Вертикальные и смежные углы

Угол состоит из вершины, двух сторон (два луча) и внутренней области.
Угол - внутренняя область, образованная двумя пересекающимися прямыми, или отрезками.
.... Они называются сторонами угла, а точка пересечения этих сторон называется вершиной угла.

Равенство углов: два угла равные, если они полностью совпадают при наложении, как равные фигуры.
Что значит равные фигуры?
a. Если при наложении (как твердого тела) одной фигуры на другую фигуру, эти фигуры полностью (без зазоров) совместятся,
b. Если с помощью движений на плоскости (параллельное перемещение, повороты, отражения) одну фигуру можно совместить с другой.
Складывание углов - Если один угол приложить к другому так, чтобы вершины совпали и одна сторона была общей ....
Сложение и вычитание углов : целый угол равен сумме составляющих углов: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$
Аддитивность градусной меры углов - градусная мера полного угла равна сумме углов, составляющих весь угол.
Если лучи дополняют друг друга до прямой, то оба образующихся угла называются развернутыми - $180^0$ градусов.
Развернутый угол– это половина полного $360^0$ угла. Прямой $90^0$ угол – половина развернутого.

Смежные и вертикальные углы

Пара углов с общей вершиной может быть смежными или вертикальными, если у них общая вершина, а стороны ... ??

Конгруэнтными, или равными называются пара углов, которые при наложении области углов совпадают.

Дополнительными, или дополняющими до 90 называются пара углов, которые при прикладывании образуют прямой угол, 90 градусов .

Смежные углы имеют общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжениями друг друга в разные стороны от вершины.

Примыкающие, прилегающие углы: соседние углы имеют общую вершину и сторону, но не имеют внутренних точек.
Смежные углы имеют меры, которые добавляются, складываются до развернутого угла, 180°.

Вертикальные углы имеют общую вершину, а каждая сторона одного угла является продолжением стороны второго угла.

Смежные углы прикладываются друг к другу одной общей стороной. А другие стороны - противоположные лучи.
Если стороны одного угла направить ровно в противоположное направление от вершины, то получится вертикальный с ним угол.
Вертикальные углы - это углы, образующиеся друг против друга при пересечении двух линий

Аддитивность углов: Полный угол равен сумме углов, составляющих весь угол. (складывающихся).

Теорема Сумма смежных углов равна развернутому углу – 180о.

Теорема Вертикальные углы равны. При наложении такие углы полностью совпадут, совместятся.

На рисунке изображены две пары вертикальных углов: ∠АОD и ∠СОB, а также ∠AOC и ∠ВОD.

Задача 1: Найдите смежные углы, угол $α$ и угол $β$, если $α$ в $3,5$ раза больше $β$.

Решение: сумма смежных $α$ и $β$ углов равна $180°$....значит, $α + β = 180°$.
$α$ в $3,5$ раза больше $β$ ... значит, $α = 3,5β$.
Комбинируем два равенства, подставим одно в другое: $α + β = 3,5β + β = 4,5β = 180°$
Решим уравнение $4,5β = 180°$, найдем $\beta=\frac{180}{4,5}=40$
тогда $β = 40°$ . а $3,5$ раза больший угол будет равен $α = 140°$
Таким образом, если мы знаем соотношение между двумя смежными углами, то мы можем найти их меры.

Задача 2: Три прямые пересекаются в точке $O$. Найдите угол $γ$, если $α = 55°$, а $β = 40°$.

Решение: Угол, вертикальный с углом $γ$, равен с ним. "Три смежных" угла?
По свойству вертикальных углов имеем, что сумма мер трёх углов равна $180°$, $\alpha+\beta+\gamma=180$
Подставим значения известных углов $55+40+\gamma=180$. Найдем неизвестный угол.
Искомый угол $γ$ имеет меру $85°$.

Задача 3: См. на рис. выше $OL$ , $OK$ - биссектриссы углов. Доказать, что всегда: 1) Угол между биссектрисами смежных углов равен $90^o$. 2) Угол между биссектрисами вертикальных углов равен $180^o$.

Решение: Поскольку $OL$ – биссектриса угла $∠BOA$, то угол $∠LOB$ = $\frac{\alpha}{2}$ ,
аналогично $∠BOK$ = $\frac{\beta}{2}$ .
$∠LOK$ = $∠LOB$ + $∠BOK$ = $\frac{\alpha}{2}$ + $\frac{\beta}{2}$ = $\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Сумма углов $α + β$ равна $180^о$, поскольку данные углы – смежные.

Полезные вопросы, примеры. Решите наизусть:

Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?
Найдите углы смежные ∠α и ∠β, если ∠β меньше ∠α в 3 раза.
Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 52°
Найдите смежные углы ∠b и ∠d, если ∠b = 1/4∠d.

Пары смежных (вертикальных) углов имеют одну, общую вершину.

Смежные, +=180, Т-образ: От точки отрезка исходит луч, 2 примыкающих угла. Общая вершина.