Простейшие уравнения с радикалами
Правило возведения в квадрат обеих частей уравнения::
- если $A=B$ , тогда $A^2=B^2$ , но не наоборот: ($A^2=B^2$ не $\Leftrightarrow$ $A=B$ ).
- $A^2=B^2$ $\Rightarrow $ $A=B$ при условии: $A$ и $B$ одного и того же знака.
- $\sqrt{X}=C$ $\Rightarrow $ $X=C^2$ при условии: $C\ge0$ , $C$ - неотрицательна.
Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}=3$
- �: каким числом должно быть неизвестное $x$ , чтобы уравнять левую и правую части ?
- очевидно, дробь $\frac{3+12x}{2x-1}$ должна равняться $9$ . а как иначе левое станет $3$? никак!
- вывод: нужно чтоб сравнялись их квадраты . $A=B$ $\Rightarrow$ $A^2=B^2$ .
- метод: избавление от радикала - возведение обеих частей в квадрат. формула $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$.
- Возведем обе части в квадрат → $\left(\sqrt{\frac{3+12x}{2x-1}}\right)^2=\left(3\right)^2$ ... так избавимся от радикала
- $\frac{3+12x}{2x-1}=9$ и получим простое уравнение без радикалов. Перенесем делитель $(2x-1)$ вправо
- $3+12x=9\cdot\left(2x-1\right)$ $\Leftrightarrow$ $12=18x-12x$ , решим ... → ответ:
Пример 2: Решить уравнение $\sqrt{6-4x-x^2}=-3-2x $
- ОДЗ - ограничение: под радикалом должно быть неотрицательное значение: $6-4x-x^2\ge0$
- ... иначе получится "ложь" - бессмыслица ... инвалидное выражение ... невозможно уравнять!
- Избавимся от радикала одновременным возведением обеих частей в квадрат.
- но это не гарантирует уравнивания до возведения . (Может было $4 = -4$ , стало $16 = 16$)
- Гарантия только при условии : обе части уравнения до возведения $A$ и $B$ должны быть одного знака.
- $\left(\sqrt{6-4x-x^2}\right)^2=\left(-3-2x\right)^2$ при условии $-3-2x\ge0$ (правая часть до возведения должна $\ge0$ )
- Используем формулы: $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ ; $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ → → $6-4x-x^2=9+12x+4x^2$
- решим квадратное уравнение $5x^2+16x+3=0$. два корня $x=-3$ , $x=-0.2$ .
- внимание: корни должны пройти ОДЗ и при условии. Если какой-то не проходит, значит этот корень ложный.
- проверка: $x=-3$ → → 1) ОДЗ - да!. 2) "при" $-3-2x\ge0$ - да! $\Rightarrow$ истинное решение.
- проверка: $x=-0.2$ → → 1) ОДЗ - да!. 2) "при" $-3-2x\ge0$ - нет! $\Rightarrow$ ложное решение.
- ответ: $x=-3$ в ответе перечисляем только истинные, уравнивающие решения.
Область Допустимых Значений - ОДЗ - ОДЗ выражения, ОДЗ уравнения
- ОДЗ - те числовые значения переменной, при которых выражения имеют смысл ... вычисляются.
- но не те числа, при которых выражение невозможно вычислить ... инвалидные ...
- ОДЗ уравнения - те числовые значения неизвестного, при которых выполняется ОДЗ каждого выражения.
- Если в уравнении есть радикалы, то условия ОДЗ: Каждое подрадикальное $\ge0$. (под корнем минусовое нельзя)
- Если есть дробь, то условия ОДЗ: каждый знаменатель $\ne0$. (делить на 0 нельзя!)
белы 
�: $\sqrt{25-x^2}=3$ $\Leftrightarrow$ $25-x^2=3^2$ $\Leftrightarrow$ $x^2=16$ $\Leftrightarrow$ $x=4$ , $x=-4$
�: $\sqrt{x-5}=x-7$ $\Leftrightarrow$ $\left(\sqrt{x-5}\right)^2=\left(x-7\right)^2$ при $x-7>0$ $\Leftrightarrow$ $x-5=x^2-14x+49$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{15+\sqrt{225-4\cdot 54}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x=9$ верно; $x=6$ ложно
Один радикал в уравнении
Напоминание: Избавиться от радикала в уравнении $\sqrt{A}=B$ можно путем возведения его в квадрат $\left(\sqrt{ }\right)^2$ , для этого радикал должен быть уединенным в одной из частей уравнения $\sqrt{A}$. "При условии" относится к противоположной от радикала части уравнения - выражению $B$ и накладывается до возведения в квадрат, но пишется при возведении $\left(B\right)^2$
Пример 3: Решить уравнение $\sqrt{5-x^2}-2x=3-x$
- �: Как получить такое, какое научились решать? Как прийти к радикал равняется не радикальному выражению ?
- ОДЗ $5-x^2\ge0$ $\Leftrightarrow $ условие гарантирует не ложность решения, неинвалидность
- Перенесем все нерадикальные слагаемые на противоположную от радикала сторону уравнения
- ... $ \sqrt{5-x^2}=2x+3-x$ . уединяем радикал для возведения в квадрат, избавления ...
- Возведение обеих частей в квадрат и при условии : $\left(\sqrt{5-x^2}\right)^2=\left(x+3\right)^2$ при $x+3\ge0$
- $5-x^2=x^2+6x+9$ $\Leftrightarrow$ $2x^2+6x+4=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2+3x+2=0$ $\Rightarrow$ корни $x=-1$ , $x=-2$
- ответ: $x=-1$ , $x=-2$ оба корня истинные, т.к. проходят ОДЗ и "при условии".
Равенство радикалов
Пример 4: Решить уравнение $\sqrt{2-x+x^2}-\sqrt{6-2x}=0$
- ОДЗ $2-x+x^2\ge0$ ; $6-2x\ge0$ - условие допустимости, существования радикалов.
- перенесем 2-ой радикал направо ... сравняем радикалы и подготовим возведение в квадрат обеих частей,
- $\sqrt{2-x+x^2}=\sqrt{6-2x}$ . "при условии" писать не будем , ведь обе части уже $\ge0$ из-за радикалов.
дальнейшая стратегия: 1. избавимся от радикалов: возведем обе части в квадрат. условия не нужны, радикалы одного знака. 2. решим полученное нерадикальное уравнение. 3. Проверим решения на выполнимость всех ОДЗ ограничений. забракуем ложные корни.
белы
Интерактивная Доска: решайте любые уравнения по=шагово, развернуто
Упражнения (А):
▷ ∠ ∆ ° → | · × ○ | → / U ∩ +∞ � → ▷ ∆ ° ∠ → � ∠ ∆ ° → | → � ° < > U ∩
Упражнения (В):
Упражнения (C):
� → ▷
ситуация, проблема → � вопрос → О: ответ → У уточнение → К конкретный ? пример → Р результат
-
Уравнение с радикалом → � Какое эквивалентное преобразование уравнения поможет избавиться от радикала → О: Одновременное возведение в квадрат обеих частей уравнения → У радикал должен быть единственным в одной части уравнения → К �в уравнении $\sqrt{x-5}=2$ чему равен $x-5=?$ → Р $x-5=2^2$
-
формулы сумма в квадрате → � Напиши формулы сокращенного умножения → О: $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ → У ---- → К $(2-3x)^2=?$ → Р $4-12x+9x^2$
�Знаешь ли ОДЗ уравнения, выражения? → �радикал,ОДЗ (�почему) �дробь,ОДЗ (�почему)
�Убрать радикал → возведение в квадрат �$\sqrt{A}=B$ → $A=?$ ������