Названия, Ключевые понятия, Слова:
- Тетраэдр - четырехгранник. Треугольная пирамида. Правильный тетраэдр - правильная треугольная пирамида.
- Правильной n-угольной пирамидой называется: в основании лежит правильный n-угольник: вершина проецируется в центр.
- Высота фигуры - перпендикуляр, опущений к плоскости основания. Перпендикулярен любой прямой в основании.
- Призма - верхнее и нижнее основания одинаковые и параллельные фигуры. Все боковые ребра параллельны и равны.
- Параллелепипед - Все грани параллелограммы, противоположные грани параллельны и равны.
- Прямой Параллелепипед - "Прямо:" Высоты перпендикулярны основанию. Все боковые грани прямоугольники.
- Прямоугольный Параллелепипед - Высоты перпендикулярны основанию. Все боковые грани и основания - прямоугольники.
- Апофема - высота боковой грани пирамиды, опущенная из вершины пирамиды. Высота бокового треугольника.
- Угол наклона бокового ребра - угол между ребром и основанием - угол между ребром и его проекцией на основание.
- Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и его проекцией на эту плоскость.
- Проекция точки на плоскость - точка, куда падает перпендикуляр из данной точки на плоскость.
- Проекция прямой линии на плоскость - прямая, состоящая из проекций каждой точки данной линии.
- Отрезок прямой, его проекция и высота (перпендикуляр к плоскости) составляют прямоугольный треугольник.
- Теорема о трех перпендикулярах: наклонная и его проекция одновременно перпендикулярны некой прямой на плоскости.
- Образующая цилиндра, конуса: отрезок, вращением которого образуется боковая поверхность фигуры.
Ребро фигуры - сторона, отрезок соединяющий вершины фигуры. Вершина - точка.
Грани - плоские многоугольники. Тетраэдр - четырехгранник, треугольная пирамида.
1 литр объема = 1000 кубических сантиметров. Объемы твердых и жидкостей складываются
Аддитивности объема: Объем цельной фигуры равен сумме объемов его "неперекрывающихся" частей.
$V=V_1+V_2+V_3+V_4$ ... $V_2=V_2-V_1-V_3$ _ $\frac{V_1}{V_2}=k^3$ .... $k=\frac{A_1 B_1}{A_2 B_2}$
Объемы фигур вычисляются как "сложение фигур", или, как "вычитание фигур"
Отношение Объемов подобных фигур = $k^3$ коэффициент в кубе. Коэффициент $k$ = отношение отрезков.
- Обьем "прямых" фигур, основания равные и параллельные, - объем = (высота на основание) * (площадь основания).
- "Прямые": Призмы: прямые и наклонные, Параллелепипеды: прямые и параллельные, Цилиндр. Высота перпендикулярно плосткости основания.
- Еще Теорема: Объем призмы = (площадь перпендикулярного сечения) * (боковое ребро). ..... "выпрямление призмы"
- Обьем "вершинных" фигур, основание "сужается" в вершину: - объем = ( $\frac{1}{3}$ ) * (высота на основание) * (площадь основания).
- Пирамида, Тетраэдр, Наклоненная пирамида, Конус, Косина. Высота с вершины строго перпендикулярно плоскости основания.
- Объем "усеченных" фигур: основания параллельны и подобны, боковые ребра "собераются в вершину", через площади ... $V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\left(S_1+\sqrt{S_1\cdot S_2}+S_2\right)$
- Объем шара $V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3$ Площадь поверхности сферы $S=4\cdot\pi\cdot R^2$ . Сектор, Сегмент - части шара.
- Площадь боковой поверхности = сумма площадей боковых граней.
- Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь оснований.
- Призма $ABCA_1B_1C_1$ : $S_{bok}=S\left(AA_1B_1B\right)+S\left(BB_1C_1C\right)+S\left(CC_1A_1A\right)$ $S_{po\ln}=S_{bok}+S\left(ABC\right)+S\left(A_1B_1C_1\right)$
- Пирамида: Сложить площади боковых граней-треугольников. Полная поверхность ... добавить площадь основания.
- Цилиндр - "раскрой цилиндра" = прямоугольник. Площадь = (высота) * (периметр основания, длина окружности) $S=h\cdot2\pi r$
- Конус - "раскрой конуса по образующей" - сектор: радиус - образующая, дуга = периметр основания. $S=\frac{1}{2}\cdot\left(l_{obr}\right)\cdot\left(L_{osn}\right)$
- Образующая цилиндра, конуса: отрезок, вращением которого образуется боковая поверхность фигуры.
- Правильной n-угольной пирамидой называется: 1. в основании лежит правильный n-угольник, 2. вершина проецируется в центр.
- Пирамида: апофемы ( $SC_1$, $SF$, $PK$, $SM$, $SN$ ) - высоты боковой грани. Главный вопрос нахождения объема: Куда попадает Высота, где точка-основание высоты?
- Если в пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания одинаково (углы), то высота попадает в центр описанной окружности.
- Если в пирамиде боковые грани наклонены к основанию одинаково (двугранные), то высота попадает в центр вписанной окружности.
- Двухгранные углы $\angle SMO=\angle SNO=\angle SKO=\alpha$ грани $SAB$, $SCA$, $SBC$ наклоненны к основанию $ABC$ одинаково. центр вписанной.
- Боковые $SA$, $SB$, $SC$ Ребра равны и наклонены одинаково $\angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=\beta$. Высота попадает в центр oписанной.
Как сравнивать объемы двух фигур? Через формулы объемов для каждого
- Написать формулу для объема первой фигуры, например пирамиды: $V_1=\frac{1}{3}\cdot h_1 \cdot S_1$
- Написать формулу для объема второй фигуры, например цилиндра: $V_2=h_2\cdot\pi \cdot r_2^2$
- Составить и найти отношение объемов $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\cdot h_1 \cdot S_1}{h_2\cdot\pi \cdot r_2^2}$
- Изучить величины 1-ой фигуры $h_1$ , $S_1$ . Также 2-ой $h_2$, $r_2$. Возможно, их взаимоотношения!
Задания, упражнения: