preHistory, repeat:
- Формулы надо знать безупречно: чтоб с далека чувствовать, видеть все детали
- Повторите (ниже) все формулы двойных углов, во всех многообразиях применения.
- В тригонометрических уравнениях важно следить за аргументами - какие связи м\ж ними?
- Простейшие уравнения типа sin = числу решается по формулам о сериях решений. (ниже)
- Замена, метод: Если в уравнении некое повторяющееся выражение, то ее меняем на "игрек".
- Чтоб сработала замена, надо выразить - подогнать разные функции под одну и ту же!
VIII . §14 Формулы удвоенных углов.
VIII . §9. Простейшие cos уравнения. Формулы, решения.
VIII . §10. Простейшие sin Уравнения. Формулы, Решения.
VIII . §12. Тригонометрические уравнения: одна функция, один аргумент
Формулы для удвоенных углов:
$\sin2a=2\cdot\sin a\cdot\cos a$ $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a$
$\cos2a=1-2\cdot\sin^2a$ $\cos2a=2\cdot\cos^2a-1$
Формулы решения простейших уравнений:
если $\left|A\right|>1$ уравнения $\sin x=A$ , $\cos x=A$ не имеют решений.
$\sin x=A$ , если $\left|A\right|\le 1$ $\Leftrightarrow$ $x=\arcsin A+2\cdot\pi\cdot n$ $x=\pi-\arcsin$ $A+2\cdot\pi\cdot m$
$\sin x=A$ , если $\left|A\right|\le 1$ $\Leftrightarrow$ $x=\left(-1\right)^n\cdot\arcsin A+\pi\cdot n$ (как единная серия)
$\cos x=A$ , если $\left|A\right|\le 1$ $\Leftrightarrow$ $x=-\arccos A+2\cdot\pi\cdot n$ $x=\arccos$ $A+2\cdot\pi\cdot m$
$\tg x=A$ $\Leftrightarrow$ $x=\arctg A+\pi\cdot n$
$\ctg x=A$ $\Leftrightarrow$ $x=\arcctg A+\pi\cdot n$
Решение методом замены, 1 функция - 1 аргумент
Метод замены: В уравнении сделать такие преобразования, чтоб всюду была лишь одна функция, 1 угол.
- назвать неизвестным $y$ это повторяющееся выражение от $x$ так,
- чтобы после его подстановки в уравнение присутствовало только $y$ - его удобнее искать.
- решить уравнение, найти все значения $y$. Затем, для каждого у - числа составить и решить уравнение возврата по $x$.
Пример 1: Решить уравнение $8\cdot\sin\frac{x}{2}+\cos x=7$
- У нас две функции, синус и косинус. И два разных аргумента: $\frac{x}{2}$ и $x$. Но один угол вдвое больше.
- По формуле: косинус удвоенного $\cos x$ выразим через синус одинарного $\sin\frac{x}{2}$, ... $\cos x=1-2\cdot\sin^2\frac{x}{2}$
- в уравнении заменим $\cos x$ по формуле, получим: $8\cdot\sin\frac{x}{2}+1-2\cdot\sin^2\frac{x}{2}=7$
- теперь у нас одна функция и один аргумент: назовем функцию одной буквой и решим по методу замены
- замена $y=\sin\frac{x}{2}$ подстановка $8y+1-2y^2=7$
- $y^2-4y+3=0$ $\Leftrightarrow$ $y=1$ $y=3$ $\Leftrightarrow$ теперь,
- два уравнения возврата: возврат 1-го $\sin\frac{x}{2}=1$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$ $\Rightarrow$ $x=\pi+4\pi n$
- возврат 2-го $\sin\frac{x}{2}=3$ нет решения. ответ: $x=\left(4n+1\right)\cdot\pi$
Пример 2: Решить уравнение $\cos2x-\sqrt{3}\cdot\cos x-2=0$
- У нас есть углы $2x$ и $x$. Один 2 раза больше: $\cos2x$ заменим на выражение через $\cos x$,
- $2\cdot\cos^2x-1-\sqrt{3}\cdot\cos x-2=0$ .... получили 1 функция, 1 угол. Все готово!
- определим замену $y=\cos x$ и проведем подстановку $2y^2-\sqrt{3}y-3=0$
- найдем значения $y$ , удовлетворяющие это квадратное уравнение. и пусть не пугает коэффициент с радикалом,
- $D=\left(\sqrt{3}\right)^2+4\cdot2\cdot3=3+24=27$ $\Leftrightarrow$ $y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{27}}{4}=\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow$
- " я пока не знаю, чему может равняться $x$, но уже знаю, что $y$ может быть только $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sqrt{3} $."
- Но, новое и старое неизвестные связаны формулой $y=\cos x$ $\Rightarrow$ мы знаем $\cos x$ может равняться $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sqrt{3}$.
- Составим уравнения возврата: в формуле замены $y=\cos x$ подставим полученные числовые $y$ - значения:
- $\Leftrightarrow$ $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (возврат 1-го) $\cos x=\sqrt{3}$ (возврат 2-го значения) $\Leftrightarrow$
- решим первое: $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x_1=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ , $x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m$ ;
- второе: $\cos x=\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ нет решений, косинус не может быть больше $1$.
Пример 3: Решить уравнение $1+\cos6x-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)\cdot\cos3x$
- здесь два разных аргумента. но, первый аргумент 2 раза больше второго. используем формулу удвоенных аргументов
- $1+\left(2\cdot\cos^23x-1\right)-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)\cdot\cos3x$ теперь, у нас 1 функция, 1 аргумент. решаем методом замены
- замена $y=\cos3x$ подстановка $2y^2-4\sqrt{3}=\left(8-\sqrt{3}\right)y$
- $2y^2-\left(8-\sqrt{3}\right)y-4\sqrt{3}=0$ коэфициенты квадратного: $a=2$ $b=\left(8-\sqrt{3}\right)$ $c=-4\sqrt{3}$
- дискриминант $D=\left(8-\sqrt{3}\right)^2+4\cdot2\cdot4\sqrt{3}=64-16\sqrt{3}+3+32\sqrt{3}=64+16\sqrt{3}+3=\left(8+\sqrt{3}\right)^2$
- 1-ый корень $y=\frac{8-\sqrt{3}+\sqrt{\left(8+\sqrt{3}\right)^2}}{4}$ упростим $\Rightarrow$ $y=4$
- 2-ой корень $y=\frac{8-\sqrt{3}-8-\sqrt{3}}{4}$ упростим $\Rightarrow$ $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
- возврат 1-го значения $\Rightarrow$ $\cos3x=4$ $\Rightarrow$ нет решения (косинус не более 1-го)
- возврат 2-го значения $\Rightarrow$ $\cos3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $3x=\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n$ $3x=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi m$
- $3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ $3x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m$ перенесем множитель $3$, $\Leftrightarrow$ ответ: $x_1=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}$ $x_2=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi m}{3}$
Решение методом разложения на множители
В уравнении с правой стороны переносим все слагаемые влево. Справа = 0.
Слагаемые слева имеют общие множители? Или ... можно добиться, чтоб имелись общие множители?
Метод разложения на множители: Выносим общий множитель и получаем уравнение вида "произведение = нулю"
Такое уравнение решаем путем разбиения на случаи: каждый множитель приравниваем к нулю.
Пример 4: Решить уравнение $\sin2x=-\sqrt{2}\cos^2x$
- слева удвоенный угол, формула "синус удвоенного угла" $\Leftrightarrow$ $2\cdot\sin x\cdot\cos x=-\sqrt{2}\cos^2x$
- множитель $\cos x$ есть и у левой части, и у правой части уравнения. перенесем правую часть влево
- $2\cdot\sin x\cdot\cos x+\sqrt{2}\cos^2x=0$ $\Leftrightarrow$ $\cos x\cdot\left(2\cdot\sin x+\sqrt{2}\cos x\right)=0$ разобъем на случаи
- случай 1: $2\cdot\sin x+\sqrt{2}\cos x=0$ $\Leftrightarrow$ $2\cdot\sin x=-\sqrt{2}\cos x$ перенесем множители
- $\Leftrightarrow$ $\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\tg x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x=\arctg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$ $\Leftrightarrow$ $x=-\arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$
- случай 2: $\cos x=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\pi n$ ответы: $x_1=-\arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi m$ $x_2=\pi n$
Пример 5: Решить уравнение $\cos x-2\cdot\sin2x=0$
- применим формулу удвоенного синуса $\cos x-4\cdot\sin x\cdot\cos x=0$ и увидим общий множитель.
- в первом слагаемом уже было, а во втором слагаемом появился множитель $\cos x$ : вынос множителя, разбиение на случаи....
Пример 6: Решить уравнение $\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin x$
- Слева у нас аргумент $\frac{x}{4}$, а справа в 4 раза больший $x$. Но, и слева и справа "видны уши" формул с удвоенными углами:
- Левое выражение приводит к удвоению угла. А справа можно "понизить" до пол-угла $\frac{x}{2}$ по синусу удвоенного
- небольшое "дергание" и учет знака "-" : применим формулу удвоенного косинуса $-\cos\left(2\cdot\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin x$
- теперь, к правой части применим формулу удвоенного синуса, спустим угол $x$ до угла $\frac{x}{2}$:
- $-\cos\left(2\cdot\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\cdot \sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$ упростим, перенесем влево $-\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}\cdot \sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0$
- вот для чего весь сыр-бор: выносим общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки $-\cos \frac{x}{2}\cdot \left(1+\sqrt{3}\cdot \sin \frac{x}{2}\right)=0$
- Разбиение на случаи для каждого множителя: $\cos \frac{x}{2}=0$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{2}=\pi n$ $x=2\pi n$
- $1+\sqrt{3}\cdot \sin \frac{x}{2}=0$ $\Rightarrow$ $\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{x}{2}=-\left(-1\right)^m\cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi m$ $x=2\left(-1\right)^{m+1}\cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}+2\pi m$
Применение формул для преобразования уравнений
Пример 7: Решить уравнение $\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=3\cdot\sin^2x$
- слева "почти" формула, обратная удвоенному синусу $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha$ , $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}\cdot\sin x=3\cdot\sin^2x$
- переносим все влево, чтоб получить справа = 0; вынос общего sin множителя за скобки, разбиение на случаи ....
-
"Дергание формул:" Хорошее знание формул предполагает умение видеть небольшие изменения. если верно $A=B$ , то верны и "передернутые" равенства: $B=A$ $-A=-B$ $2\cdot A=2\cdot B$ $\frac{A}{2}=\frac{B}{2}$ $\frac{1}{A}=\frac{1}{B}$
-
"Предсказание формул:" Блестящее знание формулы предполагает узреть её там, где вроде и не пахнет, спрятана.
Пример 8: Решить уравнение $\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32\sin x}$
-
Умножим обе части на $\sin x$, чтоб увидеть умножение синуса и косинуса: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha$
-
$\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32\sin x}\cdot \sin x$, по формуле $\sin x\cdot \cos x$ "свернем" в $\sin 2x$
-
$\frac{1}{2}\cdot \sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$, "свернем" $\sin 2x\cdot \cos 2x$ в $\sin 4x$
-
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 4x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$ "свернем" $\sin 4x\cdot \cos 4x$ в $\sin 8x$
-
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 8x\cdot \cos 8x=\frac{1}{32}$ "свернем" $\sin 8x\cdot \cos 8x$ в $\sin 16x$
-
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 16x=\frac{1}{32}$ ... одна функция, один угол.
-
... $\sin 16x=\frac{1}{2}$ $16x=\left(-1\right)^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$ $x=\left(-1\right)^n\cdot \frac{\pi }{96}+\frac{\pi n}{16}$
Упражнения A:
Тренинг: Формулы удвоенных углов, преобразования выражений, преобразования частей уравнения, метод замены схематически:
Интерактивная Доска: Решай любые уравнения, шаг за шагом ... проверяй ....
Упражнения B:
Решите уравнения с применением формул: угол ... удвоенный угол ... замена? ... вынос множителя?...
Упражнения С:
Задачи повышенной трудности для смелых ...