{2+\sqrt{200}}{2\cdot7}=\frac{2+10\sqrt{2}}{2\cdot7}=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$;
  • 2)   $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$                             Ответ:             $x=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}$ ;     $x=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}$

Квадратное называется    приведенным ,   если    коэффициент при     $x^2$    равен единице:      $x^2+bx+c=0$ .      Если в таком уравнении    $b$   - четное число ,   т.е. представляется как   $2p$ ,   то    приведенное     $x^2+2px+q=0$    с     четным     линейным    коэффициентом   можно решать по        упрощенным     формулам .

  • упрощенные   формулы                $D=p^2-q$ ;       $x=-p+\sqrt{D}$   ;       $x=-p-\sqrt{D}$
  •                                           $x=-p+\sqrt{p^2-q}$   ;                 $x=-p-\sqrt{p^2-q}$    

Пример 7:                      Решение     приведенного   уравнения         $x^2+6x-7=0$   

  • приведенном уравнении     линейный       четный    $2p = 6$      $\Rightarrow$      $p = 3$ ,    $D=3^2-(-7)=9+7=16$
  • $D>0$     $\Rightarrow$   два корня:      $x_1=-p+\sqrt{D}=-3+4=1$ ,     $x_2=-p-\sqrt{D}=-3-4=-7$      Ответ:         $x_1=1$ ,    $x_2=-7$

Пример 8:                      Решение     уравнения        $x^2-6x+3=0$   

  • $-6 =2p$      $\Rightarrow$      $p =-3$ .    упрощенную           $x_1=-p+\sqrt{p^2-q}=3+\sqrt{9-3}=3+\sqrt{6}$   ,         $x_2=-p-\sqrt{p^2-q}=3-\sqrt{6}$              Ответ:            $x_1=3+\sqrt{6}$ ,     $x_2=3-\sqrt{6}$

Пример 9:                      Решение     уравнения   $x^2-8x+26=0$     

  • определим коэффициенты       $2p=-8$    $\Rightarrow$     $p=-4$    ;        $q=26$    и       найдем дискриминант этого уравнения:
  • $D=p^2-q=\left(-4\right)^2-26=16-26=-10 < 0 $    -    он      отрицательный,    значит      Ответ:       корней нет!

            Как быть,       если в уравнении перед      $x^2$      стоит     "$-$"    .

Пример 10:                      Решение     уравнения   $-x^2+8x-3=0$      

  • уравнение не является       приведенным ,   первый коэффициент       ($-1$)   ,    умножим всё уравнение    на     $(-1)$
  • $x^2-8x+3=0$ . теперь можно упрощенные формулы :     $D=\left(-4\right)^2-3=13$,    Ответ:        $x_1=4+\sqrt{13}$ ,              $x_2=4-\sqrt{13}$

Квадратные уравнения, эквивалентные преобразования:   скобки, группирования, приведение,   дробные коэффициенты

  • Произвольное квадратное уравнение можно привести к стандартному виду с помощью эквивалентных преобразований: "перенос слагаемых" , "умножение на число", "перенос множителя", "открытие скобок" , "приведение подобных".

Пример 11:                  Решить уравнение              $x-7-5x^2=3x^2+6x-10$                   

  • все слагаемые влево     $-x-7-5x^2-3x^2-6x+10=0$ , выполним перестановку,    сгруппируем подобные слагаемые      $-5x^2-3x^2+x-6x-7+10=0$ ,
  • приведем подобные      $-2x^2-5x+3=0$   ,       умножим   на       "$-1$", стандартный вид :   $2x^2+5x-3=0$
  • Дискриминант         $D=b^2-4ac=25+4\cdot2\cdot3=49$    по формулам корней      $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$ ;        $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-7}{4}=-3$   Ответ:       $x_1=\frac{1}{2}$ ;     $x_2=-3$.

Пример 12:                  Решить уравнение              $11x-\left(3x+1\right)\left(6-2x\right)=5\left(x^2-2\right)+18$       

  • результат "открытия скобок слева" оставим пока в скобках       $11x-\left(18x+6-6x^2-2x\right)=5x^2-10+18$ ,
  • приведем подобные в скобке, откроем;   справа упростим     $11x-16x-6+6x^2=5x^2+8$,     перенесем слагаемые   $-5x-6+6x^2-5x^2-8=0$,
  • приведем подобные $x^2-5x-14=0$ ,   по формулам $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{-5+9}{2}=2$ ;         и      $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}==\frac{-5-9}{2}=-7$ ;    Ответ:     $x_1=2$ ;     $x_1=-7$.

Пример 13:                  Решить уравнение              $-0,3x^2+0,8x-1,7=0$

  • Как избавиться от коэффициентов - десятичные числа,?   Обе части домножим на десятку (или 100 ...).    Запятые уйдут.
  • получим       $-10\left(-0,3x^2+0,8x-1,7\right)=\left(-10\right)\cdot0$        $\Leftrightarrow$       $3x^2-8x+17=0$     .     далее,    по формулам ...

Пример 14:                  Решить уравнение              $\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}=0$

  • Тут дробные коэффициенты. Умножить   обе   части   уравнения   на   кратное   всех   знаменателей:     на    $12$    (делится   на   каждое   $4$,   $6$,   $3$ ).
  • Дроби исчезнут!     получим     $12\cdot\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{5}{6}x-\frac{7}{3}\right)=12\cdot0$        $\Leftrightarrow$        $9x^2-10x-14=0$.    Далее, по формулам .....

Уравнения типа " произведение = 0 ",   распад

Пример 16:                  Решить уравнение              $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)=0$          

  • Произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ равно 0 лишь тогда, когда какая-либо скобка станет 0, "обнулится".
  • $x+4=0$       $\Rightarrow$     $x=-4$ .      $5-3x=0$            $\Rightarrow$         $x=\frac{5}{3}$
  • При х - числах   $x=-4$ и   $x=\frac{5}{3}$ произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ становится нулём!   ответ:      $x=-4$         $x=\frac{5}{3}$    

Пример 17:                  Решить уравнение              $(8-x)\cdot\left(2x+7\right)=0$          

  • Опорный факт:    Если произведение $A\cdot B \cdot C$ =    $0$     тогда либо    $A$,    либо $B$,    либо $C$       =     $0$
  • Правило:    уравнение " произведение    =    $0$ "    разбивается на случаи: каждый множитель     =     $0$
  • Разбиение на 2 случая: приравняем содержимое каждой скобки к нулю. и, решаем каждое уравнение по отдельности.
  • случай 1          $2x+7=0$          $\Leftrightarrow$        $2x=-7$         $\Leftrightarrow$            $x=-3.5$
  • случай 2          $8-x=0$             $\Leftrightarrow$        $x=8$             ответ:      $x_1=8$         $x_2=-3.5$

Способ    разбиения уравнения, разложения на множители:

  • шаг 1:             Обнулить правую часть уравнения, перенести все слагаемые влево.    "левая часть =   $0$".
  • шаг 2:             Разложить, вынести множители за скобки, превратить левую часть в произведение.   " = $0$".
  • шаг 3, 4 ... :             Рассмотреть случаи: для каждого составить уравнения      "множитель = $0$".
  • далее:               Решать получившиеся более мелкие уравнения.                  ответ:    собрать все полученные решения..

Решение неполных квадратных   уравнений:   разложение,   вынесение   за   скобку

Уравнение   вида     $ax^2+bx=0$:     решается   вынесением общего множителя    $x$    за скобку. После   вынесения    уравнение $x\cdot\left(ax+b\right)=0$    распадается на два уравнения, 2 случаи.

Уравнение   вида     $ax^2=cx$:      решается   переносом    $cx$    влево и вынесением общего   множителя. После   приведения   к   виду      $ax^2-cx=0$   выносим множитель   $x$   за   скобки и решаем 2 случая.

Пример 18:                  Решить уравнение              $6x^2–2x=0$ ;

  • вынесем   общий   множитель   за   скобки:      $2x\cdot(3x – 1)=0$ ;       распад на два случая:    
  • $2x=0$     $\Rightarrow$     $x=0$ ;    $3x–1=0$       $\Rightarrow$     $x=\frac{1}{3}$ .    ответ:   соберем все решения:         $x_1=0$ ;        $x_2=\frac{1}{3}$             

Пример 19:                  Решить уравнение              $50x^2-7x=0$       

  • вынесем общий $x\cdot\left(50x-7\right)=0$.    1-й:     $x=0$ ;        2-й:   $50x-7=0$     ...   $x=\frac{7}{50}$

Пример 20:                  Решить уравнение              $4x^2=10x$    

  • Через   сокращение    $x$   решать   это   уравнение   нельзя,   т.к.   потеряется   корень   $x=0$. Правильное   решение   -   перенести   всё   в   одну   часть,   затем   вынести   неизвестное   за   скобку

Уравнение   вида     $(ax)^2=c^2$:      решается применением формули разности квадратОВ.    После переноса и разложения по формуле приведится   к   виду      $(ax-c)(ax+c)=0$ . Далее решаем 2 случая.

Пример 21:                  Решить уравнение              $9x^2-16=0$          

  • Разложим      $9x^2-16$    на множители по формуле "разность квадратОВ":       $(3x-4)\cdot\left(3x+4\right)=0$
  • Произведение двух скобок равно нулю. два случая - $3x-4=0$ $\Rightarrow$ $3x=4$ .    $3x+4=0$   $\Rightarrow$ $3x=-4$

Пример 22:      Решить уравнение              $(3-x)\cdot\left(4x+6x^2\right)\cdot\left(x^2-1\right)=0$          

  • Произведение скобок равно нулю. Для каждого множителя напишем уравнение "обнуления": Каждое "скобка = 0" и решим каждое.   
  • №1         $x^2-1=0$     $\Rightarrow$     $(x-1)(x+1)=0$       $x-1=0$       $x+1=0$    $x=-1$       $x=1$
  • №2        $4x+6x^2=0$     $\Rightarrow$      $2x(2x+3)=0$      $x=0$     $2x+3=0$      $x=-\frac{3}{2}$
  • №3       $3-x=0$    $\Rightarrow$   $x=3$      ответ:      $x=3$       $x=0$      $x=-1,5$      $x=-1$       $x=1$

Дробно-рациональные уравнения

ОДЗ -      множество   значений   неизвестного,    при которых   имеют смысл   все входящие выражения.

  • Уравнения        $\frac{x-2}{x+3}=0$ ,       $5y=\frac{2+4y}{3y-7}+14$   ,            $\frac{6x+5y}{11xy}=\frac{xy}{2x+12y}$        теряют смысл, если знаменатель станет нулем.
  • ОДЗ    означает     "мы   пока   не   знаем   какие   числа   могут   уравнять, но   мы точно   знаем   какие не могут:
  • перечисляем условия      ОДЗ,        чтобы не пропустить ложные числа.   Отфильтровать плохие, недопустимые числа."

Пример 23                  Решить уравнение              $\frac{3-2x}{x+2}=\frac{30}{5-x}$

  • ОДЗ          $x+2\ne0$        $5-x\ne0$                (суть   написания    ОДЗ   -    не   допустить ложные   решения:   решением уравнения
  • могут быть только те числа, будучи подставлеными в обе части уравнения    вместо    неизвестного   $x$,     уравняют обе части.)
  • 1-ый шаг.        дробь равна дроби.       свойство пропорции:       если       $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ,    тогда      $A\cdot D=C\cdot B$.     значит, чтобы
  • найти      $x$ ,     уравнивающий эти дроби,     достаточно найти    решения уравнения      $\left(3-2x\right)\left(5-x\right)=30\cdot\left(x+2\right)$ ,       
  • 2-ой шаг.         раскрыв скобки, перейти к решению квадратного    уравнения             $15-3x-10x+2x^2=30x+60$        
  • $\Leftrightarrow$                    $2x^2-43x-45=0$               $\Leftrightarrow$              решения уравнения :            $x_1=22,5$;            $x_2=-1$ .
  • осталось проверить     ОДЗ     условия        $\Rightarrow$        оба числа принадлежат ОДЗ,     значит    это     корни     уравнения.

Алгоритм   решения    уравнения     "дробь   =   дробь"

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{C\left(x\right)}{D\left(x\right)}$       решается   переходом   к квадратному по свойству   пропорций         $\Rightarrow$     $A\left(x\right)\cdot D\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot B\left(x\right)$ .

$1)$:           $\frac{x^2-3x}{7-2x}=\frac{x+1}{5}$               $\Rightarrow$             $\left(x^2-3x\right)\cdot5=\left(x+1\right)\cdot\left(7-2x\right)$ .

$2)$:           $\frac{x^2-17}{5-x}=-1$              $\Rightarrow$              $x^2-17=-1\cdot\left(5-x\right)$

         

Пример 24:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=0$           

  • ОДЗ         $x^2-9\ne0$         ( знаменатель    не может быть    равен    $0$ , значит     $x$     не может быть равен     $+3$       и      $-3$    .)
  • в нашем уравнении     " дробь     =     ноль "       $\Leftrightarrow$      простое рассуждение:      вся   дробь равна нулю   значит,   числитель
  • равен нулю.    как иначе дробь обнулится?      Никак!          $x^2-5x+6=0$           $\Leftrightarrow$        $D=5^2-4\cdot1\cdot6 = 1$         получаем
  • $x_1=2$         $x_2=3$ ,       проверим    истинность решений:      $x=3$    оно   не   удовлетворяет   условию   ОДЗ ,       значит,
  • это ложный корень.                 ответ:    $x=2$

Алгоритм     решения    уравнения     "дробь   =   0" :

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0$        эквивалентно         $\Leftrightarrow$         $A\left(x\right)=0$          $B\left(x\right)\ne0$ .     числитель $= 0$,       знаменатель   $\ne0$.

Пример 25:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+12$                  

  • ОДЗ             $x-3\ne0$
  • приведем к    общему    знаменателю             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+\frac{12\left(x-3\right)}{x-3}$    , сложим    числители   справа             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2+12\left(x-3\right)}{x-3}$,
  • избавимся   от дробей   путем   домножения   обеих   частей   уравнения   на общий знаменатель         $x^2-7=2+12\left(x-3\right)$ ,
  • перенесем в левую часть и получим желаемое уравнение       $x^2-12x+27=0$       $\Leftrightarrow$          $x_1=3$ ;       $x_2=9$ .   
  • проверим: принадлежат ли    корни   ОДЗ уравнения   ( $x-3\ne0$   ) ? .    корень      $x=3$     не удовлетворяет ОДЗ   ,
  • за это его исключают из множества решений.           такие корни называют посторонними,    ложными   корнями.
  • ответ:    $x=9$

Алгоритм   решения   дробно-рациональных   уравнений:

  • I.     определить   условия   ОДЗ   уравнения.   какие   выражения   не   могут   быть   нулем?
  • II.    привести   все   слагаемые   в   обеих   частях   уравнения   к   общему   знаменателю.
  • III.   домножить   обе   части   уравнения   на   общий   знаменатель.   сократить.
  • IV.   найти и корни,   решения   полученного   уравнения.
  • V.   проверить,   принадлежат ли   найденные   корни   ОДЗ.
  • VI. записать   в   ответе   те   из   найденных    корней,   которые   принадлежат   ОДЗ.

Пример 26:                  Решить уравнение              $\frac{2x+4}{2x-1}-3=\frac{15-6x}{2x-3}$         

  • ОДЗ        $2x-1\ne0$          $2x-3\ne0$
  • превратим числовое слагаемое в дробь       $\frac{2x+4}{2x-1}-\frac{3}{1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     и    применим     правило   сложения   алгебраических дробей
  • $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$       :            $\frac{2x+4-3\cdot\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     ,            упростим          $\frac{-4x+7}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$   ,      перенесем   правую   дробь
  • к левой   дроби         $\frac{-4x+7}{2x-1}-\frac{15-6x}{2x-3}=0$       и    выполним сложение дробей    с общим знаменателем ,    равным
  • произведению    двух   множителей           $\frac{\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-3\right)}=0$           если      "дробь   =   $0$ "        тогда
  • "числитель     =   $0$           получим           $\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)=0$      ,    раскроем скобки
  • $-8x^2+12x+14x-21-30x+15+12x^2-6x=0$     ,     приведем   к стандартному виду           $4x^2-10x-6=0$
  • и сократим на $2$:    $\Rightarrow$       $2x^2-5x-3=0$ .               ответ:      $x_1=3$        $x_2=-\frac{1}{2}$ .        ОДЗ выполняется для обеих корней.

Алгоритм     решения     уравнения      "дробно - рациональное выражение    =      дробь":

  • решается   превращением   суммы   дробей   в   одну   дробь   по   правилу   сложения   дробей        $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$.
  • Если дробь складывается с каким-то числом     $К$    ,   его предварительно заменяют       $\frac{K}{1}$ -   дробью со знаменателем       $1$ .
  • полученное "дробь = дробь"    преобразуют в    "дробь = 0" .   затем переход к уравнению    "числитель = 0".
  • проверка корней на соответсвие условиям   ОДЗ обязательна.

         

Показательные уравнения

Показательная функция     имеет вид          $a^{f\left(x\right)}$     .      основание - числовое выражение,       показатель - выражение с переменным.

Простейшее показательное уравнение       имеет    вид      $a^{f\left(x\right)}=a^n$   ,       сводится     к    равенству показателей           $f\left(x\right)=n$       при одинаковых основаниях.

Формулы, свойства степеней:

  • Умножение степеней - основание одинаковые, показатели складываются:      $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$       $\Leftrightarrow$        $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ ;     
  • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$             $\Leftrightarrow$         $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$   Делении степеней с одинаковыми основаниями - основание прежнее, показатели вычитаются.
  • $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$           $\Leftrightarrow$         $a^{mn}=\left(a^m\right)^n$     Возведении степени в степень показатели перемножаются. И наоборот!
  • $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$        $\Leftrightarrow$         $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$               Возведение в степень произведения - в эту степень возводится каждый множитель:
  • $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$               $\Leftrightarrow$         $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$   Возведение в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель . Деление?
  • Дробная степень:                $a^{\frac{x}{y}}=\left(\sqrt[y]{a}\right)^x$             ;           $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$           Знаменатель как корень. Числитель как степень.     
  • Отрицательная степень      $\Leftrightarrow$             обратная степень :                                 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$                ;           $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^x$

Пример 31:              Решить уравнение        $8^{3-x}=4$

  • числа $8$    и   $4$    можно представить     как степени с основанием      $2$    :       $\left(2^3\right)^{3-x}=2^2$   .    по формуле    степень в   степени
  • $2^{3\cdot\left(3-x\right)}=2^2$    -     получили простейшее показательное уравнение с одинаковыми основаниями    слева и справа      $\Rightarrow $
  • приравняем показатели        $3\cdot\left(3-x\right)=2$   ,    решим     $9-3x=2$    $\Leftrightarrow$    $3x=7$   $\Leftrightarrow$    $x=\frac{7}{3}$ .
  • ответ:    $x=\frac{7}{3}$

Пример 32:              Решить уравнение        $5^{-3x+1}=0.2^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{125}$

  • Преобразуем   уравнение к простейшему виду :        $5$   в   степени    какое - то выражение     =     $5$ в степени число .
  • Заметим ,      $0,2$ и     $125$     являются      степенями    $5$ :           $5^{-3x+1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{5^3}$            $\Leftrightarrow$             $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{3}{2}}$ ,
  • используем свойства степеней :      $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}$     $\Leftrightarrow$     $5^{-3x+1}=5^{\frac{7}{6}}$     $\Leftrightarrow$   и приходим   к   нашей цели -
  • к простейшему уравнению , приравняем показатели:          $-3x+1=\frac{7}{6}$          $\Leftrightarrow$       $x=-\frac{1}{18}$    .           ответ:       $x=-\frac{1}{18}$

Пример 33:              Решить уравнение        $5^{x^2-1}=3^{x^2-1}$

  • нам задано    равенство    двух показательных функций при одинаковых показателях , но   разных основаниях.
  • когда сможет выполниться такое равенство?    каким должен быть показатель, чтобы   степени с разными основаниями
  • $5$ и $3$    сравнялись .     конечно,    только     при     показателе     $0$ ,   когда   обе части будут просто    единицами      $1=1$ .
  • добьемся этого преобразованиями:     перенесем   правую часть    влево как делитель               $\frac{5^{x^2-1}}{3^{x^2-1}}=1$   
  • по   формуле отношений степеней с равными показателями     превратит в   одну     функцию        $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=1$   ,
  • перепишем правую единицу    как      нулевую степень        подходящего выражения          $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^0$         $\Leftrightarrow$
  • получим вид простейшего,    сравняем показатели          $x^2-1=0$              ответ:   $x=1$   ,    $x=-1$ .

проб проб

Логарифмические уравнения

Формулы, свойства логарифмов

  • Основное тождество      $\log_ab=n$       $\Leftrightarrow$        $b=a^n$               $a^{\log b_a}=b$            Логарифм есть показатель степени.
  • сумма логарифмов    $\log_ax+\log_ay=\log_axy$   логарифм произведения.    разность логарифмов         $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$
  • формула замены основания:              $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$         обратное логарифма             $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$
  • Вынос показателя степени аргумента:               $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$ ;    и   наоборот:     множитель заносится внутрь    $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$
  • Вынос показателя степени основания:                $\log_{\left(a^n\right)}b=\frac{1}{n}\cdot\log_ab$ ;   множитель заносится как корень основания    $n\cdot\log_ab=\log_{\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}b$
  • Переход к новому основанию:                  $\log_ab=\frac{\log_xb}{\log_xa}$ ;       отношение двух    логарифмов с одинаковым основанием     $\frac{\log_xb}{\log_xa}=\log_ab$
  • Перекрестное произведение логарифмов:         $\log_ax\cdot\log_xb=\log_ab$ ;    аргумент одного равен основанию другого, как будто "сокращение" .
  • Универсальная формула для степеней внутри логарифма:               $\log_{\left(a^n\right)}\left(b^m\right)=\frac{m}{n}\cdot\log_ab$ ;
  • Транзит, логарифм в показателе:                $a^{\log_xb}=b^{\log_xa}$               $2^{\log_83}=3^{\log_82}$

Решение простейшего:          $\log_af\left(x\right)=c$    $\Rightarrow$     $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$    $\Rightarrow$    $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

  • По основному   тождеству:    аргумент   логарифма   равен   основанию   в   степени   правая   часть. "вскрыть логарифм".
  • При   равенстве   двух   логарифмов   с   одним   и   тем   же   основанием,   приравниваем   аргументы    этих   логарифмов.
  • Все   что   нужно   уметь   для   решения   простейшего логарифмического   уравнения   -   это   знать   "что такое логарифм".

Пример 34:                  Решить уравнение              $\log_{49}\left(2x-1\right)=0.5$                     

  • Какими решения не могут быть в принципе?    нужно   указать    Область   Допустимых   Значений:
  • О.Д.З.        $2x-1 > 0$           ограничение:    недопустимо чтобы под   логарифмом   оказалось неположительная величина.
  • "вскроем     логарифм" по    основному   тождеству:         аргумент   уравняется   с    "основанием   в   степени   правое   число",
  • $\log_af\left(x\right)=c$       $\Rightarrow$        $f\left(x\right)=a^c$           в нашем случае              $a=49$       $f\left(x\right)=2x-1$      $c=0.5$        получаем
  • $2x-1=49^{0.5}$       $\Rightarrow$         $2x=7+1$       $\Rightarrow$        $x=4$        проверка О.Д.З. ,     удовлетворяет.             Ответ:    $x=4$

         

Пример 35:                  Решить уравнение              $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}36=\log_{\frac{1}{3}}10$               О.Д.З.        $x > 0$

  • Здесь   два   логарифма.    для   превращения   в   простейшее   уравнение,   превратим   два    логарифма   в   один по   формуле
  • разности    логарифмов:      $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$           здесь          $a=\frac{1}{3}$        $x=x$        $y=36$ .   тогда    получим    
  • $\log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{36}=\log_{\frac{1}{3}}10$      решаем   как   простейшее       $\frac{x}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}10}$       получаем         $\frac{x}{36}=10$        проверим    О.Д.З.,
  •    Ответ:        $x=360$
  • можно   было:   перенести   числовой   логарифм   вправо      $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}36+\log_{\frac{1}{3}}10$     упростить   по    формуле
  • $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}\left(36\cdot10\right)$    и   так   далее   .....

Пример 36:                  Решить уравнение              $\log_{0.6}\left(2x^2-3x+1\right)=\log_{0.6}\left(13-x\right)$

  • О.Д.З.       $2x^2-3x+1 > 0$       $13 > x$                 комментарий:   2 логарифма,   2 условия ОДЗ.   в конце нужно проверить оба.
  • два   логарифма   с   одинаковыми   основаниями   равны?    значит,   по   основному   тождеству    можно   приравнять
  • аргументы.     $2x^2-3x+1=13-x$ ,      перенесем   все   в   левую   часть       $2x^2-2x-12=0$ ,   разделим   на      $2$
  • $x^2-x-6=0$       решим   уравнение.       проверим   ОДЗ .....                 Ответ:       $x_1=-2$ ;       $x_2=3$      

Алгоритм:

  1. Написать   ограничения   ОДЗ:   условия   верности   -   допустимости    возможных   решений

  2. По возможности уменьшать количество логарифмов   -   использовать преобразования для сведения к одному логарифму.

  3. Эквивалентными преобразованиями свести уравнение к простейщему виду: логарифм равен числу, или логарифму.

  4. "Вскрыть" простейщее логарифмическое уравнение, перейти к не   -   логарифмическому, более простому и решить.

  5. Полученные   корни   -   решения   проверить   на   выполнение   ОДЗ,    ограничений:   проверка   ложности   кандидата.

Иррациональные уравнения

Правило   возведения   в квадрат обеих частей   уравнения::   

если   $A=B$   , тогда       $A^2=B^2$   ,      но    не    наоборот:   ($A^2=B^2$   не $\Leftrightarrow$     $A=B$ ) .

$A^2=B^2$         $\Rightarrow $    $A=B$            при условии:        $A$     и     $B$      одного и того же знака.

$\sqrt{X}=C$         $\Rightarrow $    $X=C^2$             при условии:       $C\ge0$ ,   $C$ - неотрицательна.

Простейшие уравнения с радикалами

Пример 41:       Решить уравнение           $\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}=3$

  • Вопрос к уравнению:      каким числом должно быть неизвестное     $x$     , чтобы стать   корнем уравнения ,
  • т.е.   чтобы      уравнять   собой левую    и   правую   части ?       не знаем   каким     числом     в будущем     окажется       $x$ ,
  • но    сейчас ,    очевидно ,        дробь      $\frac{3+12x}{2x-1}$     должна    равняться    $9$ .        а как иначе левое   станет    $3$?        никак.
  • вывод:             чтобы сравнялись части,    нужно,     чтобы     сравнялись    их   квадраты .        $A=B$       $\Rightarrow$        $A^2=B^2$ .
  • метод   решения -   избавление от радикала   - возведение   обеих   частей в   квадрат:   формула       $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$   -    .
  • применим этот метод и возведем обе части в квадрат           $\left(\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}\right)^2=\left(3\right)^2$      $\Leftrightarrow$   - так избавимся от радикала
  • $\frac{3+12x}{2x-1}=9$    и получим   "простое"     без радикалов    уравнение       $3+12x=9\cdot\left(2x-1\right)$    $\Leftrightarrow$   $12=18x-12x$      ,
  • наконец-то   найдем     то самое    число , каким   должно быть неизвестное              ответ:     $x=2$

Пример 42:            Решить уравнение                $\sqrt{6-4x-x^2}=-3-2x $

  • В начале   уточним некоторые детали.     не знаем каким станет   выравнивающий обе части    $x$    , но в любом случае:
  • под радикалом      должно быть        неотрицательное значение.            иначе получится   "ложь" - бессмыслица.
  • надо указать    ОДЗ - ограничение       $6-4x-x^2\ge0$ :    (допустимо!)   все, что под радикалом       $\ge0$.
  • избавимся от радикала    одновременным    возведением     обеих    частей в квадрат.          
  • но это не гарантирует   "уравнивания до возведения" .   (Может было 4 = -4 , стало 16 = 16)
  • бывает такое:     после возведения в квадрат части уравниваются,    хотя до операции   они были не равны .
  • например:      $\left(-3\right)^2=\left(3\right)^2$      ,      но ведь     $-3\ne3$ .
  • нам нужны гарантии , что равные после   возведения    в    квадрат части     $A^2=B^2$ ,      были бы равными и   до
  • такое   возможно   только   при условии : обе части уравнения до возведения   $A$   и   $B$ должны быть одного знака.
  • $\left(\sqrt{6-4x-x^2}\right)^2=\left(-3-2x\right)^2$        при условии       $-3-2x\ge0$     (правая часть до возведения должна быть $\ge0$ )   
  • оговорка      при условии       гарантирует       одинаковость   знаков   частей   "до" операции возведения в квадрат :
  • левая часть    -   это радикал ,   он неотрицателен      $\Rightarrow$      значит    правая часть уравнения неотрицательна.
  • используем формулы:     $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$      ;    $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$       получим     $6-4x-x^2=9+12x+4x^2$
  • решим квадратное уравнение      $5x^2+16x+3=0$.        два корня       $x=-3$       ,           $x=-0.2$ .
  • внимание:   корни должны пройти ОДЗ   и при условии.   Если какой-то не проходят, значит этот корень    ложный.
  • проверка:      $x=-3$     1)    ОДЗ - да!.       2)   "при"      $-3-2x\ge0$ - да!     $\Rightarrow$     истинное решение.
  • проверка:      $x=-0.2$       $\Rightarrow$   1)    ОДЗ - да!.       2) "при"      $-3-2x\ge0$     - нет!    $\Rightarrow$    ложное решение.
  • ответ:      $x=-3$                               в ответе перечисляем только истинные, уравнивающие решения.

Область Допустимых Значений - ОДЗ          - ОДЗ выражения,   ОДЗ уравнения

  • те числовые значения переменной, при которых выражения имеют смысл    ... вычисляются.
  • но не те числа, при которых выражение невозможно вычислить
  • ОДЗ уравнения - те числовые значения неизвестного, при которых выполняется ОДЗ каждого выражения.
  • У выражения с квадратным радикалом ОДЗ условие: под радикальное выражение неотрицательно.
  • Если в уравнении есть радикалы, то условия ОДЗ: Каждое подрадикальное $\ge0$.   (под корнем минусовое нельзя)
  • Если есть дробь, то условия ОДЗ: каждый знаменатель $\ne0$.      (делить на 0 нельзя!)

Один радикал в уравнении   

Напоминание:      Избавиться от радикала в уравнении      $\sqrt{A}=B$    можно путем   возведения    его в квадрат    $\left(\sqrt{ }\right)^2$   ,   для этого    радикал должен   быть   уединенным     в одной из частей уравнения      $\sqrt{A}$.                  "При условии"      относится к противоположной от радикала части уравнения -   выражению    $B$   и   накладывается   до возведения в квадрат, но   пишется при возведении   $\left(B\right)^2$

Пример 43:            Решить уравнение                $\sqrt{5-x^2}-2x=3-x$    

  • вопросы:       как нам из этого уравнения получить такое, какое мы уже научились решать?          как нам прийти к виду "радикал равняется не радикальному выражению"   ?
  • NB:   "правильно поставленный вопрос уже полдела.    все открытия начинаются от хорошего вопроса. ставьте вопросы! "
  • ОДЗ     $5-x^2\ge0$        $\Leftrightarrow $      условие ОДЗ      гарантирует     "не ложность"    решения.    перенесем все нерадикальные
  • слагаемые   на противоположную   от радикала сторону         $ \sqrt{5-x^2}=2x+3-x$        -    так мы     уединяем   радикал.
  • возведение обеих частей в квадрат и "при условии" :        $\left(\sqrt{5-x^2}\right)^2=\left(x+3\right)^2$       при        $x+3\ge0$      
  • далее,     $5-x^2=x^2+6x+9$   $\Leftrightarrow$   $2x^2+6x+4=0$     $\Leftrightarrow$      $x^2+3x+2=0$          $\Rightarrow$    корни      $x=-1$ ,      $x=-2$
  • ответ:        $x=-1$ ,     $x=-2$                 оба корня истинные, т.к.   проходят   ОДЗ и "при условии".

Равенство радикалов   

Пример 44:            Решить уравнение          $\sqrt{2-x+x^2}-\sqrt{6-2x}=0$    

  • ОДЗ:      $2-x+x^2\ge0$ ;   $6-2x\ge0$    - условие допустимости к решению : определяем когда радикалы существуют.
  • перенесем один из радикалов направо, тем самым сравняем радикалы и подготовим возведение в квадрат обеих частей,
  • $\sqrt{2-x+x^2}=\sqrt{6-2x}$ . "при условии" писать не будем ,    ведь обе части уже     $\ge0$      из-за радикалов, см. ОДЗ.

дальнейшая стратегия:

I. избавимся от радикалов: возведем обе части в квадрат. условия не нужны, радикалы одного знака.                   II. решим полученное нерадикальное уравнение.               III. Проверим решения на выполнимость всех ОДЗ ограничений.    забракуем ложные корни.

В пустых ЛИСТах #71 - #74 можно интерактивно решать любые уравнения, хоть из сайта сдам.егэ:

Уравнения, Задачи   из Задания №1, ЕГЭ - профиль