Пример 1: Решить показательное неравенство $3^{x-1}>81$
- Смысл решения: нужно найти все числа, которые, будучи подставленные вместо $x$, выполняют условие неравенства.
- Сведем неравенство к сравнению степеней $3^{x-1}>3^4$ . Основания наших степеней больше 1: $3>1$ ....
- ... "чем больше показатель, тем больше степень"! Кстати: при основании $0,4<1$ было бы ровно наоборот.
- В нашем случае: $3^{x-1}>3^4$ $\Leftrightarrow$ сравнение показателей $x-1>4$ $\Leftrightarrow$ $x>5$ "все числа больше 5".
Посмотрим на это с другого взгляда: обнулим справа $3^{x-1}-81>0$ $\Leftrightarrow$ $3^{x-1}-3^4>0$
... и изучим вопрос "сравнение разности степеней с нулем": при каких $x$ она (разность) положительна.
... утверждение: "разность степеней положительна при тех же $x$ - ах, при которых положительна разность показателей ."
т.е. равносильный процесс решения $3^{x-1}-3^4>0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)-4>0$ ответ $x>5$
Теорема: эквивалентность знака разности степеней со знаком разности их показателей.
- Знак разности степеней $a^B-a^C$ совпадает со знаком $\frac{B-C}{a-1}$ при любых $a > 0$, $a\ne1$
- Сравнение с нулем разности степеней $a^B-a^C\le0$ равносильно с сравнением с нулем выражения $\frac{B-C}{a-1}\le0$
- "Сравнение разности степеней с 0" $\Leftrightarrow$ "сравнение разности показателей (:$(a-1)$) с 0" с тем же знаком.
- ${a-1}$ в знаменателе $\frac{B-C}{a-1}$ гарантирует правильный учет для обеих ситуаций с "основание больше или меньше 1".
- Метод Рационализации: неравенство $a^B-a^C\le0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{B-C}{a-1}\le0$ - рациональный аналог.
Пример 2: Решить показательное неравенство $1,3^{x^2-x} < 1$
- Перепишем как "сравнение разности степеней с 0": $1,3^{x^2-x} < 1,3^0$ $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$
- Метод Рационализации: $1,3^{x^2-x}-1,3^0 < 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2-x-0}{\left(1,3-1\right)} < 0$
- Решаем рациональное неравенство, разложим на множители $\frac{\left(x+0\right)\left(x-1\right)}{0,3} < 0$
- Метод интервалов: критические точки 0 и 1 - точки обнуления множителей и делителей.
- Выберем контрольные точки на всех интервалах ( -10; 0.5; 10 ) и проверим неравенство - знаки внутри скобок.
- Для $x=0,5$ выполняется $\frac{\left(+\right)\left(-\right)}{\left(+\right)} < 0$. При -10 и 10 не выполняется. ответ $ 0 < x < 1$
Пример 3: Решить сложно-степенное неравенство $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1$
- сложно-степенное выражение, функция - степень, переменная находится и в основании, и в показателе.
- ОДЗ: $x+5>0$ , $x+5\ne1$ - основание сложно-степенного выражения объязано быть > 0, и не равно 1.
- Представим правую часть как степень с основанием $x+5$, получим $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > \left(x+5\right)^0$
- Перенесем все влево, чтоб "разность сравнивался с 0": $\left(x+5\right)^{x^2-7x}-\left(x+5\right)^0 > 0$
- Рационализируем разность, перейдем к сравнению разности показателей с 0 : $\frac{x^2-7x-0}{\left(x+5-1\right)} > 0$
- Упростим, решаем дробно-рациональное неравенство $\frac{x^2-7x}{\left(x+4\right)} > 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x\left(x-7\right)}{x+4} > 0$
- Метод интервалов: критические точки $0$, $7$, $-4$ от неравенства и $-5$, $-4$ от ОДЗ.
- Критические точки $-5 < -4 < 0 < 7$ ; контрольные точки: $-10$; $-4,5$; $-2$; $3$; $10$. Проверка знаков.
- Все проверки приведут к решениям, интервалам: ответ $-4 < x < 0$ $x > 7$
Пример 4: Решить неравенство $3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}-28\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\le0$
- Как бы решали уравнение, = 0? Методом замены. Также и здесь, но с ньюансом "возврата":
- Метод Замены: $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ $3y^2-28y+3\le0$
- ... Найдем корни $y_1=9$ $y_2=\frac{1}{3}$ ... разложим по "Виета" .... сделаем "возврат"
- $3\cdot\left(y-9\right)\cdot\left(y-\frac{1}{3}\right)\le0$ $\Leftrightarrow$ $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0$
- Теперь главное , каждую скобку отдельно "рационализируем" : заменим разности степеней ...
- $3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\left(\frac{1}{3}\right)^1\right)\le0$ $\Leftrightarrow$ $3\cdot\frac{\left(x-\left(-2\right)\right)\cdot\left(x-1\right)}{\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)}\le0$
- Цель достигнута: вместо показательного получили дробно-рациональное $\frac{27\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{4}\le0$
- Расставим критические точки в порядке возрастания: -2 и 1 . Получим интервалы разбиения;
- Проанализируем знаки на контрольных точках каждого интервала: ответ $-2\le x\le1$
Алгоритм: "Метод рационализации неравенства со степенями".
-
Шаг 1: Превращаем неравенство к виду разность степеней сравнить с 0 : $a^B-a^C<0$
-
Шаг 2: Решаем рационализированное неравенство $\frac{B-C}{\left(a-1\right)} < 0$
-
Дополнение: Если неравенство имеет вид $X\cdot Y\cdot\left(a^B-a^C\right)\cdot Z < 0$ с некими выражениями $X$, $Y$ , $Z$ ... то
-
рационализируем вставку и решаем $\frac{X\cdot Y\cdot\left(B-C\right)\cdot Z}{\left(a-1\right)} < 0$ . Если есть еще вставка, то и ее "рационализируем".
Причина: вместо неравенства со степенями удобнее решать его рационализованный аналог - методом интервалов, путем нахождения критических точек обнуления множителей.
Замечание: В неравенствах очень важно то, что "произведение сравнивается с нулем". Для уравнений это приводило к разбиению на случаи : какой либо множитель должен стать нулем. В неравентствах вида "слева произведение или деление <> справа 0 " нам достаточно знать знаки множителей / делителей чтоб понять - выполняется ли <сравнение> с нулем.
Способы разложения на множители:
- "Виета" , разложение квадратного по корням: $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ .
- "Сокращенное умножение" : разложение разности квадратов $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
- "Вынос за скобки" : $ax^2-bx=x\cdot\left(ax-b\right)$ $ax+ay=a\cdot\left(x+y\right)$
Пример 5: Рационализация разностей двух степеней, кратко:
- $2^x\cdot (7^{x-1}-7^4)>0$, $2^x$ всегда положительно, уберем. Рационализируем разность: $\Leftrightarrow$ $\frac{(x-1)-4}{7-1}>0$ ответ $x>5$
- $0,3^{x^2-x} > 1$ Метод Рационализации: $0,3^{x^2-x}-0,3^0 > 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2-x-0}{\left(0,3-1\right)} > 0$ ответ $ 0 < x < 1$
- $\left(x+5\right)^{x^2-7x} > 1$ дробное неравенство $\frac{x^2-7x}{\left((x+5)-1\right)} > 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x\left(x-7\right)}{4} > 0$ ответ $-4 < x < 0$ $x > 7$
- $\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-9\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-\frac{1}{3}\right)\le0$ каждую рационализируем $\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-(\frac{1}{3})^{-2}\right)\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-(\frac{1}{3})^{1}\right)\le0$ $\frac{\cdot (x+2)\cdot (x-1)}{(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-1)}\le0$ отв $-2\le x\le1$
- $(2^{3x+1}-5)\cdot (4^x+0,5)<0$ , $(4^x+0,5)$ отбросим, заведомо $>0$, $(2^{3x+1}-2^{\log_2{5}})<0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(3x+1)-\log_2{5}}{2-1}<0$ отв $x<\frac{\log_2{5}-1}{3}$
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения: