Степенные неравенства

Пример 1:          Решить показательное неравенство      $3^{x-1}>81$

  • Смысл решения: нужно найти все числа, которые, будучи подставленные вместо $x$, выполняют условие неравенства.
  • Сведем неравенство к сравнению степеней    $3^{x-1}>3^4$ . Основания наших степеней больше 1:    $3>1$ ....
  • ... "чем больше показатель, тем больше степень"!             Кстати: при основании   $0,4<1$ было бы ровно наоборот.
  • В нашем случае:     $3^{x-1}>3^4$      $\Leftrightarrow$      сравнение показателей       $x-1>4$      $\Leftrightarrow$      $x>5$       "все числа больше 5".

Посмотрим на это с другого взгляда:    обнулим справа       $3^{x-1}-81>0$     $\Leftrightarrow$      $3^{x-1}-3^4>0$

... и изучим вопрос "сравнение разности степеней с нулем":       при каких $x$ она (разность) положительна.

... утверждение: "разность степеней положительна при тех же $x$ - ах, при которых положительна разность показателей ."

т.е. равносильный процесс решения        $3^{x-1}-3^4>0$       $\Leftrightarrow$         $(x-1)-4>0$      ответ     $x>5$

Теорема:        эквивалентность знака разности степеней со знаком разности их показателей.

  1. Знак разности степеней    $a^B-a^C$   совпадает со знаком    $\frac{B-C}{a-1}$     при любых $a > 0$,    $a\ne1$
  2. Сравнение с нулем разности степеней $a^B-a^C\le0$ равносильно с сравнением с нулем выражения   $\frac{B-C}{a-1}\le0$
  3. "Сравнение разности степеней с 0"     $\Leftrightarrow$       "сравнение разности показателей (:$(a-1)$) с 0" с тем же знаком.
  4. ${a-1}$ в знаменателе    $\frac{B-C}{a-1}$   гарантирует правильный учет для обеих ситуаций с "основание больше или меньше 1".
  5. Метод Рационализации:         неравенство        $a^B-a^C\le0$       $\Leftrightarrow$      $\frac{B-C}{a-1}\le0$    -   рациональный аналог.   

Пример 2:          Решить показательное неравенство      $1,3^{x^2-x} < 1$

  • Перепишем как "сравнение разности степеней с 0":      $1,3^{x^2-x} < 1,3^0$            $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$
  • Метод Рационализации:             $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$        $\Leftrightarrow$      $\frac{x^2-x-0}{\left(1,3-1\right)} < 0$   
  • Решаем рациональное неравенство, разложим на множители     $\frac{\left(x+0\right)\left(x-1\right)}{0,3} < 0$
  • Метод интервалов: критические точки      0   и 1   - точки обнуления множителей и делителей.
  • Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10;     0.5;    10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
  • Для   $x=0,5$    выполняется    $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$.   При -10 и 10 не выполняется.      ответ     $ 0 < x < 1$

Пример 3:          Решить сложно-степенное неравенство      $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1$

  • сложно-степенное выражение, функция    - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
  • ОДЗ:         $x+5>0$ ,    $x\ne1$ - основание сложно-степенного выражения объязано быть   > 0, и не равно 1.
  • Представим правую часть как степень с основанием   $x+5$, получим       $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > \left(x+5\right)^0$
  • Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0":          $\left(x+5\right)^{x^2-7x}-\left(x+5\right)^0 > 0$
  • Рационализируем разность,    перейдем к сравнению разности показателей с 0 :       $\frac{x^2-7x-0}{\left(x+5-1\right)} > 0$
  • Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство          $\frac{x^2-7x}{\left(x+4\right)} > 0$         $\Leftrightarrow$       $\frac{x\left(x-7\right)}{x+4} > 0$
  • Метод интервалов:      критические точки     $0$, $7$, $-4$   от неравенства    и    $-5$, $-4$ от ОДЗ.
  • Критические точки    $-5 < -4 < 0 < 7$ ;   контрольные точки: $-10$; $-4,5$; $-2$; $3$; $10$. Проверка знаков.
  • Все проверки приведут к решениям, интервалам:                ответ     $-4 < x < 0$      $x > 7$

Пример 4:          Решить неравенство      $3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-28\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\le0$

  • Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
  • Метод Замены:             $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$          $3y^2-28y+3\le0$
  • ... Найдем корни    $y_1=9$   $y_2=\frac{1}{3}$      ... разложим по "Виета"       ....   сделаем "возврат"
  • $3\cdot\left(y-9\right)\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)\le0$               $\Leftrightarrow$            $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0$
  • Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
  • $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^1\right)\le0$               $\Leftrightarrow$             $3\cdot\frac{\left(x-\left(-2\right)\right)\cdot\left(x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}\le0$
  • Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное       $\frac{27\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{4}\le0$
  • Расставим критические точки в порядке возрастания:      -2   и 1 . Получим интервалы разбиения;
  • Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала:   ответ        $-2\le x\le1$

Алгоритм:         "Метод рационализации неравенства со степенями".

  • Шаг 1:        Превращаем неравенство к виду   разность степеней сравнить с 0    :         $a^B-a^C<0$

  • Шаг 2:        Решаем    рационализированное        неравенство           $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$

  • Дополнение: Если неравенство имеет вид     $X\cdot Y\cdot\left(a^B-a^C\right)\cdot Z < 0$    с некими выражениями $X$, $Y$ , $Z$ ...   то

  • рационализируем вставку    и решаем        $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$   . Если есть еще вставка, то и ее "рационализируем".

Причина:       вместо неравенства со степенями удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей.

Замечание:    В неравенствах очень важно то, что "произведение сравнивается с нулем". Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.

Способы разложения на множители:

  • "Виета" ,       разложение квадратного по корням:                        $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ .
  • "Сокращенное умножение" :      разложение разности квадратов          $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
  • "Вынос за скобки" :            $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$                     $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: