Как-то спросили: "зачем такое мудренное название". - Чтобы прониклись важностью, значимостью!
Во-первых, эти методы разложений применяются фактически всюду: 8 класс - квадратные уравнения, НОК алгебраических дробей, 9 класс - рациональные неравенства, 10 класс - показательные и тригонометрические уравнения, неравенства методом замены, 11 класс - однородные выражения, I курс - кривые второго порядка, интегралы простых форм, II курс - факторизация квадратичных форм, алгебра делителей
Во-вторых: Все-таки "факторизация" шире, чем просто "разложения": подразумевает увидеть факторы, делители, конструкцию "целое - его кусочки, корни", добиться легкости получения факторов, как элементарных составляющих
Разложение квадратного трехчлена угадыванием
Пример 1: Разложить на множители квадратный трехчлен x 2 + 4 ⋅ x − 21 x^2+4\cdot x-21 x 2 + 4 ⋅ x − 2 1
Ищем разложение как представление в форме умножения двух скобок ( x + ? ) ( x + ? ) \left(x+?\right)\left(x+?\right) ( x + ? ) ( x + ? )
Ребус: Какие числа поставить вместо знаков "?", "?" так, чтобы после раскрытия скобок получилось x 2 + 4 ⋅ x − 21 x^2+4\cdot x-21 x 2 + 4 ⋅ x − 2 1 ... проследите как открываются скобки .... умножение этих чисел должно привести к − 21 -21 − 2 1 4 4 4
Легко угадать "чисто перебором", что таковыми будут числа -7 и 3: верно ( x − 3 ) ( x + 7 ) = x 2 + 4 ⋅ x − 21 \left(x-3\right)\left(x+7\right)=x^2+4\cdot x-21 ( x − 3 ) ( x + 7 ) = x 2 + 4 ⋅ x − 2 1
процесс решения x 2 + 4 ⋅ x − 21 x^2+4\cdot x-21 x 2 + 4 ⋅ x − 2 1 = ( x + ? ) ( x + ? ) \left(x+?\right)\left(x+?\right) ( x + ? ) ( x + ? ) = ( x − 3 ) ( x + 7 ) \left(x-3\right)\left(x+7\right) ( x − 3 ) ( x + 7 ) замечание: очевидно, что числа -7 и 3 являются корнями уравнения x 2 + 4 ⋅ x − 21 = 0 x^2+4\cdot x-21=0 x 2 + 4 ⋅ x − 2 1 = 0 т.к. уравнение при таком разложении распадается на обнуляющиеся факторы: ( x − 3 ) \left(x-3\right) ( x − 3 ) и ( x + 7 ) \left(x+7\right) ( x + 7 )
Пример 2: Разложить на множители трехчлен 5 x 2 − 14 ⋅ x − 3 5x^2-14\cdot x-3 5 x 2 − 1 4 ⋅ x − 3
Ищем разложение как представление в форме ( 5 x + ? ) ( x + ? ) \left(5x+?\right)\left(x+?\right) ( 5 x + ? ) ( x + ? ) ... множитель 5 нужен для 5 x 2 5x^2 5 x 2
Какие числа вместо "?", "?" ... умножение этих чисел − 3 -3 − 3 5 ⋅ ? + ? 5\cdot ?+? 5 ⋅ ? + ? должно дать − 14 -14 − 1 4 Угадать "чисто перебором" и чисел и знаков, что это числа -1 и 3: верно ( 5 x − 1 ) ( x + 3 ) = 5 x 2 − 14 ⋅ x − 3 \left(5x-1\right)\left(x+3\right)=5x^2-14\cdot x-3 ( 5 x − 1 ) ( x + 3 ) = 5 x 2 − 1 4 ⋅ x − 3
процесс решения 5 x 2 − 14 ⋅ x − 3 5x^2-14\cdot x-3 5 x 2 − 1 4 ⋅ x − 3 = ( 5 x + ? ) ( x + ? ) \left(5x+?\right)\left(x+?\right) ( 5 x + ? ) ( x + ? ) = ( 5 x − 1 ) ( x + 3 ) \left(5x-1\right)\left(x+3\right) ( 5 x − 1 ) ( x + 3 ) . факторы: ( 5 x − 1 ) \left(5x-1\right) ( 5 x − 1 ) и ( x + 3 ) \left(x+3\right) ( x + 3 ) корни уравнения 1 5 \frac{1}{5} 5 1 и − 3 -3 − 3
Пример 3: Разложить на множители трехчлен 6 x 2 + 7 ⋅ x − 20 6x^2+7\cdot x-20 6 x 2 + 7 ⋅ x − 2 0
Ищем представление в форме ( 2 x + ? ) ( 3 x + ? ) \left(2x+?\right)\left(3x+?\right) ( 2 x + ? ) ( 3 x + ? ) ... множители 2 и 3 нужны для 6 x 2 6x^2 6 x 2 А может 6 и 1 ?
Каковы "?", "?" ... умножение дает − 20 -20 − 2 0 2 ⋅ ? + 3 ⋅ ? 2\cdot ?+3\cdot ? 2 ⋅ ? + 3 ⋅ ? должно привести к 7 7 7 Угадываем "чисто перебором вариантов" - числа 5 и -4: верно ( 2 x + 5 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x 2 + 7 ⋅ x − 20 \left(2x+5\right)\left(3x-4\right)=6x^2+7\cdot x-20 ( 2 x + 5 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x 2 + 7 ⋅ x − 2 0
процесс решения 6 x 2 + 7 ⋅ x − 20 6x^2+7\cdot x-20 6 x 2 + 7 ⋅ x − 2 0 = ( 2 x + ? ) ( 3 x + ? ) \left(2x+?\right)\left(3x+?\right) ( 2 x + ? ) ( 3 x + ? ) = ( 2 x + 5 ) ( 3 x − 4 ) \left(2x+5\right)\left(3x-4\right) ( 2 x + 5 ) ( 3 x − 4 ) факторы: ( 2 x + 5 ) \left(2x+5\right) ( 2 x + 5 ) и ( 3 x − 4 ) \left(3x-4\right) ( 3 x − 4 ) корни уравнения 4 3 \frac{4}{3} 3 4 и − 2 , 5 -2,5 − 2 , 5
Разложение квадратного трехчлена по корням уравнения
Теорема Виета о разложении: если x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 корни уравнения a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 тогда верно тождество a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right) a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
Квадратное выражение через свои корни разлагается на множители. множители обнуляются при x x x равном одному из корней.
доказательство: раскроем скобки, перемножим слагаемые в правой части тождестваa ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = ( x − x 1 ) ⋅ ( a x − a x 2 ) = a x ( x − x 1 ) − a x 2 ( x − x 1 ) = a ⋅ x 2 − a x 1 ⋅ x − a x 2 ⋅ x + a x 1 ⋅ x 2 = a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=\left(x-x_1\right)\cdot\left(ax-ax_2\right)=ax\left(x-x_1\right)-ax_2\left(x-x_1\right)=a\cdot x^2-ax_1\cdot x-ax_2\cdot x+ax_1\cdot x_2= a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = ( x − x 1 ) ⋅ ( a x − a x 2 ) = a x ( x − x 1 ) − a x 2 ( x − x 1 ) = a ⋅ x 2 − a x 1 ⋅ x − a x 2 ⋅ x + a x 1 ⋅ x 2 = группируем, приведем x − x- x − подобные, = a ⋅ x 2 + ( − a x 1 − a x 2 ) ⋅ x + a ⋅ x 1 ⋅ x 2 = a ⋅ x 2 − a ( x 1 + x 2 ) ⋅ x + a ⋅ x 1 ⋅ x 2 = =a\cdot x^2+\left(-ax_1-ax_2\right)\cdot x+a\cdot x_1\cdot x_2=a\cdot x^2-a\left(x_1+x_2\right)\cdot x+a\cdot x_1\cdot x_2= = a ⋅ x 2 + ( − a x 1 − a x 2 ) ⋅ x + a ⋅ x 1 ⋅ x 2 = a ⋅ x 2 − a ( x 1 + x 2 ) ⋅ x + a ⋅ x 1 ⋅ x 2 =
воспользуемся теоремой Виета "о сумме и произведении корней" = a ⋅ x 2 − a ⋅ ( − b a ) ⋅ x + a ⋅ c a = a x 2 + b x + c =a\cdot x^2-a\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)\cdot x+a\cdot\frac{c}{a}=ax^2+bx+c = a ⋅ x 2 − a ⋅ ( − a b ) ⋅ x + a ⋅ a c = a x 2 + b x + c ч.т.д.
Пример 4: Разложить на множители выражение: − 3 x 2 + 7 x + 10 -3x^2+7x+10 − 3 x 2 + 7 x + 1 0
Какие корни у этого квадратичного выражения? какие решения у квадратного уравнения − 3 x 2 + 7 x + 10 = 0 -3x^2+7x+10=0 − 3 x 2 + 7 x + 1 0 = 0
Найдем через дискриминант: D = 7 2 − 4 ⋅ 10 ⋅ ( − 3 ) = 169 D=7^2-4\cdot 10 \cdot (-3)=169 D = 7 2 − 4 ⋅ 1 0 ⋅ ( − 3 ) = 1 6 9 корни x 1 = − 7 + 1 69 2 ⋅ ( − 3 ) = − 1 x_1=\frac{-7+\sqrt169}{2\cdot (-3)}=-1 x 1 = 2 ⋅ ( − 3 ) − 7 + 1 6 9 = − 1 x 1 = − 7 − 13 ( − 6 ) = 10 3 x_1=\frac{-7-13}{(-6)}=\frac{10}{3} x 1 = ( − 6 ) − 7 − 1 3 = 3 1 0
Тогда, по корням и коэффициенту a = − 3 a=-3 a = − 3 составим разложение по теореме Виета "о разложении":
− 3 x 2 + 7 x + 10 = − 3 ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x − 10 3 ) -3x^2+7x+10=-3\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-\frac{10}{3}\right) − 3 x 2 + 7 x + 1 0 = − 3 ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x − 3 1 0 ) если еще упростить, то = ( x + 1 ) ( 10 − 3 x ) =\left(x+1\right)\left(10-3x\right) = ( x + 1 ) ( 1 0 − 3 x )
Алгоритм нахождения корней квадратного трехчлена найзусть - угадывания корней:
основано на Теорема: если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Надо посмотреть на свободный коэффициент целочисленного квадратного уравнения; Перечислить все его делители.
перебирая их и разные, возможные знаки ... искать и найти 2 2 2
Пример 5: Разложить y 2 + y − 12 y^2+y-12 y 2 + y − 1 2
Выписать все делители свободного члена ± 1 \pm1 ± 1 ± 2 \pm2 ± 2 ± 3 \pm3 ± 3 ± 4 \pm4 ± 4 ± 6 \pm6 ± 6 ± 12 \pm12 ± 1 2 Надо найти два числа таких, чтобы
произведение было + 12 +12 + 1 2 а сумма − 1 -1 − 1 Перебрать разные пары и докопаться до двух чисел 3 3 3 и − 4 -4 − 4
разложим квадратный трехчлен y 2 + y − 12 = ( y − 3 ) ( y + 4 ) y^2+y-12=\left(y-3\right)\left(y+4\right) y 2 + y − 1 2 = ( y − 3 ) ( y + 4 )
Еще примеры:
x 2 + 4 ⋅ x − 21 x^2+4\cdot x-21 x 2 + 4 ⋅ x − 2 1 делители 21 21 2 1 корни x = 3 x=3 x = 3 и x = − 7 x=-7 x = − 7 факторы ( x − 3 ) \left(x-3\right) ( x − 3 ) и ( x + 7 ) \left(x+7\right) ( x + 7 ) x 2 + 2 ⋅ x − 63 x^2+2\cdot x-63 x 2 + 2 ⋅ x − 6 3 делители 63 63 6 3 корни x = 7 x=7 x = 7 и x = − 9 x=-9 x = − 9 факторы ( x − 7 ) \left(x-7\right) ( x − 7 ) и ( x + 9 ) \left(x+9\right) ( x + 9 ) x 2 + 10 x − 39 x^2+10x-39 x 2 + 1 0 x − 3 9 делители 39 39 3 9 корни x = 13 x=13 x = 1 3 и x = − 3 x=-3 x = − 3 факторы ( x − 13 ) \left(x-13\right) ( x − 1 3 ) и ( x + 3 ) \left(x+3\right) ( x + 3 )
Разложение квадратных двухчленов
Пример 6: Разложить на множители путем выноса за скобки, по формулам:
5 x 2 − 12 x 5x^2-12x 5 x 2 − 1 2 x = ... вынесем общий множитель x x x = x ⋅ ( 5 x − 12 ) x\cdot (5x-12) x ⋅ ( 5 x − 1 2 ) 7 x − x 2 7x-x^2 7 x − x 2 = ... вынесем общий множитель x x x = x ⋅ ( 7 − x ) x\cdot (7-x) x ⋅ ( 7 − x ) 16 − x 2 16-x^2 1 6 − x 2 = ... разложим по формуле разности квадратов ... = ( 4 − x ) ⋅ ( 4 + x ) (4-x)\cdot (4+x) ( 4 − x ) ⋅ ( 4 + x ) 4 x 2 − 25 4x^2-25 4 x 2 − 2 5 = ... разложим по формуле разности квадратов ... = ( 2 x − 5 ) ⋅ ( 2 x + 5 ) (2x-5)\cdot (2x+5) ( 2 x − 5 ) ⋅ ( 2 x + 5 ) x 2 − 9 a 2 x^2-9a^2 x 2 − 9 a 2 = ... разложим по формуле разности квадратов ... = ( x − 3 a ) ⋅ ( x + 3 a ) (x-3a)\cdot (x+3a) ( x − 3 a ) ⋅ ( x + 3 a )
Разложение, факторизация квадратных форм
Пример 7: Разложить на множители квадратную форму 2 a 2 + 7 a b − 15 b 2 2a^2+7ab-15b^2 2 a 2 + 7 a b − 1 5 b 2
Ищем представление по форме ( 2 a + ? b ) ( a + ? b ) \left(2a+?b\right)\left(a+?b\right) ( 2 a + ? b ) ( a + ? b ) ... множитель 2 диктуется из-за 2 a 2 2a^2 2 a 2
Каковы "?", "?" ... при открытии скобки как получатся − 15 b 2 -15b^2 − 1 5 b 2 7 a b 7ab 7 a b Перебором числовых вариантов придем к результату: 2 a 2 + 7 a b − 15 b 2 = ( 2 a + 3 b ) ⋅ ( a − 5 b ) 2a^2+7ab-15b^2=(2a+3b)\cdot (a-5b) 2 a 2 + 7 a b − 1 5 b 2 = ( 2 a + 3 b ) ⋅ ( a − 5 b )
квадратичная форма состоит из факторов ( 2 a + 3 b ) (2a+3b) ( 2 a + 3 b ) и ( a − 5 b ) (a-5b) ( a − 5 b )
Кстати: корнями уравнения 2 x 2 + 7 x − 15 = 0 2x^2+7x-15=0 2 x 2 + 7 x − 1 5 = 0 являются числа − 3 2 -\frac{3}{2} − 2 3 и 5 5 5
функция 2 x 2 + 7 x − 15 2x^2+7x-15 2 x 2 + 7 x − 1 5 называется характеристической функцией квадратичной формы 2 a 2 + 7 a b − 15 b 2 2a^2+7ab-15b^2 2 a 2 + 7 a b − 1 5 b 2
Пример 8: Разложить на множители 3 ⋅ 4 x − 17 ⋅ 6 x + 10 ⋅ 9 x 3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x 3 ⋅ 4 x − 1 7 ⋅ 6 x + 1 0 ⋅ 9 x
Преобразуем к виду однородной: 3 ⋅ 4 x − 17 ⋅ 6 x + 10 ⋅ 9 x = 3 ⋅ ( 2 x ) 2 − 17 ⋅ ( 2 x ) ⋅ ( 3 x ) + 10 ⋅ ( 3 x ) 2 3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x=3\cdot (2^x)^2-17\cdot (2^x)\cdot (3^x)+10\cdot (3^x)^2 3 ⋅ 4 x − 1 7 ⋅ 6 x + 1 0 ⋅ 9 x = 3 ⋅ ( 2 x ) 2 − 1 7 ⋅ ( 2 x ) ⋅ ( 3 x ) + 1 0 ⋅ ( 3 x ) 2
Ищем представление по форме факторов ( 3 ⋅ 2 x + ? ⋅ 3 x ) ( 2 x + ? ⋅ 3 x ) \left(3\cdot 2^x+?\cdot 3^x\right)\left(2^x+?\cdot 3^x\right) ( 3 ⋅ 2 x + ? ⋅ 3 x ) ( 2 x + ? ⋅ 3 x ) ...
Каковы "?", "?" чтобы при открытии скобки получилось требуемое 3 ⋅ ( 2 x ) 2 − 17 ⋅ ( 2 x ) ⋅ ( 3 x ) + 10 ⋅ ( 3 x ) 2 3\cdot (2^x)^2-17\cdot (2^x)\cdot (3^x)+10\cdot (3^x)^2 3 ⋅ ( 2 x ) 2 − 1 7 ⋅ ( 2 x ) ⋅ ( 3 x ) + 1 0 ⋅ ( 3 x ) 2 Перебором числовых коэффициентов придем к результату: 3 ⋅ 4 x − 17 ⋅ 6 x + 10 ⋅ 9 x = ( 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3 x ) ( 2 x − 5 ⋅ 3 x ) 3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x=\left(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\right)\left(2^x-5\cdot 3^x\right) 3 ⋅ 4 x − 1 7 ⋅ 6 x + 1 0 ⋅ 9 x = ( 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3 x ) ( 2 x − 5 ⋅ 3 x )
Исходное показательное выражение состоит из факторов ( 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3 x ) \left(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\right) ( 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3 x ) и ( 2 x − 5 ⋅ 3 x ) \left(2^x-5\cdot 3^x\right) ( 2 x − 5 ⋅ 3 x )
Такое разложение нам поможет эффективно решать уравнения и, особенно, неравенства.
Пример 9: Разложить на множители sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 6 ⋅ cos 2 x \sin^2x+\sin x\cdot\cos x-6\cdot\cos^2x sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 6 ⋅ cos 2 x
Тригонометрическое выражение имеет вид однородного порядка 2 . Суммарная степень каждого слагаемого - квадрат.
Ищем представление по форме факторов ( sin x − 2 ⋅ cos x ) ( sin x + 3 ⋅ cos x ) \left(\sin x-2\cdot\cos x\right)\left(\sin x+3\cdot\cos x\right) ( sin x − 2 ⋅ cos x ) ( sin x + 3 ⋅ cos x ) ...
Каковы "?", "?" чтобы при открытии скобки получилось требуемое ......Перебором коэффициентов придем к результату: sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 6 ⋅ cos 2 x = ( sin x − 2 ⋅ cos x ) ( sin x + 3 ⋅ cos x ) \sin^2x+\sin x\cdot\cos x-6\cdot\cos^2x=\left(\sin x-2\cdot\cos x\right)\left(\sin x+3\cdot\cos x\right) sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 6 ⋅ cos 2 x = ( sin x − 2 ⋅ cos x ) ( sin x + 3 ⋅ cos x )
Исходное тригонометрическое выражение состоит из факторов ( sin x − 2 ⋅ cos x ) \left(\sin x-2\cdot\cos x\right) ( sin x − 2 ⋅ cos x ) и ( sin x + 3 ⋅ cos x ) \left(\sin x+3\cdot\cos x\right) ( sin x + 3 ⋅ cos x )
Такое разложение нам поможет эффективно решать уравнения: приравнивая к нулю каждый фактор по отдельности.
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения:
Разложи на множители квадратные трехчлены
Разложи на множители квадратные двухчлены
Разложи на множители квадратные формы
Разложите трехчлен на множители. ВИД(4): x 2 + 4 x − 5 x^2+4x-5 x 2 + 4 x − 5 8 x 2 + x − 34 8x^2+x-34 8 x 2 + x − 3 4
Не решая уравнение, найдите его корни.ВИД(2): x 2 − x − 72 = 0 x^2-x-72=0 x 2 − x − 7 2 = 0 x = 9 x=9 x = 9 x = − 8 x=-8 x = − 8
Разложите трехчлен на множители.: x 2 + 4 x − 5 x^2+4x-5 x 2 + 4 x − 5 8 x 2 + x − 34 8x^2+x-34 8 x 2 + x − 3 4
Угадай разложение на множители
