Пример 18:                  Решить уравнение              $6x^2–2x=0$ ;

• вынесем   общий   множитель   за   скобки:      $2x\cdot(3x – 1)=0$ ;       распад на два случая:    
  
• $2x=0$     $\Rightarrow$     $x=0$ ;    $3x–1=0$       $\Rightarrow$     $x=\frac{1}{3}$ .    ответ:   соберем все решения:         $x_1=0$ ;        $x_2=\frac{1}{3}$             
  

Пример 19:                  Решить уравнение              $50x^2-7x=0$       

• вынесем общий $x\cdot\left(50x-7\right)=0$.    1-й:     $x=0$ ;        2-й:   $50x-7=0$     ...   $x=\frac{7}{50}$

Пример 20:                  Решить уравнение              $4x^2=10x$    

• Через   сокращение    $x$   решать   это   уравнение   нельзя,   т.к.   потеряется   корень   $x=0$. Правильное   решение   -   перенести   всё   в   одну   часть,   затем   вынести   неизвестное   за   скобку

Уравнение   вида     $(ax)^2=c^2$:      решается применением формули разности квадратОВ.    После переноса и разложения по формуле приведится   к   виду      $(ax-c)(ax+c)=0$ . Далее решаем 2 случая.

Пример 21:                  Решить уравнение              $9x^2-16=0$          

• Разложим      $9x^2-16$    на множители по формуле "разность квадратОВ":       $(3x-4)\cdot\left(3x+4\right)=0$
• Произведение двух скобок равно нулю. два случая - $3x-4=0$ $\Rightarrow$ $3x=4$ .    $3x+4=0$   $\Rightarrow$ $3x=-4$

Пример 22:      Решить уравнение              $(3-x)\cdot\left(4x+6x^2\right)\cdot\left(x^2-1\right)=0$          

• Произведение скобок равно нулю. Для каждого множителя напишем уравнение "обнуления": Каждое "скобка = 0" и решим каждое.   
  
• №1         $x^2-1=0$     $\Rightarrow$     $(x-1)(x+1)=0$       $x-1=0$       $x+1=0$    $x=-1$       $x=1$
• №2        $4x+6x^2=0$     $\Rightarrow$      $2x(2x+3)=0$      $x=0$     $2x+3=0$      $x=-\frac{3}{2}$
  
• №3       $3-x=0$    $\Rightarrow$   $x=3$      ответ:      $x=3$       $x=0$      $x=-1,5$      $x=-1$       $x=1$

Дробно-рациональные уравнения

ОДЗ -      множество   значений   неизвестного,    при которых   имеют смысл   все входящие выражения.

• Уравнения        $\frac{x-2}{x+3}=0$ ,       $5y=\frac{2+4y}{3y-7}+14$   ,            $\frac{6x+5y}{11xy}=\frac{xy}{2x+12y}$        теряют смысл, если знаменатель станет нулем.
• ОДЗ    означает     "мы   пока   не   знаем   какие   числа   могут   уравнять, но   мы точно   знаем   какие не могут:
  
• перечисляем условия      ОДЗ,        чтобы не пропустить ложные числа.   Отфильтровать плохие, недопустимые числа."

Пример 23                  Решить уравнение              $\frac{3-2x}{x+2}=\frac{30}{5-x}$

• ОДЗ          $x+2\ne0$        $5-x\ne0$                (суть   написания    ОДЗ   -    не   допустить ложные   решения:   решением уравнения
  
• могут быть только те числа, будучи подставлеными в обе части уравнения    вместо    неизвестного   $x$,     уравняют обе части.)
• 1-ый шаг.        дробь равна дроби.       свойство пропорции:       если       $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ,    тогда      $A\cdot D=C\cdot B$.     значит, чтобы
• найти      $x$ ,     уравнивающий эти дроби,     достаточно найти    решения уравнения      $\left(3-2x\right)\left(5-x\right)=30\cdot\left(x+2\right)$ ,       
  
• 2-ой шаг.         раскрыв скобки, перейти к решению квадратного    уравнения             $15-3x-10x+2x^2=30x+60$        
  
• $\Leftrightarrow$                    $2x^2-43x-45=0$               $\Leftrightarrow$              решения уравнения :            $x_1=22,5$;            $x_2=-1$ .
  
• осталось проверить     ОДЗ     условия        $\Rightarrow$        оба числа принадлежат ОДЗ,     значит    это     корни     уравнения.

Алгоритм   решения    уравнения     "дробь   =   дробь"

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{C\left(x\right)}{D\left(x\right)}$       решается   переходом   к квадратному по свойству   пропорций         $\Rightarrow$     $A\left(x\right)\cdot D\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot B\left(x\right)$ .

$1)$:           $\frac{x^2-3x}{7-2x}=\frac{x+1}{5}$               $\Rightarrow$             $\left(x^2-3x\right)\cdot5=\left(x+1\right)\cdot\left(7-2x\right)$ .

$2)$:           $\frac{x^2-17}{5-x}=-1$              $\Rightarrow$              $x^2-17=-1\cdot\left(5-x\right)$

         

Пример 24:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=0$           

• ОДЗ         $x^2-9\ne0$         ( знаменатель    не может быть    равен    $0$ , значит     $x$     не может быть равен     $+3$       и      $-3$    .)
• в нашем уравнении     " дробь     =     ноль "       $\Leftrightarrow$      простое рассуждение:      вся   дробь равна нулю   значит,   числитель
  
• равен нулю.    как иначе дробь обнулится?      Никак!          $x^2-5x+6=0$           $\Leftrightarrow$        $D=5^2-4\cdot1\cdot6 = 1$         получаем
  
• $x_1=2$         $x_2=3$ ,       проверим    истинность решений:      $x=3$    оно   не   удовлетворяет   условию   ОДЗ ,       значит,
• это ложный корень.                 ответ:    $x=2$

Алгоритм     решения    уравнения     "дробь   =   0" :

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0$        эквивалентно         $\Leftrightarrow$         $A\left(x\right)=0$          $B\left(x\right)\ne0$ .     числитель $= 0$,       знаменатель   $\ne0$.

Пример 25:                  Решить уравнение              $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+12$                  

• ОДЗ             $x-3\ne0$
• приведем к    общему    знаменателю             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2}{x-3}+\frac{12\left(x-3\right)}{x-3}$    , сложим    числители   справа             $\frac{x^2-7}{x-3}=\frac{2+12\left(x-3\right)}{x-3}$,
  
• избавимся   от дробей   путем   домножения   обеих   частей   уравнения   на общий знаменатель         $x^2-7=2+12\left(x-3\right)$ ,
  
• перенесем в левую часть и получим желаемое уравнение       $x^2-12x+27=0$       $\Leftrightarrow$          $x_1=3$ ;       $x_2=9$ .   
  
• проверим: принадлежат ли    корни   ОДЗ уравнения   ( $x-3\ne0$   ) ? .    корень      $x=3$     не удовлетворяет ОДЗ   ,
  
• за это его исключают из множества решений.           такие корни называют посторонними,    ложными   корнями.
• ответ:    $x=9$

Алгоритм   решения   дробно-рациональных   уравнений:

• I.     определить   условия   ОДЗ   уравнения.   какие   выражения   не   могут   быть   нулем?
• II.    привести   все   слагаемые   в   обеих   частях   уравнения   к   общему   знаменателю.
• III.   домножить   обе   части   уравнения   на   общий   знаменатель.   сократить.
• IV.   найти и корни,   решения   полученного   уравнения.
• V.   проверить,   принадлежат ли   найденные   корни   ОДЗ.
• VI. записать   в   ответе   те   из   найденных    корней,   которые   принадлежат   ОДЗ.

Пример 26:                  Решить уравнение              $\frac{2x+4}{2x-1}-3=\frac{15-6x}{2x-3}$         

• ОДЗ        $2x-1\ne0$          $2x-3\ne0$
• превратим числовое слагаемое в дробь       $\frac{2x+4}{2x-1}-\frac{3}{1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     и    применим     правило   сложения   алгебраических дробей
• $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$       :            $\frac{2x+4-3\cdot\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$     ,            упростим          $\frac{-4x+7}{2x-1}=\frac{15-6x}{2x-3}$   ,      перенесем   правую   дробь
  
• к левой   дроби         $\frac{-4x+7}{2x-1}-\frac{15-6x}{2x-3}=0$       и    выполним сложение дробей    с общим знаменателем ,    равным
  
• произведению    двух   множителей           $\frac{\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-3\right)}=0$           если      "дробь   =   $0$ "        тогда
• "числитель     =   $0$           получим           $\left(-4x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(15-6x\right)\left(2x-1\right)=0$      ,    раскроем скобки
  
• $-8x^2+12x+14x-21-30x+15+12x^2-6x=0$     ,     приведем   к стандартному виду           $4x^2-10x-6=0$
  
• и сократим на $2$:    $\Rightarrow$       $2x^2-5x-3=0$ .               ответ:      $x_1=3$        $x_2=-\frac{1}{2}$ .        ОДЗ выполняется для обеих корней.

Алгоритм     решения     уравнения      "дробно - рациональное выражение    =      дробь":

• решается   превращением   суммы   дробей   в   одну   дробь   по   правилу   сложения   дробей        $\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$.
• Если дробь складывается с каким-то числом     $К$    ,   его предварительно заменяют       $\frac{K}{1}$ -   дробью со знаменателем       $1$ .
• полученное "дробь = дробь"    преобразуют в    "дробь = 0" .   затем переход к уравнению    "числитель = 0".
• проверка корней на соответсвие условиям   ОДЗ обязательна.

         

Свойства Степеней:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$                $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ ;                $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$                   $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

$\left(a^x\right)^y=a^{xy}$                   $a^{mn}=\left(a^m\right)^n$            $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$                $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$                          

$\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$              $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$                $a^{\frac{x}{y}}=\left(\sqrt[y]{a}\right)^x$             ;           $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$                    

$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$                ;           $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^x$

Свойства Логарифмов:

Основное тождество      $\log_ab=n$       $\Leftrightarrow$        $b=a^n$               $a^{\log b_a}=b$   

сумма логарифмов    $\log_ax+\log_ay=\log_axy$                разность логарифмов         $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$

вынос показателя           $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$                                   внесение под знак логарифма        $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$

обратное логарифма              $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$                                                   формула замены основания:          $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$

Решение простейшего уравнения:        $\log_af\left(x\right)=c$       $\Rightarrow$          $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$         $\Rightarrow$         $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Показательные уравнения

Показательная функция     имеет вид          $a^{f\left(x\right)}$     .      основание - числовое выражение,       показатель - выражение с переменным.

Простейшее показательное уравнение       имеет    вид      $a^{f\left(x\right)}=a^n$   ,       сводится     к    равенству показателей           $f\left(x\right)=n$       при одинаковых основаниях.

Формулы, свойства степеней:

• Умножение степеней - основание одинаковые, показатели складываются:      $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$       $\Leftrightarrow$        $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ ;     
  
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$             $\Leftrightarrow$         $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$   Делении степеней с одинаковыми основаниями - основание прежнее, показатели вычитаются.
• $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$           $\Leftrightarrow$         $a^{mn}=\left(a^m\right)^n$     Возведении степени в степень показатели перемножаются. И наоборот!
• $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$        $\Leftrightarrow$         $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$               Возведение в степень произведения - в эту степень возводится каждый множитель:
• $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$               $\Leftrightarrow$         $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$   Возведение в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель . Деление?
• Дробная степень:                $a^{\frac{x}{y}}=\left(\sqrt[y]{a}\right)^x$             ;           $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$           Знаменатель как корень. Числитель как степень.     
  
• Отрицательная степень      $\Leftrightarrow$             обратная степень :                                 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$                ;           $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^x$
  

Пример 31:              Решить уравнение        $8^{3-x}=4$

• числа $8$    и   $4$    можно представить     как степени с основанием      $2$    :       $\left(2^3\right)^{3-x}=2^2$   .    по формуле    степень в   степени
  
• $2^{3\cdot\left(3-x\right)}=2^2$    -     получили простейшее показательное уравнение с одинаковыми основаниями    слева и справа      $\Rightarrow $
  
• приравняем показатели        $3\cdot\left(3-x\right)=2$   ,    решим     $9-3x=2$    $\Leftrightarrow$    $3x=7$   $\Leftrightarrow$    $x=\frac{7}{3}$ .
• ответ:    $x=\frac{7}{3}$

Пример 32:              Решить уравнение        $5^{-3x+1}=0.2^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{125}$

• Преобразуем   уравнение к простейшему виду :        $5$   в   степени    какое - то выражение     =     $5$ в степени число .
  
• Заметим ,      $0,2$ и     $125$     являются      степенями    $5$ :           $5^{-3x+1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{5^3}$            $\Leftrightarrow$             $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{3}{2}}$ ,
• используем свойства степеней :      $5^{-3x+1}=5^{-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}$     $\Leftrightarrow$     $5^{-3x+1}=5^{\frac{7}{6}}$     $\Leftrightarrow$   и приходим   к   нашей цели -
• к простейшему уравнению , приравняем показатели:          $-3x+1=\frac{7}{6}$          $\Leftrightarrow$       $x=-\frac{1}{18}$    .           ответ:       $x=-\frac{1}{18}$

Пример 33:              Решить уравнение        $5^{x^2-1}=3^{x^2-1}$

• нам задано    равенство    двух показательных функций при одинаковых показателях , но   разных основаниях.
  
• когда сможет выполниться такое равенство?    каким должен быть показатель, чтобы   степени с разными основаниями
  
• $5$ и $3$    сравнялись .     конечно,    только     при     показателе     $0$ ,   когда   обе части будут просто    единицами      $1=1$ .
• добьемся этого преобразованиями:     перенесем   правую часть    влево как делитель               $\frac{5^{x^2-1}}{3^{x^2-1}}=1$   
  
• по   формуле отношений степеней с равными показателями     превратит в   одну     функцию        $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=1$   ,
• перепишем правую единицу    как      нулевую степень        подходящего выражения          $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^0$         $\Leftrightarrow$
  
• получим вид простейшего,    сравняем показатели          $x^2-1=0$              ответ:   $x=1$   ,    $x=-1$ .

проб проб

Логарифмические уравнения

Формулы, свойства логарифмов

• Основное тождество      $\log_ab=n$       $\Leftrightarrow$        $b=a^n$               $a^{\log b_a}=b$            Логарифм есть показатель степени.
• сумма логарифмов    $\log_ax+\log_ay=\log_axy$   логарифм произведения.    разность логарифмов         $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$
• формула замены основания:              $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$         обратное логарифма             $\frac{1}{\log_ba}=\log_ab$
  
• Вынос показателя степени аргумента:               $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_ab$ ;    и   наоборот:     множитель заносится внутрь    $c\cdot\log_ab=\log_a\left(b^c\right)$
• Вынос показателя степени основания:                $\log_{\left(a^n\right)}b=\frac{1}{n}\cdot\log_ab$ ;   множитель заносится как корень основания    $n\cdot\log_ab=\log_{\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}b$
• Переход к новому основанию:                  $\log_ab=\frac{\log_xb}{\log_xa}$ ;       отношение двух    логарифмов с одинаковым основанием     $\frac{\log_xb}{\log_xa}=\log_ab$
• Перекрестное произведение логарифмов:         $\log_ax\cdot\log_xb=\log_ab$ ;    аргумент одного равен основанию другого, как будто "сокращение" .
  
• Универсальная формула для степеней внутри логарифма:               $\log_{\left(a^n\right)}\left(b^m\right)=\frac{m}{n}\cdot\log_ab$ ;
  
• Транзит, логарифм в показателе:                $a^{\log_xb}=b^{\log_xa}$               $2^{\log_83}=3^{\log_82}$

Решение простейшего:          $\log_af\left(x\right)=c$    $\Rightarrow$     $f\left(x\right)=a^c$              $\log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)$    $\Rightarrow$    $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

• По основному   тождеству:    аргумент   логарифма   равен   основанию   в   степени   правая   часть. "вскрыть логарифм".
• При   равенстве   двух   логарифмов   с   одним   и   тем   же   основанием,   приравниваем   аргументы    этих   логарифмов.
• Все   что   нужно   уметь   для   решения   простейшего логарифмического   уравнения   -   это   знать   "что такое логарифм".

Пример 34:                  Решить уравнение              $\log_{49}\left(2x-1\right)=0.5$                     

• Какими решения не могут быть в принципе?    нужно   указать    Область   Допустимых   Значений:
• О.Д.З.        $2x-1 > 0$           ограничение:    недопустимо чтобы под   логарифмом   оказалось неположительная величина.
• "вскроем     логарифм" по    основному   тождеству:         аргумент   уравняется   с    "основанием   в   степени   правое   число",
• $\log_af\left(x\right)=c$       $\Rightarrow$        $f\left(x\right)=a^c$           в нашем случае              $a=49$       $f\left(x\right)=2x-1$      $c=0.5$        получаем
• $2x-1=49^{0.5}$       $\Rightarrow$         $2x=7+1$       $\Rightarrow$        $x=4$        проверка О.Д.З. ,     удовлетворяет.             Ответ:    $x=4$

         

Пример 35:                  Решить уравнение              $\log_{\frac{1}{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}36=\log_{\frac{1}{3}}10$               О.Д.З.        $x > 0$

• Здесь   два   логарифма.    для   превращения   в   простейшее   уравнение,   превратим   два    логарифма   в   один по   формуле
• разности    логарифмов:      $\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$           здесь          $a=\frac{1}{3}$        $x=x$        $y=36$ .   тогда    получим    
  
• $\log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{36}=\log_{\frac{1}{3}}10$      решаем   как   простейшее       $\frac{x}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}10}$       получаем         $\frac{x}{36}=10$        проверим    О.Д.З.,
•    Ответ:        $x=360$
• можно   было:   перенести   числовой   логарифм   вправо      $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}36+\log_{\frac{1}{3}}10$     упростить   по    формуле
• $\log_{\frac{1}{3}}x=\log_{\frac{1}{3}}\left(36\cdot10\right)$    и   так   далее   .....

Пример 36:                  Решить уравнение              $\log_{0.6}\left(2x^2-3x+1\right)=\log_{0.6}\left(13-x\right)$

• О.Д.З.       $2x^2-3x+1 > 0$       $13 > x$                 комментарий:   2 логарифма,   2 условия ОДЗ.   в конце нужно проверить оба.
• два   логарифма   с   одинаковыми   основаниями   равны?    значит,   по   основному   тождеству    можно   приравнять
• аргументы.     $2x^2-3x+1=13-x$ ,      перенесем   все   в   левую   часть       $2x^2-2x-12=0$ ,   разделим   на      $2$
• $x^2-x-6=0$       решим   уравнение.       проверим   ОДЗ .....                 Ответ:       $x_1=-2$ ;       $x_2=3$      
  

Алгоритм:

1. Написать   ограничения   ОДЗ:   условия   верности   -   допустимости    возможных   решений

2. По возможности уменьшать количество логарифмов   -   использовать преобразования для сведения к одному логарифму.

3. Эквивалентными преобразованиями свести уравнение к простейщему виду: логарифм равен числу, или логарифму.

4. "Вскрыть" простейщее логарифмическое уравнение, перейти к не   -   логарифмическому, более простому и решить.

5. Полученные   корни   -   решения   проверить   на   выполнение   ОДЗ,    ограничений:   проверка   ложности   кандидата.

Иррациональные уравнения

Правило   возведения   в квадрат обеих частей   уравнения::   

если   $A=B$   , тогда       $A^2=B^2$   ,      но    не    наоборот:   ($A^2=B^2$   не $\Leftrightarrow$     $A=B$ ) .

$A^2=B^2$         $\Rightarrow $    $A=B$            при условии:        $A$     и     $B$      одного и того же знака.

$\sqrt{X}=C$         $\Rightarrow $    $X=C^2$             при условии:       $C\ge0$ ,   $C$ - неотрицательна.

Простейшие уравнения с радикалами

Пример 41:       Решить уравнение           $\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}=3$

• Вопрос к уравнению:      каким числом должно быть неизвестное     $x$     , чтобы стать   корнем уравнения ,
• т.е.   чтобы      уравнять   собой левую    и   правую   части ?       не знаем   каким     числом     в будущем     окажется       $x$ ,
• но    сейчас ,    очевидно ,        дробь      $\frac{3+12x}{2x-1}$     должна    равняться    $9$ .        а как иначе левое   станет    $3$?        никак.
• вывод:             чтобы сравнялись части,    нужно,     чтобы     сравнялись    их   квадраты .        $A=B$       $\Rightarrow$        $A^2=B^2$ .
  
• метод   решения -   избавление от радикала   - возведение   обеих   частей в   квадрат:   формула       $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$   -    .
• применим этот метод и возведем обе части в квадрат           $\left(\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}\right)^2=\left(3\right)^2$      $\Leftrightarrow$   - так избавимся от радикала
• $\frac{3+12x}{2x-1}=9$    и получим   "простое"     без радикалов    уравнение       $3+12x=9\cdot\left(2x-1\right)$    $\Leftrightarrow$   $12=18x-12x$      ,
• наконец-то   найдем     то самое    число , каким   должно быть неизвестное              ответ:     $x=2$

Пример 42:            Решить уравнение                $\sqrt{6-4x-x^2}=-3-2x $

• В начале   уточним некоторые детали.     не знаем каким станет   выравнивающий обе части    $x$    , но в любом случае:
• под радикалом      должно быть        неотрицательное значение.            иначе получится   "ложь" - бессмыслица.
  
• надо указать    ОДЗ - ограничение       $6-4x-x^2\ge0$ :    (допустимо!)   все, что под радикалом       $\ge0$.
• избавимся от радикала    одновременным    возведением     обеих    частей в квадрат.          
  
• но это не гарантирует   "уравнивания до возведения" .   (Может было 4 = -4 , стало 16 = 16)
• бывает такое:     после возведения в квадрат части уравниваются,    хотя до операции   они были не равны .
• например:      $\left(-3\right)^2=\left(3\right)^2$      ,      но ведь     $-3\ne3$ .
• нам нужны гарантии , что равные после   возведения    в    квадрат части     $A^2=B^2$ ,      были бы равными и   до
  
• такое   возможно   только   при условии : обе части уравнения до возведения   $A$   и   $B$ должны быть одного знака.
  
• $\left(\sqrt{6-4x-x^2}\right)^2=\left(-3-2x\right)^2$        при условии       $-3-2x\ge0$     (правая часть до возведения должна быть $\ge0$ )   
  
• оговорка      при условии       гарантирует       одинаковость   знаков   частей   "до" операции возведения в квадрат :
• левая часть    -   это радикал ,   он неотрицателен      $\Rightarrow$      значит    правая часть уравнения неотрицательна.
  
• используем формулы:     $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$      ;    $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$       получим     $6-4x-x^2=9+12x+4x^2$
  
• решим квадратное уравнение      $5x^2+16x+3=0$.        два корня       $x=-3$       ,           $x=-0.2$ .
• внимание:   корни должны пройти ОДЗ   и при условии.   Если какой-то не проходят, значит этот корень    ложный.
• проверка:      $x=-3$     1)    ОДЗ - да!.       2)   "при"      $-3-2x\ge0$ - да!     $\Rightarrow$     истинное решение.
• проверка:      $x=-0.2$       $\Rightarrow$   1)    ОДЗ - да!.       2) "при"      $-3-2x\ge0$     - нет!    $\Rightarrow$    ложное решение.
• ответ:      $x=-3$                               в ответе перечисляем только истинные, уравнивающие решения.

Область Допустимых Значений - ОДЗ          - ОДЗ выражения,   ОДЗ уравнения

• те числовые значения переменной, при которых выражения имеют смысл    ... вычисляются.
• но не те числа, при которых выражение невозможно вычислить
• ОДЗ уравнения - те числовые значения неизвестного, при которых выполняется ОДЗ каждого выражения.
• У выражения с квадратным радикалом ОДЗ условие: под радикальное выражение неотрицательно.
• Если в уравнении есть радикалы, то условия ОДЗ: Каждое подрадикальное $\ge0$.   (под корнем минусовое нельзя)
• Если есть дробь, то условия ОДЗ: каждый знаменатель $\ne0$.      (делить на 0 нельзя!)

Один радикал в уравнении   

Напоминание:      Избавиться от радикала в уравнении      $\sqrt{A}=B$    можно путем   возведения    его в квадрат    $\left(\sqrt{ }\right)^2$   ,   для этого    радикал должен   быть   уединенным     в одной из частей уравнения      $\sqrt{A}$.                  "При условии"      относится к противоположной от радикала части уравнения -   выражению    $B$   и   накладывается   до возведения в квадрат, но   пишется при возведении   $\left(B\right)^2$

Пример 43:            Решить уравнение                $\sqrt{5-x^2}-2x=3-x$    

• вопросы:       как нам из этого уравнения получить такое, какое мы уже научились решать?          как нам прийти к виду "радикал равняется не радикальному выражению"   ?
• NB:   "правильно поставленный вопрос уже полдела.    все открытия начинаются от хорошего вопроса. ставьте вопросы! "
• ОДЗ     $5-x^2\ge0$        $\Leftrightarrow $      условие ОДЗ      гарантирует     "не ложность"    решения.    перенесем все нерадикальные
• слагаемые   на противоположную   от радикала сторону         $ \sqrt{5-x^2}=2x+3-x$        -    так мы     уединяем   радикал.
• возведение обеих частей в квадрат и "при условии" :        $\left(\sqrt{5-x^2}\right)^2=\left(x+3\right)^2$       при        $x+3\ge0$      
  
• далее,     $5-x^2=x^2+6x+9$   $\Leftrightarrow$   $2x^2+6x+4=0$     $\Leftrightarrow$      $x^2+3x+2=0$          $\Rightarrow$    корни      $x=-1$ ,      $x=-2$
• ответ:        $x=-1$ ,     $x=-2$                 оба корня истинные, т.к.   проходят   ОДЗ и "при условии".
  

Равенство радикалов   

Пример 44:            Решить уравнение          $\sqrt{2-x+x^2}-\sqrt{6-2x}=0$    

• ОДЗ:      $2-x+x^2\ge0$ ;   $6-2x\ge0$    - условие допустимости к решению : определяем когда радикалы существуют.
• перенесем один из радикалов направо, тем самым сравняем радикалы и подготовим возведение в квадрат обеих частей,
• $\sqrt{2-x+x^2}=\sqrt{6-2x}$ . "при условии" писать не будем ,    ведь обе части уже     $\ge0$      из-за радикалов, см. ОДЗ.

дальнейшая стратегия:

I. избавимся от радикалов: возведем обе части в квадрат. условия не нужны, радикалы одного знака.                   II. решим полученное нерадикальное уравнение.               III. Проверим решения на выполнимость всех ОДЗ ограничений.    забракуем ложные корни.

В пустых ЛИСТах #71 - #74 можно интерактивно решать любые уравнения, хоть из сайта сдам.егэ:

Уравнения, Задачи   из Задания №1, ЕГЭ - профиль